METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Kratownica płaska – formalizm MES. Dane: A=15 × 10-4 m2 , E = 2.0 × 1011 Pa
Przykład 1.
Y
8
4
P=12 kN
2
7
1
1
3
2
6
5
X
1
HA
VA
VB
3m
5
3
4
4
3
2
4m
4m
Rys.1.
1. Dyskretyzacja. W kratownicy podział jest oczywisty – pręt jest elementem, węzeł kratowy
węzłem w rozumieniu MES. Przy podziale na węzły i elementy w układzie globalnym X,Y
numery elementów oznaczono przez e (e=1,2,...5), numery węzłów przez i (i=1,...4);
5 elementów, 4 węzły. Węzły ponumerowano tak, aby znane stopnie swobody (nieruchome
równe 0) były na końcu wektora r. Jest to wygodne w obliczeniach ręcznych, niekoniecznie
przy analizie komputerowej. Dla dalszych potrzeb rozróżniamy prawoskrętny układ globalny
X,Y,Z oraz prawoskrętny lokalny x,y,z związany z elementem. Początek układu lokalnego
umieszczamy w węźle o niższym numerze, a zwroty osi z i Z powinny być zgodne.
Wektory węzłowych stopni swobody r i sił węzłowych R mają następującą postać:
 r1  u 1
 0 

r   v
− 12

 2  1



 r3  u 2
 0 

  



r4   v 2
0 



r=
R=
=
 r5  u 3
 0 

  



 r6   v 3 = 0 
 VB 
 r  u = 0
H 
 7  4
 A

 VA 
 r8   v 4 = 0 
2. Macierz sztywności elementu kratownicy płaskiej ke w globalnym układzie
współrzędnych z równania Qe= ke ⋅qe
a
Y
x
b
Xb
y
b
Y
c
vb
e
a
α
l
Yb
va
Xa
Ya
Y
l
l+∆
Vb=Ns
ub
l
Ha=-Nc
ua
X
N
X
N
Hb=Nc
α
Va=-Ns
X
Rys.2.
1
Na rysunku 2.a przedstawiono typowy element o numerze e
niższym oznaczono literą a , a o wyższym literą b .
Długość pręta l =
i dwóch węzłach. Węzeł o numerze
(Yb − Ya )2 + ( X b − X a )2
1
(X b − X a )
l
1
s = sin α = (Yb − Ya ) .
l
Na rysunku 2.b pokazano przemieszczenia pręta określone przez przesuniecia końców mierzone w
globalnym układzie współrzędnych, tzn. wektor przemieszczeń węzłowych elementu e jest
postaci
u a 
v 
a
qe =  
u b 
 
v b 
Wydłużenie pręta obliczamy jako różnicę rzutów przesunięć końców na jego kierunek
u a 
v 
∆l = (u b − u a )c + (v b − v a )s ,
∆l = [− c − s c s ] ⋅  a  .
u b 
 
v b 
W elemencie jest stała siła podłużna N , której rzuty Hi i Vi, (i=a,b), w węzłach podano na
rysunku 2.c . Wektor sił węzłowych Qe odpowiadający wektorowi qe ma postać:
 H a  − N c
− c
 V  − N s
 − s
a 



