Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych

Transkrypt

Część 1
1. LINIE WPŁYWOWE W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
1

1.
1. LINIE WPŁYWOWE W UKŁADACH
STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
1.1. Zadanie 1
Dla łuku trójprzegubowego parabolicznego przedstawionego na rys. 1.1 należy wyznaczyć linie
wpływowe
reakcji
podporowych
oraz
sił
wewętrznych
w
zaznaczonych
przekrojach
− , − , − , − .
P=1 [-]
γ
α
β
2a
a
α
β
2a
2a
δ
γ δ
2a
2a
a
a
2a
Rys. 1.1.
Rozwiązanie
Aby określić położenie siły jednostkowej P=1 [-] poruszającej się po zadanej konstrukcji
przyjmujemy układ współrzędnych x,y zgodnie z rys. 1.2.
P=1 [-]
a
α
β
y
γ
β
α
γ
δ
2a
δ
x
HA(x)
Hc(x)
VA(x)
x
2a
2a
VC(x)
2a
2a
a
a
2a
Rys. 1.2.
Dominik Kretschmer, Łukasz Lewiński – gr.2
AlmaMater
Część 1
2
W celu wyznaczenia linii wpływowych zadanych wielkości statycznych dla łuku z pomostem
pośrednim, należy najpierw przeprowadzić rozważania dla analogicznej konstrukcji bez pomostu
pośredniego (rys. 1.3)
P=1 [-]
α
β
y
γ,δ
α
β
x
HA(x)
2a
γ,δ
Hc(x)
VA(x)
x
VC(x)
2a
2a
2a
a
a
Rys. 1.3.
1. Wyznaczenie równania paraboli łuku.
Równanie łuku parabolicznego ma postać:
y=
4 ⋅f ⋅x
⋅ L−x
L2
gdzie:
f - strzałka łuku – odległość od cięciwy łączącej podpory do najwyższego punktu łuku,
L – rozpiętość – najkrótsza odległość między podporami.
y
φ
f
x
L
Rys. 1.4.
Stąd równanie zadanego łuku parabolicznego przyjmie postać:
y=
4 ⋅2 a⋅x
8 ax
64 a 2 x 8 ax 2
⋅8
a−
x=
⋅8
a−
x=
−
8 a2
64 a 2
64 a 2 64 a 2
1
y= x− ⋅x 2
8a
Kąt nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy:
tg = y ' =1−
1
1
⋅2 x=1− ⋅x
8a
4a
2. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zależności od połozenia siły P=1 [-].
AlmaMater
Część 1
3
P=1 [-]
y
2a
x
HA(x)
Hc(x)
VA(x)
x
VC(x)
2a
2a
2a
a
a
Rys. 2.1.
2.1. Równania równowagi dla całego układu:
∑ X =0
H A −H C =0
H A =H C =H
∑ M A=0
−V C⋅8 a1 ⋅x=0
x
lw V C =
[−]
8a
∑ M C =0
V A⋅8 a−1 ⋅8 a−x=0
8 a−x
lw V A =
8a
x
lw V A =1−
[−]
8a
2.2. Równania równowagi dla poszczególnych części łuku przeciętego w miejscu przegubu w celu
wyznaczenia linii wpływu reakcji poziomej H (lwH).
VB(x)
P=1 [-]
HB(x)
y
HB(x)
VB(x)
2a
x
HA(x)
Hc(x)
VC(x)
VA(x)
x
4a
4a
Rys. 2.2.1.
AlmaMater
Część 1
4
0  x4 a
∑ M B =0
H⋅2 a−V C⋅4 a=0
x
lw H =2 ⋅
8a
x
lw H =
[−]
4a
VB(x)
HB(x)
y
P=1 [-]
HB(x)
VB(x)
2a
x
HA(x)
Hc(x)
VC(x)
VA(x)
8a-x
4a
4a
Rys. 2.2.2.
4 a x8 a
∑ M B =0
−H⋅2 aV A⋅4 a=0
x
lw H =2 ⋅ 1 −
[−]
8a


