Modelowanie małżeńskich ubezpieczeń na życie z uwzględnieniem

dr hab. Joanna Dębicka, prof. UE Wrocław
prof. dr hab Stanisław Heilpern
dr inż. Agnieszka Marciniuk
Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu
Modelowanie małżeńskich ubezpieczeń na życie
z uwzględnieniem zależności długości życia małżonków
Rozważany jest dyskretny model małżeńskiego ubezpieczenia na życie ze stochastyczną
stopą procentową. Zakładamy, że przyszłe czasy trwania życia małżonków są zależne, a ich
struktura modelowana przez funkcje łączące (ang. copula).
Zastosowanie zmodyfikowanego modelu wielostanowego umożliwiło uzyskanie formuł
macierzowych na wielkości aktuarialne wieloosobowych ubezpieczeń na życie przy założeniu,
że przyszłe czasy trwania życia małżonków są zależne. Natomiast zapis macierzowy umożliwia
efektywną analizę struktury stochastycznej modelu i przepływów pieniężnych wynikających z
realizacji umów oraz zapewnia jednolitą formułę zarówno dla statusu wspólnego życia jak
i statusu ostatniego przeżywającego. W szczególności, narzędzie to ułatwia analizę wpływu
probabilistycznej struktury (z zależnością i niezależnością) modelu ubezpieczenia małżeństw
na wielkości aktuarialne takie jak składki oraz rezerwy i oczekiwane zyski w całym okresie
ubezpieczenia.
Praca finansowana z projektu badawczego UMO-2013/09/B/HS4/00490 pt.
„Niestandardowe wieloosobowe produkty ubezpieczeniowe uwzględniające zależności między
ubezpieczonymi”.
Słowa kluczowe: zależny przyszły czas trwania życia, zmodyfikowany model wielostanowy,
małżeńskie ubezpieczenia, funkcja łącząca, status ostatniego przeżywającego, stochastyczna
stopa procentowa
Pricing marriage insurances with mortality dependence
Joanna Dębicka, Stanisław Heilpern, Agnieszka Marciniuk
Wrocław University of Economics, Department of Statistics
Key words:
dependent lifetimes, modified multistate model, marriage insurance, copula, last surviving
status, stochastic interest rate.
Abstract:
We focus on a discrete-time model of marriage life insurance. We assume that the interest
rate is random and the lengths of the spouses’ lives are dependent. We model such a dependent
structure by copulas.
A uniform approach to the analysis of all types of future cash flows arising from the
marriage insurance contract will be developed. The appropriate accommodation of the modified
multiple state model will enable obtaining matrix formulas for actuarial values of multilife
insurance contract under consideration of dependence between the insured. Matrix notation
allows for an efficient analysis of the stochastic structure of the model and cash flows resulting
from the realization of contracts and it provides a compact form for both the joint-life status
and the last surviving status. In particular, this tool will facilitate the analysis of the impact of
the probabilistic structure of the model (with dependence and independence) of marriage
insurance for actuarial values, such as premiums and reserves.