Co ma wspólnego czarna dziura i woda w szklance?

Co ma wspólnego czarna dziura i woda w szklance?
Czarne dziury są obiektami tajemniczymi i fascynującymi, aczkolwiek część ich
właściwości można oszacować przy pomocy prostych równań algebry. Pokazuje to także, jak wiele
do „powiedzenia” ma łatwa matematyka (gdzie najbardziej skomplikowane jest potęgowanie).
Najpierw rozruch, czyli zadajmy sobie pytanie:
jaki byłby promień czarnej dziury powstałej
z Ziemi? Wykorzystamy do tego równanie
Schwarzschilda w postaci:
r =(2∗G∗M )/(c 2)
gdzie:
r – promień czarnej dziury
G – stała grawitacyjna
M – masa czarnej dziury
c – prędkość światła
Podstawiając wszystkie potrzebne dane do równania, tzn.: za G stałą grawitacyjną,
za M masę Ziemi, otrzymujemy wynik... 8,8 milimetra. Właśnie w takim rzędzie wielkości
zawierałby się promień nierotującej czarnej dziury powstałej z Ziemi.
Artystyczna wizja materii krążącej wokół czarnej dziury.
(NASA/Dana Berry/SkyWorks Digital)
W tym równaniu występuje ciekawa zależność. Nieważne ile razy zwiększymy masę –
promień będzie zwiększał się tak samo. To znaczy, kiedy pod M podstawimy połowę masy Ziemi,
otrzymamy o połowę mniejszy promień (4,4 milimetra). Gdybyśmy zwiększyli masę dwukrotnie,
dwukrotnie wzrośnie promień (17,7 milimetra). I tak dalej i dalej... Matematycznie przedstawiono
to w tabeli i wykresie poniżej. Warto zaznaczyć, że wykres zawsze będzie linią prostą (przebieg
liniowy).
Obiekt
0,5 Ziemi
Ziemia
2 Ziemie
3 Ziemie
4 Ziemie
Masa, kg
Masy Ziemi
2,985E+024
0,50
5,970E+024
1,00
1,194E+025
2,00
1,791E+025
3,00
2,388E+025
4,00
Promień CD, m
0,0044
0,0088
0,0177
0,0265
0,0354
Promień CD, mm
4,4244
8,8489
17,6977
26,5466
35,3955
Stosunek promienia do masy Czarnej Dziury
40,0000
35,0000
Promień R, mm
30,0000
25,0000
Stosunek promienia do masy
czarnej dziury
20,0000
15,0000
10,0000
5,0000
0,0000
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50
Masa, masy Ziemi
Gęstość czarnej dziury dąży do nieskończoności. Jednakże wcale nie musi być olbrzymia,
przy czarnych dziurach o odpowiednich masach początkowych, gęstość ta może być podobna
gęstości wody. Zadziwiające, czyż nie? Na tej podstawie powstawały teorie naukowe, które
określały Wszechświat w którym żyjemy, jako wnętrze czarnej dziury. Jednakże zostały mocno
nadszarpnięte przez obserwacje tempa rozszerzania się Wszechświata – gdybyśmy byli we wnętrzu
czarnej dziury, nasze uniwersum kurczyłoby się a nie rozrastało.
Jak oszacować gęstość czarnej
dziury? Można wykorzystać do tego
wzór wiążący masę, gęstość
i objętość:
ρ =M /V
gdzie:
ρ – gęstość
M – masa
V – objętość
Artystyczna wizja rosnącej czarnej dziury (kwazara) w odległej galaktyce.
(NASA/JPL-Caltech)
Musimy mieć daną jakąś objętość (czyli „naczynie”, w jakim znajduje się nasza czarna
dziura). Najlepsza byłaby kula, jednakże czarne dziury opisane są promieniem SFERY
w czterowymiarowej przestrzeni, co nie oznacza, że są kulami takimi jak na przykład piłka.
Bez paniki! Do oszacowania wartości gęstości, możemy skorzystać ze wzoru na objętość kuli –
rząd wielkości w wyniku powinien być odpowiedni do naszych rozważań.
Przekształcamy wzór na promień Schwarzschilda. Zrobimy to krok po kroku, jako
ćwiczenie z fizyki.
Zaczynamy od wzoru wyjściowego:
1) r =( 2∗G∗M )/( c2 )
Dobrze by było „przerzucić” masę M na lewo, a promień r na prawo, ponieważ w masie
zawiera się szukana przez nas gęstość.
2)
M =R∗c 2 /2∗G
Teraz za masę M podstawiamy gęstość ρ i objętość V.
3)
ρ ∗V = R∗c2 / 2∗G
Przenosimy objętość na prawą stronę równania.
4)
ρ =R∗c 2 / 2∗G∗V
Podstawiamy pod objętość V wzór na objętość kuli, przyjmując, że nasza czarna dziura jest
kulą (choć raz jeszcze podkreślam – nie jest to prawda, lecz założenie to umożliwi nam
oszacowanie odpowiednich wartości).