2.3.Wykres linii wpływu reakcji podporowych przedstawiono na poniższym rysunku.
P=1 [-]
x
y
2a
x
HA(x)
VA(x)
1
Hc(x)
4a
lw VA [-]
+
X
1- 8a
+
x
8a
X
4a
VC(x)
4a
+
1
1
lw VC[-]
lw H [-]
x
2(1-8a
)
Rys. 2.3.
3. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju α-α.
AlmaMater
Część 1
5
P=1 [-]
α
y
α
2a
x
HA(x)
Hc(x)
VA(x)
x
VC(x)
4a
2a
2a
Rys. 3.1.
a) wyznaczenie położenia przekroju α-α w układzie współrzędnych:
y= x−
1 2
⋅x
8a
gdzie : x=6 a
1
⋅6 a2
8a
y=6 a−4,5 a
y=1,5 a
x=6 a
y=6 a−
b) określenie kąta nachylenia stycznej do krzywej w przekroju α-α.
y ' =1 −
y ' =1 −
1
⋅x
4a
gdzie : x=6 a
1
⋅6 a=−0,5 =tan ⇒=−26,5651
4a
sin =0,4472
cos=0,8944
c) wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju α-α dla poszczególnych przedziałów
•
0  x6 a
Nα
Mα
Tα
1,5a
Hc(x)
φ
2a
VC(x)
Rys. 3.2.
Wyznaczenie równań linii wpływu
N .
AlmaMater
Część 1
6
∑ N =0
N  V C⋅sin H⋅cos=0
x
lw N  =− ⋅0,4472 −0,8944 ⋅lw H
8a
Ze względu na obecność w powyższym równaniu linii wpływu reakcji podporowej H, która przybiera
inną postać z prawej i lewej części przegubu, należy rozpatrzyć dwa przedziały i dla nich wyznaczyć
odpowiednie równania linii wpływu N  .
0  x4 a
x
x
lw N  =−0,4472 ⋅ −0,8944 ⋅
8a
4a
x
lw N  =−2,2360 ⋅
[−]
8a
4 ax6 a


x
x
x
x
lw N  =−0,4472 ⋅ −0,8944 ⋅2 1 −
=−1,7888 −0,4472 ⋅ 1,7888 ⋅
8a
8a
8a
8a
x
lw N  =−1,7888 1,3416 ⋅
[−]
8a
T .
∑ T =0
T V C cos−H sin =0
x
lw T =0,4472 ⋅lw H −0,8944 ⋅
8a
odpowiednie równania linii wpływu T  .
0  x4 a
x
x
−0,8944 ⋅
4a
8a
lw T  =0,0 [ − ]
lw T  =0,4472 ⋅
AlmaMater
Część 1
7
4 ax6 a


x
x
x
x
−0,8944 ⋅ =0,8944 −0,8944 ⋅ −0,8944 ⋅
8a
8a
8a
8a
x
lw T  =0,8944 −1,7888 ⋅
[−]
8a
lw T  =0,4472 ⋅2 1−
M .
∑ M =0
M  −V C⋅2 aH⋅1,5 a=0
x
lw M  = ⋅2 a−1,5 a⋅lw H
8a
odpowiednie równania linii wpływu M  .
0  x4 a
x
x
x
lw M  =2 a⋅ −1,5 a⋅ =−a⋅
8a
4a
8a
x
lw M =−
[m]
8
4 ax6 a


x
x
x
x
x
lw M  =2 a⋅ −1,5 a⋅2 1 −
=2 a⋅ −3 a3 a⋅ =−3 a5 a⋅
8a
8a
8a
8a
8a
5
lw M  =−3 a x [m]
8
•
6 a x8 a
Mα
B
Nα
Tα
1,5a
HA(x)
VA(x)
2a
4a
Rys. 3.3.
N .
AlmaMater
Część 1
8
∑ N =0

lw N  = 1 −
N  −V A⋅sin H⋅cos=0



x
x
x
x
⋅0,4472 −0,8944 ⋅2 1 −
=0,4472 −0,4472 ⋅ −1,7888 1,7888 ⋅
8a
8a
8a
8a
x
lw N  =−1,3416 1,3416 ⋅
[−]
8a
T .
∑ T =0

lw T  =0,8944 ⋅ 1 −
T  −V A cos−H sin =0



x
x
x
x
0,4472 ⋅2 1−
=0,8944 −0,8944 ⋅ 0,8944 −0,8944 ⋅
8a
8a
8a
8a
x
lw T  =1,7888 −1,7888 ⋅
[−]
8a
M .
∑ M =0

