strona 1 I seria zadań Zadanie 1. Łakomy Józio wybrał się do galerii

V Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
11-12.06.2010
I seria zadań
Zadanie 1.
Łakomy Józio wybrał się do galerii Focus-Mall, gdzie trafił na promocyjną sprzedaŜ
cukierków. Bez wahania kupił największą torbę słodyczy, w której znajdowały się
wyłącznie krówki i cukierki owocowe.
Po 2 minutach od zakupu Józio zjadł szóstą część zakupionych cukierków, przy czym 30%
zjedzonych cukierków stanowiły cukierki owocowe. Kiedy w ciągu następnej minuty zjadł
6 kolejnych krówek, to liczba cukierków owocowych wśród wszystkich zjedzonych spadła
do 25%.
Ile cukierków było w torbie zakupionej przez Józia?
Zadanie 2.
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 60 cm, a jeden z boków tego trójkąta jest o
15 cm dłuŜszy od innego boku. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zadanie 3.
Liczby 1, 2, 3, …, 25 rozmieszczamy w kwadratowej tablicy 5x5. Następnie obliczamy:
S k – sumę liczb zapisanych we wszystkich kolumnach tablicy,
S w – sumę liczb zapisanych we wszystkich wierszach tablicy,
S p – sumę liczb zapisanych na obu głównych przekątnych tablicy.
Jaka jest największa moŜliwa wartość S k + S w + S p ? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 4.
Do finału gimnazjalnego konkursu matematycznego dla klas I-II awansowało 41 uczniów.
KaŜdy z pierwszoklasistów policzył, ilu ma znajomych drugoklasistów wśród uczestników
finału.
Okazało się, Ŝe nie ma Ŝadnych takich dwóch pierwszoklasistów, dla których liczby
znajomych drugoklasistów są równe.
Jaka jest największa moŜliwa liczba pierwszoklasistów, którzy awansowali do finału tego
konkursu?
strona 1
V Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
11-12.06.2010
II seria zadań
(
)
Zadanie 5.
Przedstaw liczbę 2 ⋅ 2010 2 + 20112 w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Zadanie 6.
Ania i Ewa wyjechały o godzinie ósmej na rowerach z Dąbrowy do Brzeziny. W tym
samym czasie z Brzeziny do Dąbrowy wyjechała na rowerze Ola. Wszystkie trzy
dziewczynki jechały ze stałymi, wzajemnie róŜnymi prędkościami. O godzinie dziewiątej
Ewa znajdowała się w tej samej odległości od Ani, co od Oli. O wpół do dziesiątej Ola
znajdowała się w jednakowej odległości od Ewy i od Ani. O której godzinie Ania
znajdowała się dokładnie w połowie odległości między Olą i Ewą?
Zadanie 7.
28 okrągłych Ŝetonów tej samej wielkości rozłoŜono na stole tak, Ŝe
utworzyły trójkątną piramidę (jak na rys. obok). Wiadomo, Ŝe suma
mas trzech Ŝetonów, z których kaŜde dwa są wzajemnie styczne jest
równa 5 dag. Oblicz masę wszystkich Ŝetonów, które tworzą brzeg
piramidy (na rys. są zacieniowane).
Odpowiedź uzasadnij.
strona 2
V Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
11-12.06.2010
III seria zadań
Zadanie 8.
W pięciokącie wypukłym ABCDE: ∠BDA = ∠CAD , ∠ECA = ∠EBD i AC = BD .
WykaŜ, Ŝe w tym pięciokącie przekątne EB i EC są równe.
Zadanie 9.
W zeszycie stukartkowym wszystkie strony ponumerowano kolejno od 1 do 200. Czy
moŜna z tego zeszytu wyrwać 36 pojedynczych kartek tak, aby suma liczb zapisanych na
wszystkich stronach tych kartek była równa 2010?
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 10. Cztery róŜne liczby trzycyfrowe mają tę samą cyfrę setek, a suma tych liczb dzieli się
przez trzy z nich. Znajdź te liczby.
strona 3