=
= N 
Qe =
H b   N c 
 c
  

 
 s
 Vb   N s 
c = cos α =
Z prawa Hooke’a N =
EA
∆l zatem
l
− c
 
EA  − s 
Qe =
⋅ [− c − s c s ] ⋅ q e
l  c
 
 s
z tego zapisu ostatecznie otrzymamy
EA
ke= l
cc
cs
-c c -c s
sc
ss
-s c -s s
-c c -c s c c
cs
sc
ss
-s c -s s
2
Należy zauważyć, że w elemencie przyjęto stałą siłę N. Ponieważ N=A⋅E⋅ε to ε=const i
dε d 2 u
=
= 0 . Zatem u(x) = Ao+A1x. Oznacza to, że w elemencie dokonano liniowej aproksymacji
dx dx 2
pola przemieszczeń, które może być zapisane w postaci u(x)=N1(x)∆a+N2(x)∆b , gdzie
x
x
N 2 (x) =
, N 1 ( x ) = 1 − , a ∆a i ∆b są przesunięciami końców elementu wzdłuż osi pręta.
l
l
Macierze sztywności poszczególnych elementów są następujące:
element 3
element 4
cosα=-0,8 ; sinα=0,6 ; l = 5 m , cosα=0,8 ; sinα=0,6 ; l = 5 m ,
element 1
cosα=-1 ; sinα=0 ; l = 4 m ,
r1
r2
r7
r8
0,25
0
-0,25
0
r1
0
0
0
0
r2
0
r8
r2
r3
r4
0
0
0
0
0,333
0
r1
r1
r2
r5
r6
0,25
0
-0,25
0
r1
0
0
0
r2
0,25
0
r5
0
r6
-0,333 r2
r3
Na bokach macierzy
poszczególnych elementów
zapisano globalne stopnie
swobody odpowiadające
numerom kolumn i wierszy.
ri
ri
et
et
m
0
sy
m
0
0,072 r6
element 2
cosα=1 ; sinα=0 ; l = 4 m ,
k2= EA
sy
k5= EA
r1
0,072 r8
a
element 5
cosα=0 ; sinα=-1 ; l = 3 m ,
0,128 0,096 r5
a
0
k4= EA
ri
0
r6
et
0
0,128 -0,096 r7
m
r7
sy
0
r5
0,072 -0,096 -0,072 r4
ri
0,25
r4
0,072 0,096 -0,072 r4
et
0
r3
r8
0,128 0,096 -0,128 -0,096 r3
m
-0,25
k3= EA
r7
0,128 -0,096 -0,128 0,096 r3
sy
k1= EA
r4
r3
a
a
0,333 r4
3. Macierz sztywności konstrukcji – „zszywanie” elementów: połączenia i równowaga.
Wykorzystujemy równania równowagi poszczególnych węzłów oraz zgodność przemieszczeń
w węzłach. Zgodność przemieszczeń zapewnia się przez przyjęcie globalnej numeracji stopni
swobody w każdym elemencie (np. dla elementu 5 u1=r1 , v1=r2 , u2=r3 , v2=r4 – patrz rysunek).
v4 = r8
u4 = r7
4
v1 = r
2
1
v 1 = r2
1
1 u1 = r1
u1 = r1
v1 = r2
u1 = r1
3
1
5
4
3
2
2
v3 = r6
2
u3 = r5
3
v 2 = r4
u2 = r3
4
2
Rys.3.
3
Przykładowo równowaga węzła 1 (dwa pierwsze równania równowagi, węzeł wspólny dla
elementów nr 1, 2 i 5):
12 kN
2
Q e=1
∑X = 0
∑Y = 0
2
Qe=2
1
1
Qe=1
1
Q e=2
⇒
Q1e =1 + Q1e = 2 + Q1e = 5 = 0
⇒
Q e2=1 + Q e2= 2 + Q e2= 5 = −12 kN
1
Qe=5
2
Q e=5
Występujące w równaniach siły węzłowe elementów wyrażamy za pomocą zależności Qe= ke ⋅ qe
wykorzystując warunki połączenia (zgodności przemieszczeń):
Q1e=1 = EA(0,25r1 − 0,25r7 ) , Q1e= 2 = EA(0,25r1 − 0,25r5 ) , Q1e=5 = 0
EA(0,5r1 − 0,25r5 − 0,25r7 ) = 0
równanie 1 :
Q e2=1 = 0 , Q e2=2 = 0
,
Q e2=5 = EA(0,333r2 − 0,333r4 )
EA(0,333r2 − 0,333r4 ) = −12
równanie 2 :
W podobny sposób można uzyskać pozostałe równania. Po zbudowaniu układu równań tj.
macierzy sztywności konstrukcji oprócz macierzy sztywności poszczególnych elementów w
układzie globalnym potrzebne są także globalne numery wierszy i kolumn wynikające ze sposobu
połączeń. Budowa (agregacja) macierzy sztywności konstrukcji polega na sumowaniu wyrazów o
tych samych numerach globalnych wierszy i kolumn – jest to tzw. dodawanie z alokacją.
1
1
2
3
6
7
8
1
13
k
k
k524
5
k22
3
k11 +
k411
3
4
2
k31
sy
3
r1
0
r2
-12
k413
k414
k313
k314
r3
0
k322 +
k423
5
4
k22+ k44
k424
k323
k324
r4
0
k233 +
4
k33
k434
k12 +
k412
r5
4
m
et
6
5
2
13
k +
k
2
5
4
1
11
2
11
k44
=
0
ri
VB
r7
HA
r8
VA
a
r6
7
k131
1
k33 +
k333
k334
3
8
k44
Zatem macierz sztywności konstrukcji ma postać ( w macierzy elementy zerowe opuszczono):
4
K 12
K 11
EA 0,5
-0,25
0,333
-0,25
-0,333
-0,128 -0,096 -0,128 0,096
0,256
0,477 -0,096 -0,072 0,096 -0,072
K=
0,378 0,096
sy
m
et
0,072
ri
a
0,378 -0,096
0,072
K 22
K 21
K⋅r=R
4. Rozwiązanie równań równowagi – uwzględnianie warunków brzegowych.
Rozwiązanie jest możliwe po uwzględnieniu sposobu podparcia konstrukcji. Równanie (1)
zapiszemy w postaci blokowej rozróżniając stałe (nieruchome) stopnie swobody (r6 = r7 = r8) oraz
ruchome, nieznane stopnie swobody (pozostałe).
K11
K21
r1
K12
(3 x 5)
(3 x 3)
x
4
R1
(3 x 1)
=
r0
K22
K 11 r1 + K 12 r0 = R 1