lw M  =6 a⋅ 1 −

−M  V A⋅6 a−H⋅1,5 a=0


x
x
x
x
x
−1,5 a⋅2 1−
=6 a−6 a⋅ −3 a3 a
=3 a−3 a⋅
8a
8a
8a
8a
8a
3
lw M  =3 a− x [m]
8
AlmaMater
Część 1
9
Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju α-α przedstawiono na poniższym rysunku.
P=1 [-]
α
y
α
2a
x
HA(x)
Hc(x)
VA(x)
x
VC(x)
2a
2a
2a
x
-
-0,7826
x
-
0,4472
-0,5a
-
x
-0,1677 a -1,3416
-0,3354
-0,2236 a +0,8944
- x8
a
-0,1677 a -1,7888
-1,118
x
-0,2795 a
a
-0,4472
+
x
lw Tα [-]
-0,2236 a +1,7888
5
x-3a
8
+
0,75a
lw Nα [-]
lw Mα [m]
- 3 x-3a
8
Rys. 3.4.
4. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju β-β.
P=1 [-]
β
y
β
2a
x
HA(x)
Hc(x)
VA(x)
x
VC(x)
2a
2a
4a
Rys. 4.1.
a) wyznaczenie położenia przekroju β-β w układzie współrzędnych:
y= x−
1 2
⋅x
8a
gdzie : x=2 a
1
⋅2 a 2
8a
y=2 a−0,5 a
y=1,5 a
x=2 a
y=2 a−
AlmaMater
Część 1
10
b) określenie kąta nachylenia stycznej do krzywej w przekroju β-β.
y ' =1 −
y ' =1 −
1
⋅x
4a
gdzie : x=2 a
1
⋅2 a=0,5 =tan ⇒ =26,5651
4a
sin =0,4472
cos =0,8944
c) wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju β-β dla poszczególnych przedziałów
•
0  x2 a
Mβ
P=1 [-]
Nβ
Tβ
1,5a
HA(x)
φ
VA(x)
x
2a
Rys. 4.2.
N .
∑ N =0
N H cosV A sin −1 ⋅sin =0
lw N  =−lw H⋅cos−lw V A⋅sin 0,4472


x
x
−0,4472 ⋅ 1 −
0,4472
4a
8a
x
x
lw N =−0,2236 ⋅ 0,0559 ⋅
a
a
x
lw N  =−0,1677 ⋅
[−]
a
lw N =−0,8944 ⋅
AlmaMater
Część 1
11
T .
∑ T =0
T  H sin −V A cos1 ⋅cos=0
lw T =lw V A⋅cos−lw H⋅sin −cos


M .
x
x
−0,4472 ⋅ −0,8944
8a
4a
x
x
lw T =−0,1118 ⋅ −0,1118 ⋅
a
a
x
lw T =−0,2236 ⋅
[−]
a
lw T =0,8944 ⋅ 1 −
∑ M =0
3
−M V A⋅2 a−H⋅ a−1 ⋅2 a−x=0
2
3
lw M  =2 a⋅lw V A − a⋅lw H −2 a x
2
x
3
x
lw M =2 a⋅ 1 −
− a⋅ −2 ax
8a
2 4a
1
3
lw M =2 a− x− x−2 ax
4
8
3
lw M = x [m]
8

•

2 a x8 a
Mβ
Nβ
Tβ
1,5a
HA(x)
φ
VA(x)
2a
Rys. 4.3.
AlmaMater
Część 1
12
N .
∑ N =0
N H cosV A sin =0
lw N =−0,8944 ⋅lw H −0,4472 ⋅lw V A
odpowiednie równania linii wpływu N  .
2 ax4 a

x
x
lw N =−0,8944 ⋅ −0,4472 ⋅ 1 −
4a
8a
x
lw N =−0,1677 ⋅ −0,4472 [ − ]
a

4 a x8 a



x
x
−0,4472 ⋅ 1 −
8a
8a
x
lw N =0,2795 ⋅ −2,2360 [ − ]
a
lw N =−0,8944 ⋅2 1 −

T .
∑ T =0
T  H sin −V A cos =0
lw T  =−0,4472 ⋅lw H 0,8944 ⋅lw V A
odpowiednie równania linii wpływu T  .
2 ax4 a

x
x
0,8944 ⋅ 1 −
4a
8a
x
lw T =−0,2236 ⋅ 0,8944 [ − ]
a
lw T =−0,4472 ⋅

AlmaMater
Część 1
13
4 a x8 a



x
x
0,8944 ⋅ 1 −
8a
8a
lw T =0,0 [ − ]
lw T =−0,4472 ⋅2 1 −

M .
∑ M =0
3
−M −H⋅ aV A⋅2 a=0
2
3
lw M =− a⋅lw H 2 a⋅lw V A
2
odpowiednie równania linii wpływu M  .
2 ax4 a

