niepewność wyznaczania sztywności statycznej obrabiarek z

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 55, ISSN 1896-771X
NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI
STATYCZNEJ OBRABIAREK Z UŻYCIEM
AKCELEROMETRÓW
Paweł Majda1a, Mirosław Pajor1b
1
Instytut Technologii Mechanicznej, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
a
[email protected], [email protected]
Streszczenie
Artykuł zawiera analizę niepewności wyznaczania sztywności obrabiarek, gdzie do pomiaru siły użyto jednoosiowego siłomierza tensometrycznego, a przemieszczenia przeliczano ze wskazań przebiegów czasowych przyśpieszeń
mierzonych sejsmicznymi czujnikami drgań (akcelerometrami). W budżetowaniu uwzględniono także składowe
wnoszone przez wzmacniacze, karty akwizycji danych, histerezę siłomierza, dokładność pozycjonowania akcelerometrów i siłownika oraz współczynniki wzmocnień uzyskane z wzorcowania siłomierza i wzorcowania wskazań
przemieszczeń estymowanych na podstawie wskazań przyśpieszeń.
Słowa kluczowe: sztywność, niepewność pomiarów, obrabiarki
UNCERTAINTY OF DETERMINING STIFFNESS MACHINE
TOOL USING ACCELEROMETERS
Summary
The article contains an analysis of the uncertainty of determining the stiffness of machine which is used to
measure the strength of uniaxial strain gauge dynamometer and displacement converted indication of acceleration
time histories measured seismic vibration sensors (accelerometers). In budgeting uncertainty also includes
components contributed by amplifiers, data acquisition cards, hysteresis dynamometer and reinforcement ratios
derived from the calibration and the calibration of the gauge indications displacements estimated on the basis of
the indications of acceleration.
Keywords: stiffness, uncertainty, machine tool
1. WSTĘP
Badania sztywności polegają na pomiarze siły
i przemieszczeń wywołanych działaniem tej siły. Metodę
wyznaczania sztywności statycznej obrabiarek z użyciem
siłownika i czujników przyśpieszeń (akcelerometrów)
szczegółowo opisano w literaturze [1,2,3]. Metoda ta
zakłada, że jest możliwe obłożenie badanej maszyny
akcelerometrami (nawet całej konstrukcji jednocześnie)
i wyznaczenie w punktach pomiarowych przemieszczeń
ze wskazań przyśpieszeń. Stwarza to bardzo komfortową
sytuację, bo można mierzyć w ten sposób konstrukcje
różnego typu bez konieczności budowania pomocniczego
oprzyrządowania pomiarowego. Źródłem niepewności
metody oraz istotną wadą takiego podejścia jest pośrednia metoda wyznaczania charakterystyk przemieszczeń.
Dlatego w tej pracy prezentowane są wyniki analizy
niepewności mające na celu ustalenie zakresu stosowalności przedmiotowej metody w badaniach obrabiarek
średniej wielkości. Budżetowaniu podlegały składowe
związane z pomiarem siły wymuszającej o częstotliwości
10Hz i przemieszczeń estymowanych na podstawie
znajomości szeregów harmonicznych wyznaczonych dla
mierzonych
przebiegów
czasowych
przyśpieszeń.
Uwzględniono także udział związany z dokładnością
położenia akcelerometrów i siłownika na obrabiarce.
69
NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIAREK...
stykę przemieszczenia wyznacza się (bez konieczności
całkowania) z zależności (2):
2. PRZELICZANIE SYGNAŁÓW
POMIAROWYCH
PRZYŚPIESZENIA
NA PRZEMIESZCZENIA
Z UŻYCIEM SZEREGÓW
HARMONICZNYCH
∬ adt = ௜ୀଵ
ି୅౟ ∙ୱ୧୬ሺଶ∙୧∙஠∙୤౟ ∙୲ାன౟ ሻ
ସ∙୧మ ∙஠మ ∙୤మ౟
(2)
Na rys. 2 przedstawiono przykładowe charakterystyki
przyspieszenia, jakie uzyskano w wyniku pomiaru sygnału z dominującą składową harmoniczną oraz dopasowania szeregu (1).