5)
ρ =R∗c 2 /2∗G∗(4 /3∗Π ∗R3 )
Wzór na objętość kuli wstawiłem w nawias, żeby było widoczne co zostało zmienione.
Aczkolwiek pamiętajmy o tym, że iloczyn i tak jest przemienny, więc tego nawiasu tam być nie
musi. Pozostaje nam skrócić współczynnik R z R3. Przy okazji możemy przenieść 3 z dzielenia 4/3
do licznika i finalny wzór wygląda następująco:
6)
ρ =3∗c2 /8∗G∗Π ∗R2
Tak oto dotarliśmy do równania, z którego możemy szacować gęstość poszczególnych
czarnych dziur w zależności od ich promienia. Zacznijmy od przykładu Ziemi. Gdyby skurczyła się
do czarnej dziury, jej gęstość wzrosłaby do 2,08 * 10^30 kg/m^3. To dużo czy mało? Bardzo dużo!
Jest to wręcz niewyobrażalna gęstość, dlatego czarne dziury nie powstają z planet lecz z bardzo
masywnych gwiazd (znacznie większych od Słońca).
Gęstość czarnej dziury maleje sukcesywnie ze wzrostem jej promienia. Przy pewnej jego
wielkości, czarna dziura może być tak gęsta jak woda! Nim jednak określimy masę i promień
czarnej dziury o gęstości wody, spójrzmy na tabelę i wykres dla „ziemskich” czarnych dziur.
Przebieg wykresu znacznie różni się od poprzedniego i nie jest już linią prostą lecz zakrzywionym
„łukiem” (przebieg wykładniczy).
Obiekt Promień, m Gęstość, kg/m^3
Gęstość, (kg/m^3)*10^30
0,5 Ziemi
0,0044
8319413634120130000000000000000,00
8,32
Ziemia
0,0088
2079853408530030000000000000000
2,0798534085
2 Ziemie
0,0177
514104656888397000000000000000
0,5141046569
3 Ziemie
0,0265
229354002074141000000000000000
0,2293540021
4 Ziemie
0,0354
128526164222099000000000000000
0,1285261642
Gęstość czarnej dziury, kg/m^3*10^30
Gęstość czarnej dziury w zależności od jej promienia
9,00
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
Spadek gęstości wraz ze
wzrostem promienia
0 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04
Promień czarnej dziury, m
Dlaczego tak się dzieje? Ponieważ spadek gęstości jest wykładniczy. Spójrzmy na
równanie 6):
6)
ρ =3∗c2 /8∗G∗Π ∗R2
Załóżmy, że promień R wynosi 2. Jeśli wzrośnie 2 razy będzie wynosił 4 (2*R=2*2).
Jednakże gęstość uzależniona jest od promienia poprzez potęgę, tzn. jeśli promień będzie wynosił
2 i wzrośnie 2 razy, to gęstość spadnie 4 razy ponieważ dzieli się przez kwadrat tego promienia
R^2 (2^2=4). Gdyby promień wzrósł trzy razy jego wartość wynosiłaby 6 (3*2=6). Natomiast
gęstość spadnie 9 razy, ponieważ R=3 i 3^2=9! Dalej promień wzrośnie 4 razy, a gęstość spadnie
16 razy (4^2). Promień wzrośnie 5 razy a gęstość spadnie 25 razy (5^2). Promień powiększy się
100-krotnie, a gęstość zmniejszy się 10 000 razy (100^2). I tak dalej i dalej, wraz ze wzrostem masy
obiektu tworzącego czarną dziurę. Trochę to zagmatwane, ale najlepiej widać to właśnie na
wykresach – dlatego są tak ważnym narzędziem w nauce!
Teraz wróćmy do pytania
tytułowego: skąd wziąć czarną dziurę
o gęstości wody w szklance?
Przyjmijmy, że gęstość takiej wody
wynosi 1000 kilogramów na metr
sześcienny. Musimy nieznacznie
przekształcić nasz wzór 1), ponieważ
zakładamy, że znamy gęstość ale nie
znamy promienia. Stąd:
7)
R2=c 2 /0,67∗G∗Π∗ρ
Promień czarnej dziury
o gęstości wody będzie wynosił około
8 * 10^8 kilometrów. Jest to 5,37 j.a.
więc odległość olbrzymia,
porównywalna z dystansem
od Słońca do Jowisza.
Supermasywna czarna dziura (NASA).
Masa takiego obiektu będzie oscylować w granicach 5,4*10^38 kg. Przeliczając tę wielkość
na masy Słońca otrzymamy równoważność 270 milionów Słońc. Są to wielkości wręcz
niewyobrażalne i przy opisie zjawisk zachodzących we Wszechświecie bardzo często korzysta z
„dziesiątek do różnych potęg” lub kosmicznych miar – lat świetlnych, parseków itp.
Nasze obliczenia doprowadzają nas do wyniku zbliżonego do mas aktywnych jąder
galaktyk. Możemy uznać, że skala została oszacowana w miarę poprawnie.
W ten sposób, znając podstawy matematyki, możemy rozważać podobieństwo czarnych
dziur do wody w szklance!
Szymon Moliński