Parzystość i nieparzystość funkcji. Monotoniczność funkcji. Średnie.
Transkrypt
Parzystość i nieparzystość funkcji. Monotoniczność funkcji. Średnie.
Zadania ze Wstępu do Matematyki; Zestaw 6 Zbadać parzystość i nieparzystość funkcji: 1. f : R → R, f (x) = x4 − 3x3 + x2 √ 4. f : R → R, f (x) = log3 ( x2 + 1) 2. f : R → R, f (x) = x5 + 4x3 − 6x 5. f : [−3, 4] → R, f (x) = x3 3. f : R → R, f (x) = x6 − 3x4 + 5x2 − 3 6. f : (−4, 4] → R, f (x) = x2 Dane są funkcje f : R → R, g : R → R, h : R → R. Funkcje f i g są rosnące a funkcja h jest malejąca. Proszę rozwiązać równania i nierówności: 7. f (x2 − 1) = f (1 − x) 10. h(2x − 3) > h(3x − 2) 8. f (h(x + 2)3 + 3) = f (h(5 − x)3 + 3) 11. g(h(f (x + 5) − 3 + x) + x2 ) + 5 > > g(h(f (7 − x) − 3 + x) + x2 ) + 5 9. f (2x − 3) > f (3x − 2) 12. Proszę obliczyć średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną z liczb 4, 6 i 9. 13. Proszę obliczyć średnią ważoną z liczb 5, 4, 3 i 2 z wagami 1, 2, 3 i 4. Przypomnijmy nierówności pomiędzy średnimi. Dla dowolnych liczb dodatnich xi oraz 1 ¬ p < q mamy: min{x1 , x2 , . . . , xn } ¬ 1 x1 + 1 x2 n + ... + 1 xn ¬ √ n xp1 + xp2 + . . . + xpn n x 1 x 2 . . . xn ¬ ¬ xq1 + xq2 + . . . + xqn n !1 p ¬ !1 q ¬ max{x1 , x2 , . . . , xn } Proszę wskazać i uzasadnić nierówności pomiędzy podanymi parami wyrażeń. Wszystkie litery oznaczają liczby dodatnie. 14. √ 3 abc i a+b+c 3 3abc 15. ab + bc + ac 1 16. (a + b + c)2 3 i 17. √ 3 abc 18. √ 3 √ 4 ab2 i a + 2b 3 ab3 i a + 3b 4 √ 6 19. 6 ab2 c3 i a2 + b 2 + c 2 Zadanie dodatkowe dla bardzo dociekliwych: 21. a2 bc + ab2 c + abc2 i a2 b 2 + b 2 c 2 + a2 c 2 q 20. 3 3 (abc)2 i a + 2b + 3c i ab + bc + ac