Aby przeliczyć sygnał pomiarowy przyśpieszenia na
przemieszczenia, należy go dwukrotnie scałkować. Aby
zrobić to poprawnie, konieczna jest znajomość charakterystyki przyśpieszenia zawierającej także jej składową
stałą. W zależności od konstrukcji akcelerometrów mogą
one posiadać możliwość pomiaru składowej stałej. Jednak znacznie popularniejsze i częściej wykorzystywane
w praktyce metrologicznej obrabiarek są akcelerometry
bez tej możliwości. Warunkiem koniecznym przeprowadzenia pomiaru z zamiarem wyliczenia przemieszczeń ze
wskazań takiego akcelerometru jest zastosowanie periodycznej siły wymuszającej. Prezentowana tutaj analiza
dotyczy właśnie takiego przypadku. Inspirując się metodą estymacji charakterystyk sztywności połączeń stykowych przedstawioną w pracy [4], proponuje się zastosować szeregi harmoniczne do opisu charakterystyk mierzonych przyśpieszeń. Takie ujęcie problemu likwiduje
konieczność całkowania numerycznego mierzonych
sygnałów, ułatwiając ich przeliczenie na sygnały przemieszczeń. Sygnał przyśpieszenia poddawany jest transformacji Fouriera, by wyznaczyć amplitudy i częstotliwości głównych harmonicznych (rys.1). Proponuje się
użycie ich jako punktów startowych modelu dopasowania, tj. szeregu postaci:
a = ∑௡௜ୀଵ A୧ ∙ sin2 ∙ i ∙ π ∙ f୧ ∙ t + ω୧ ௡
Rys. 2. Przykładowy widok dopasowanego (estymowanego)
modelu na tle sygnału z akcelerometru o częstotliwości głównej
harmoniki 10Hz
Opisaną procedurę poddano sprawdzeniu, mierząc
czujnikiem pojemnościowym przemieszczenia (dokładność <13nm przy k=2), jakich doznawał akcelerometr
umieszczony na wzbudniku elektromagnetycznym.
Wyznaczono w ten sposób poprawki i niepewności
rozszerzone dla różnych częstotliwości i amplitud mierzonych sygnałów periodycznych (sinus z dominującą
główną harmoniką). Dla akcelerometru 352C33 firmy
PCB (sensitivity 10,18 mV/m/s2) wykazano, że niepewność rozszerzona dla k=2 wyznaczonych przemieszczeń
wg równania (2) jest mniejsza od 6% wartości estymowanej wielkości w zakresie amplitud od 5 do 200 m
i częstotliwości głównej harmoniki powyżej 10Hz. Zakresy te w zupełności pokrywają zapotrzebowanie na przeprowadzanie pomiarów dla obrabiarek średniej wielkości.
Widok stanowiska do sprawdzania dokładności wyznaczania przemieszczeń ze wskazań akcelerometru przedstawiono na rys. 3.
(1)
gdzie: t - czas oraz poszukiwane parametry szeregu
harmonicznego; Ai - amplituda, fi - częstotliwość, i przesunięcie fazowe.
Rys. 1. Przykładowa charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa przyśpieszenia z dominującą składową harmoniczną
mierzonego akcelerometrem
Przedstawione podejście bardzo ułatwia i przyśpiesza
metody obliczeniowe algorytmów dopasowania modelu
do danych doświadczalnych. Mając wyznaczone parametry szeregu harmonicznego (1), poszukiwaną charaktery-
Rys. 3. Widok stanowiska do porównywania wskazań akcelerometru i pojemnościowego czujnika przemieszczeń
70
Paweł Majda, Mirosław Pajor
Niepewność wyznaczania sześciu współrzędnych uogólnionych jest zależna od niepewności wyznaczania przemieszczeń w punktach pomiarowych (czyli od wartości
wielkości mierzonej) i odległości od środka układu
współrzędnych, w którym będą wyznaczane. Czyli
niepewność ta jest typowym składnikiem wynikającym z
błędów metody pomiaru. Dodatkowo należy brać pod
uwagę fakt, że fizyczne mocowanie czujników na obrabiarce można wykonać ze skończoną dokładnością.