3
x
x
lw M =− a⋅ 2 a⋅ 1 −
2 4a
8a
5
lw M =− x2 a [m]
8

4 a x8 a

 
3
x
x
lw M =− a⋅2 ⋅ 1−
2 a⋅ 1 −
2
8a
8a
3
1
lw M =−3 a x2 a− x
8
4
1
lw M = x−a [ m]
8

AlmaMater
Część 1
14
Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju α-α przedstawiono na poniższym rysunku.
P=1 [-]
β
y
β
2a
x
HA(x)
Hc(x)
VA(x)
x
VC(x)
2a
2a
4a
x
-0,1677 a -0,4472
-0,7826
x
-0,1677 a
-0,5a
x
-0,2236 a
-
lw Nβ [-]
-0,4472
-
+
0,4472
+
lw Tβ [-]
x
-0,2236 a +0,8944
-0,5a
3
x
8
-1,118
-
x
-a
8
lw Mβ [m]
5
- 8 x-3a
0,75a
Rys. 4.4.
5. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju γ-γ i δ-δ.
Ponieważ przekroje γ-γ i δ-δ w wyjściowym łuku leżą bardzo blisko siebie w przypadku łuku bez
pomostu pośredniego ograniczamy się do wyznaczenia sił przekrojowych w przekroju γ-γ.
P=1 [-]
y
γ,δ
HA(x)
2a
γ,δ
x
Hc(x)
VA(x)
x
VC(x)
4a
3a
a
Rys. 5.1.
a) wyznaczenie położenia przekroju γ-γ w układzie współrzędnych:
1 2
⋅x gdzie : x=7 a
8a
1
2
y=7 a− ⋅7 a  =7 a−6,125 a
8a
y=0,875 a
x=7 a
y=x−
AlmaMater
Część 1
15
b) określenie kąta nachylenia stycznej do krzywej w przekroju .
y ' =1 −
y ' =1 −
1
⋅x
4a
gdzie : x=7 a
1
⋅7 a=−0,75 =tan ⇒ =−36,8699
4a
sin =0,6
cos =0,8
c) wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju γ-γ dla poszczególnych przedziałów
•
0  x7 a
Tγ
Nγ
7
8
a
Mγ
Hc(x)
φ
VC(x)
a
Rys. 5.2.
N .
∑ N =0
N  H cosV C sin =0
lw N  =−0,8 ⋅lw H −0,6 ⋅lw V C
odpowiednie równania linii wpływu N  .
0  x4 a
x
x
−0,6 ⋅
4a
8a
x
lw N =−0,275 ⋅
[−]
a
lw N  =−0,8 ⋅
AlmaMater
Część 1
16
4 ax7 a

lw N =−0,8 ⋅2 1 −

x
x
−0,6 ⋅
8a
8a
x
lw N =0,125 ⋅ −1,6 [ − ]
a
T .
∑ T =0
T  V C cos− H sin =0
lw T  =0,6 ⋅lw H −0,8 ⋅lw V C
odpowiednie równania linii wpływu T  .
0  x4 a
x
x
−0,8 ⋅
4a
8a
x
lw T  =0,05 ⋅
[−]
a
lw T  =0,6 ⋅
4 ax7 a

lw T =0,6 ⋅2 1 −

x
x
−0,8 ⋅
8a
8a
x
lw T =−0,25 ⋅ 1,2 [ − ]
a
M .
∑ M =0
7
M  H⋅ a−V C⋅a=0
8
7
lw M  =− a⋅lw H a⋅lw V C
8
odpowiednie równania linii wpływu M  .
AlmaMater
Część 1
17
0  x4 a
7
x
x
lw M  =− a⋅ a⋅
8 4a
8a
3
lw M  =− x [m]
32
4 ax7 a