K 21 r1 + K 22 r0 = R 0
, gdzie r0 nieruchome stopnie swobody:
r6
0
(5 x 3)
(5 x 3)
(5 x 5)
⇒
r0 =
R0
−1
r1 = K 11
R1
r7
2
⇒
=
0
−1
R 0 = K 21 (K 11
R1 )
tzn. po obliczeniu ruc hom ych stopni swobody obliczamy reakcje.
2.667
2
2.667
2.667 5.906 2.667
2.667 10.5
4
0
r8
-32
4
5.333
4
2.667 10.5 5.333
4
5.333
8
r1
-162.036 r2
2.667 13.503 2.667 10.5 5.333
-1
1
K11= EA
=
-1
1
r 1 = K R 1= EA
-32
r3
-126
r4
-64
r5
5
R 0 = K 21
Re akcje :
 VB   6 
r1 = H A  = 10 −15 
 VA   6 
5. Obliczanie sił przekrojowych.
Obliczamy je z zależności Qe = ke qe .
Element 1
 r1 
 − 32 
r 


1 − 162.036
q1 =  2  =
r7  EA 

0
 


0


 r8 
Ponieważ Q1 = k1 q1 , możemy zapisać i wyliczyć
-32
-162,036
0
0
0,25
0
-0,25
0
-8
0
0
0
0
0
-0,25
0
0,25
0
-8
0
0
0
0
0
węzeł
początkowy
0
8
węzeł
końcowy
1
0
końcowy
8
początk.
Element 5
Ponieważ Q5 = k5 q5 , możemy zapisać i wyliczyć
 r1 
 − 32 
r 


1 − 162.036
2

=
q5 =
 r3  EA  − 32 
 


 − 126 
r4 
6
-32
-162,036
-32
-126
0
0
0
0
0
0
0.333
0
-0.333
-12.013
0
0
0
0
0
0
-0.333
0
0.333
12.013
12,0
0
początk.
węzeł
początkowy
5
węzeł
końcowy
końcowy
0
12,0
Ostatecznie wykres sił przekrojowych (rys. 4a) oraz przemieszczeń (rys. 4b) są następujące:
Y
-8 kN
4
3
-8 kN
X
HA = 0
-12 kN
1
VA = 6 kN
10
kN
VB = 6 kN
kN
10
2
Rys.4a.
Y
4
3
1
X
2
Rys. 4b.
7