Dlatego na potrzeby analizy niepewności przyjęto, że
można je mocować w przyjętym układzie współrzędnych
z maksymalnym błędem granicznym ±2mm.
Badając wpływ liczby czujników na dokładność wyznaczania przemieszczeń uogólnionych, można wykazać,
że niepewność ich wyznaczania może być mniejsza od
niepewności pomiaru przemieszczeń w punktach pomiarowych. Jest to efektem korzystnego uśredniania. Przykładowo
dla
sześciu
czujników
mierzących
z niepewnością ±5 m niepewność wyznaczenia współrzędnych uogólnionych na powierzchni badanej bryły
w najgorszym przypadku wynosi dla przemieszczeń
translacyjnych mniej od ±8 m i rotacyjnych mniej od
15 rad. Po zwiększeniu liczby czujników do dziewięciu
niepewności te zmniejszają się odpowiednio do ±4 m dla
translacyjnych oraz do ±10 rad dla przemieszczeń
rotacyjnych.
3. NIEPEWNOŚĆ WYNIKAJĄCA
Z WYZNACZANIA
PRZEMIESZCZEŃ
UOGÓLNIONYCH
Należy podkreślić, że akcelerometry można rozmieścić na badanym obiekcie w punktach dowolnych. Jednak w prezentowanej metodzie zakłada się, że w najgorszym przypadku należy wyznaczyć minimalną liczbę
punktów pomiarowych, z których będzie możliwe wyznaczenie współrzędnych uogólnionych badanej bryły, tj.
trzy przemieszczenia translacyjne i trzy rotacyjne.
Oczywiście czujników może być więcej niż sześć. Podejście takie pozwala transformować geometrycznie przemieszczenia punktów pomiarowych na współrzędne
uogólnione do dowolnego punktu - np. do punktu przyłożenia siły. Dlatego przed rozmieszczeniem akcelerometrów proponuje się wykonać obliczenie optymalnego
położenia czujników na bryle ze względu na minimalizację niepewności wyznaczenia współrzędnych uogólnionych w interesującym nas punkcie. Danymi wejściowymi
do takiej optymalizacji są niepewności wyznaczanych
przemieszczeń w punktach pomiarowych i obszary,
w których można przykleić akcelerometr na obrabiarce
(rys. 4).
4. ŹRÓDŁA NIEPEWNOŚCI
POMIARU SIŁY
Siłownik pneumatyczny generujący periodyczną siłę
z dominującą składową harmoniczną o regulowanej
amplitudzie montowano za pośrednictwem przegubów
kulistych do stołu obrabiarki z jednej oraz oprawki
narzędziowej z drugiej strony. Taki sposób mocowania
eliminuje powstawanie momentów gnących. Widoczny
na rys. 6 sposób pozycjonowania siłownika umożliwia
zrzutowanie siły wymuszającej na trzy kierunki osi
obrabiarki. Umożliwia to z jednego zamocowania wykonanie pomiarów dla trzech kierunków. Jednak należy
mieć świadomość, że takie mocowanie wprowadza do
pomiaru sił na kierunkach osi obrabiarki źródło niepewności wyznaczania kosinusów kierunkowych. Do analizy
niepewności, prezentowanej w dalszej części artykułu,
przyjęto maksymalny błąd graniczny wysięgów siłownika
na kierunkach osi posuwowych na poziomie ±2mm.
Rys. 4. Widok powierzchni na obrabiarce, na których możliwym
jest mocowanie akcelerometrów podczas pomiaru przemieszczeń
wrzeciennika
Rys. 5. Widok akcelerometrów (trzech z sześciu) montowanych
na wrzecienniku obrabiarki w punktach zapewniających minimalną niepewność wyznaczania przemieszczeń uogólnionych w
punkcie przyłożenia siły
Rys. 6. Widok siłownika i siłomierza oraz układ współrzędnych,
w którym dokonano rzutowania siły na kierunki osi obrabiarki
71
NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIAREK...