7
x
x
lw M =− a⋅2 1 −
a⋅
8
8a
8a
11
lw M = x−1,75 a [m]
32
•
7 a x8 a
Tγ
Nγ
7
a
8
P=1 [-]
Mγ
Hc(x)
φ
x
VC(x)
a
Rys. 5.3.
N .
∑ N =0
N  H cosV C sin −1 ⋅sin =0
lw N  =−0,8 ⋅lw H −0,6 ⋅lw V C sin 


x
x
−0,6 ⋅ 0,6
8a
8a
x
lw N  =0,125 ⋅ −1,0 [ − ]
a
lw N  =−0,8 ⋅2 1 −
AlmaMater
Część 1
18
T .
∑ T =0
T  V C cos−H sin −1 ⋅cos=0
lw T  =−0,8 ⋅lw V C 0,6 ⋅lw H cos


x
x
lw T  =−0,8 ⋅ 0,6 ⋅2 1 −
0,8
8a
8a
x
lw T  =−0,25 ⋅ 2,0 [ − ]
a
M .
∑ M =0
7
M  H⋅ a−V C⋅a1 ⋅ x−7 a=0
8
7
lw M  =− a⋅lw H a⋅lw V C −x7 a
8
7
x
x
lw M  =− a⋅2 1 −
a⋅ −x7 a
8
8a
8a
21
lw M  =− x5,25 a [m]
32


6. Wykres linii wpływu sił wewnętrznych dla łuku z pomostem pośrednim.
Na poniższych rysunkach zaznaczono linią przerywaną wykresy zadanych wielkości statycznych
dla łuku parabolicznego bez pomostu pośredniego, a linią ciągłą koloru zielonego naniesiono na nie
linie wpływowe wielkości statycznych dla łuku z pomostem pośrednim. Właściwy wykres dla całego
układu tworzymy łącząc odpowiednie wartości rzędnych w punktach połączenia łuku z pomostem
pamiętając o tym, że w podporach wartość linii wpływu wielkości statycznej jest równa zero. Należy
zwrócić uwagę, że przekrój γ-γ znajduje się po lewej stronie połączenia pomostu z łukiem, dlatego też
na wykresie linii wpływu bierzemy pod uwagę rzędną znajdującą się z prawej strony. Analogicznie
dla przekroju δ-δ znajdującego się po prawej stronie pręta podpierającego pomost pośredni, linię
wpływu wielkości statycznych prowadzimy przez rzędną otrzymaną z równania dla lewej części.
AlmaMater
Część 1
19
P=1 [-]
a
α
β
γ
α
β
γ
δ
2a
δ
Hc(x)
HA(x)
VA(x)
2a
2a
1
VC(x)
2a
2a
a
a
2a
lw VA [-]
+
+
1
lw VC [-]
lw H [-]
+
1
-1,118
-
-0,7826
lw Nα [-]
-0,3354
-0,4472
+
0,4472
lw Tα [-]
-0,5a
+
lw Mα [m]
0,75a
Rys.6.1.
AlmaMater
Część 1
20
P=1 [-]
a
α
β
γ
α
β
γ
δ
2a
δ
Hc(x)
HA(x)
2a
VA(x)
2a
2a
2a
a
a
VC(x)
2a
-1,118
-0,7826
-0,5a
0,4472
-
lw Nβ [-]
-0,4472
lw Tβ [-]
+
-0,5a
-
lw Mβ [m]
+
0,75a
-1,1
-0,725
-
-0,125
lw Nδ [-]
lw Nγ [-]
-0,55
+
-
0,2
+
0,25
lw Tδ [-]
lw Tγ [-]
-0,375a
lw Mγ=lw Mδ [m]
+
-0,65625a
Rys. 6.2.
AlmaMater

Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych

Transkrypt

Podobne dokumenty

APEL O POMOC PROSIMY WIĘC O PRZEKAZANIE 1% PODATKU

Kacper ma 8 lat urodził się jako wcześniak w 30 tygodniu ciąży, z

Ulotka_PL - Centrum Weterana

FUNDACJA ZŁOTOWIANKA Spółdzielczy Bank Ludowy Zakrzewo

spis treści

APEL O POMOC ,,Świat jest taki sam, tylko trochę inny”

Prof. Janusz Lewiński otrzymał tytuł Fellow of the Royal Chemical

z mechaniki budowli

Cały jeden punkt za ogromną chęć życia” 04

Grabowska Anna G/30 - Apel o pomoc