I seria - Piotrkowski Maraton Matematyczny

VII Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
23.06.2012
I seria
Zadanie 1.
Kilku przyjaciół wyjechało o 9.00 na wycieczkę rowerową z Piotrkowa do Gorzkowic.
Mają do pokonania 45 km i jadą z prędkością 18 km/h. Goni ich spóźnialski, który pojawił
się na miejscu zbiórki 15 minut po czasie. Z jaką prędkością musi jechać, Ŝeby dogonić
grupę w Gorzkowicach?
Zadanie 2.
Wykorzystując 125 przystających sześcianików ułoŜono duŜy sześcian S. Następnie pewną
liczbę sześcianików odłoŜono, a z pozostałych sklejono bryłę, która jest sześcianem S,
mającym wydrąŜony na wylot tunel o przekroju jednostkowym przez środek kaŜdej ściany.
Ile sześcianików odłoŜono?
Zadanie 3.
JeŜeli zmaŜemy cyfrę jedności pewnej liczby czterocyfrowej, to otrzymamy liczbę o 1811
mniejszą od tej czterocyfrowej. Co to za liczba czterocyfrowa?
Zadanie 4.
Cztery przystające okręgi o promieniu 10 są styczne parami tak, Ŝe
dało się je wpisać w kwadrat ABCD, jak na rysunku obok.
Oblicz pole trójkąta DEF, wiedząc, Ŝe E i F są punktami styczności
dwóch z danych okręgów z bokami AB i BC kwadratu.
Zadanie 5.
W gimnazjalnym turnieju piłkarskim wystąpiła pewna liczba druŜyn. Turniej rozgrywano
metodą „kaŜdy z kaŜdym”. Po zakończeniu okazało się, Ŝe 60% druŜyn rozegrało co
najmniej jeden mecz remisowy, a 5/6 pozostałych co najmniej jeden mecz przegrało. Ile
druŜyn startowało w tym turnieju?
Strona www konkursu: http://pmm.piotrkow.pl/
–1–
VII Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
23.06.2012
II seria
Zadanie 6.
Dwie firmy: A i B podjęły się wyprodukować wspólnie w ciągu 12 dni ustaloną liczbę
jednakowych okien. Firma A wycofała się z udziału po dwóch dniach realizacji
zamówienia, więc pozostałą część okien wyprodukowała firma B. W ciągu ilu dni zostało
wykonane zamówienie, jeŜeli dzienna produkcja firmy B stanowi
2
dziennej produkcji
3
firmy A?
Zadanie 7.
Dany jest czworokąt wypukły ABCD, którego przekątne AC i BD mają długości
odpowiednio 17 i 22. Punkty K, L, M, N są środkami boków odpowiednio AB, BC, CD
i DA. Oblicz obwód czworokąta KLMN.
Zadanie 8.
Sumę
1 1 1 1 1
1
+ + + +
+
zapisujemy w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego, czyli
6 7 8 9 10 11
takiego, w którym licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.
WykaŜ, Ŝe licznik otrzymanego ułamka dzieli się przez 17.
Zadanie 9.
Pewną kwotę, mniejszą od 50 złotych moŜna wypłacić dokładnie trzema sposobami,
uŜywając do tego wyłącznie monet dwuzłotowych i pięciozłotowych.
Podaj wszystkie moŜliwe kwoty, które spełniają ten warunek.
Strona www konkursu: http://pmm.piotrkow.pl/
–2–
VII Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
23.06.2012
III seria
Zadanie 10. W trójkącie ABC kąty przy wierzchołkach B i C maja miary równie odpowiednio 24° i 38°.
Okrąg opisany na trójkącie ABC ma środek w punkcie O i promień długości 4. Prosta OA
przecina bok BC w punkcie D. Oblicz długość odcinka BD .
Zadanie 11. W wierzchołkach kwadratu wpisano liczby 19, 6, 10, 21 (jak na rysunku
obok). W jednym kroku zwiększamy o 1 liczby zapisane w dwóch,
dowolnie wybranych sąsiednich wierzchołkach.
Rozstrzygnij, czy po pewnej liczbie kroków w kaŜdym wierzchołku tego
kwadratu moŜe być wpisana liczba 2012.
Zadanie 12. Dana jest szachownica o wymiarach 4 x 4. Na jednym, dowolnie wybranym polu tej
szachownicy stawiamy konika szachowego. Następnie wykonujemy skoki konikiem po
szachownicy tak, aby odwiedził on kaŜde pole dokładnie raz. WskaŜ wszystkie pola
startowe konika, z których moŜliwe jest przejście po wszystkich polach szachownicy.
Dogrywka.
2
Dane są liczby: x = 33
...
...
...
12
33 i y = 55
12
3544
12
34 . WykaŜ, Ŝe x = 2 y + 1 .
6
Strona www konkursu: http://pmm.piotrkow.pl/
5
6
–3–