Kolejne składowe to tensometryczny jednoosiowy siłomierz o zakresie FS=±1000N, stałej mostka 1,49±2%,
błędach liniowości ±0,108%FS, histerezy ±0,121%FS,
zera ±0,6%FS i pełzaniu ±0,071%FS/10K. Siłomierz
zasilano napięciem 5V z dokładnością ±0,1%, błędem
zera ±5mV i pełzaniem ±0,01%/K. Wzmacniacz napięcia mierzonego na mostku tensometrycznym posiadał
stałą wzmocnienia 400 z dokładnością ±0,2%, liniowością 0,2%FS i pełzaniem 300ppm/K. Do akwizycji
sygnału napięciowego siłomierza użęto karty NI4499
o maksymalnym błędzie granicznym wzmocnienia ±0,5%
i błędu zera ±500 V.
scharakteryzować rozkładem prostokątnym. Dla współczynnika rozszerzenia k=2 otrzymano wskaźniki sztywności wraz z ich niepewnościami: kx=19,0±2,2,
ky=23,1±2,9, kz=30,1±5,9 N/ m. Porównując otrzymane
wartości,widać, że posiadają wspólne obszary w zakresie
niepewności. Czyli nie można wykazać w tym przypadku
istotnych różnic pomiędzy wartościami wskaźników
sztywności wyznaczonymi dla różnych kierunków osi
posuwowych. W celu sprawdzenia istotności wpływu
poszczególnych źródeł niepewności na niepewność rozszerzoną wskaźników sztywności wyznaczono budżet
niepewności [6] - Tabela 1.
Tabela 1. Budżet niepewności wyznaczania współczynników
sztywności statycznej obrabiarki średniej wielkości z użyciem
akcelerometrów, siłomierza tensometrycznego i siłownika
pneumatycznego (wartości w %)
5. NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA
SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ
OBRABIARKI ŚREDNIEJ
WIELKOŚCI - PRZYKŁAD
Dla zobrazowania przedmiotowej metody jako przykład przedstawiono wyniki pomiarów typowej obrabiarki
średniej wielkości (zakres przesuwu najdłuższej osi mniej
od 1m). Mierzono przyśpieszenia wrzeciennika i stołu
obrabiarki wynikające z generowania periodycznie
zmiennej siły (z dominującą od zerowo tętniącą harmoniką o częstotliwości 10Hz) siłownikiem pneumatycznym
widocznym na rys. 5. Akcelerometry rozmieszczono na
badanych bryłach zgodnie z procedurą przedstawioną
uprzednio. Przebiegi zmierzonych przyśpieszeń estymowano szeregami harmonicznymi zgodnie z procedurą
przedstawioną w p. 2.
W wyniku przeprowadzenia pomiarów wyznaczono
charakterystyki siła-przemieszczenie (rys. 7). Siłę rzutowano na kierunki osi posuwowych badanej maszyny
i wyznaczono na tych kierunkach przemieszczenia uogólnione wywołane działaniem tej siły. Współczynnik
sztywności statycznej obrabiarki na poszczególnych
kierunkach rozumiany jest tutaj jako współczynnik
kierunkowy
prostej
na
charakterystyce
siłaprzemieszczenie.
W przedstawionym przykładzie najsłabszym ogniwem, ze względu na udział wnoszony do niepewności
wyznaczania wskaźników sztywności statycznej obrabiarek średniej wielkości jest składowa, której wartość
wynika z metody przeliczania sygnałów przyśpieszenia
na przemieszczenia (blisko 60% udziału w całkowitym
budżecie niepewności). Udział ten łatwo jest zmniejszyć
przez zastosowanie większej liczby akcelerometrów
w pomiarach. Stosując ich dziewięć zamiast sześciu oraz
rozmieszczając je z dokładnością do ±1 zamiast ±2mm,
uzyskano zmniejszenie niepewności rozszerzonej odpowiednio o 32% dla kx, 45% dla ky oraz 25% dla kz. Udział
niepewności pochodzący od dokładności pozycjonowania
każdego akcelerometru na kierunku, w którym mierzy on
przyśpieszenie, liniowości i histerezy siłomierza, stabilności zasilania oraz charakterystyk wzmacniacza siłomierza
jest nieistotny, bo rozszerzona niepewność wskaźników
sztywności wyznaczona z pominięciem tych składowych
zmalałaby nie więcej od 2%. Dlatego w budżetowaniu
można pominąć wymienione uprzednio składowe bez
ryzyka istotnego niedoszacowania przedmiotowej niepewności.
Rys. 7. Przykład charakterystyki siła-przemieszczenie otrzymanej dla obrabiarki średniej wielkości
Obliczenie niepewności wyznaczania wskaźników
sztywności przeprowadzono metodą Monte Carlo [5].
W procesie randomizacji (10000 powtórzeń) wielkości
wejściowych przyjęto założenie, że zakres zmienności
wszystkich niezależnych źródeł niepewności można
72
Paweł Majda, Mirosław Pajor
Jako perspektywę rozwijania metody w celu poprawienia
dokładności wyznaczanych wielkości godnym uwagi
wydaje się sprawdzenie innych postaci szeregów harmoharm
nicznych niż rozpatrywany w tej pracy.
W przedstawionym przykładzie niepewność rozszerozsz
rzona wyznaczania wskaźników sztywności typowej
obrabiarki średniej wielkości osiągnęła wartości mniejsze
niż 10% wartości rozpatrywanej wielkości. Wynik ten
można uznać za zadowalający, bo pozwolił wykazać
istotność
ność różnic wartości wskaźników sztywności na
rozpatrywanych kierunkach (tj. wzdłuż osi posuwowych
obrabiarki).
6. PODSUMOWANIE
Ze względu na niepewność wyznaczania sztywności
obrabiarek średniej wielkości najsłabszym ogniwem
przedstawionego systemu pomiarowego jest sposób
wyznaczania przebiegów czasowych przemieszczeń ze
wskazań akcelerometrów. Skutecznym i łatwym
w praktycznej realizacji sposobem minimalizacji wpływu
tej wady na niepewność jest zwiększanie liczby akceleakce
rometrów oraz sposobu ich rozmieszczenia na badanej
bryle.
Prace realizowane były w ramach projektu INNOTECH-K3/IN3/13/226352/NCBR/14
INNOTECH K3/IN3/13/226352/NCBR/14 finansowanego przez NCBiR;
Uniwersalne, wysokowydajne
okowydajne 5 osiowe centrum obróbkowe ze stołem uchylno obrotowym
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Kosmol J., Śliwka J., Kaźmierczak M.: Doświadczalne wyznaczanie sztywności obrabiarek metodą dynamiczną:
dynamiczną
obrabiarki
brabiarki sterowane numerycznie i programowanie operacji w technikach wytwarzania. Radom: Wyd.
Wyd Pol. Radomskiej, 2009, s. 76-89.
ztywności statycznej obrabiarek.
obrabiarek
Patent nr 193916 udz. 201.10.2006 pt. Sposób wyznaczania sztywności
Śliwka J.: Identyfikacja sztywności statycznej obrabiarek ciężkich w warunkach przemysłowych.
przemysłowych. Gliwice: Wyd.
Pol. Śl., 2013.
Skrodzewicz J.: Estimation of the
he nonlinear mathematical model of the contact joint
oint based on experimental
data. "WIT
WIT Transactions on Engineering Sciences"
Sciences 1999, Vol.. 24, DOI 10.2495/CON990511, p. 10.
Sadek J.: Dokładnośćć pomiarów współrzędnościowych. Kraków: Wyd. Pol.Krak., 2011.
Jakubiec W., Zator S., Majda P.: Metrologia. Warszawa: PWE, 2014.
73