Przykłady

Teoria i metody optymalizacji
Zadanie programowania liniowego PL
Przykład zadania programowania liniowego PL
max f (x) = cT x
przy ograniczeniach
max f (x) = 2x1 + 3x2
:
przy ograniczeniach
:
x1 + x2 ≤ 4
A 1 x ≤ b1
x1 + x 2 ≥ 1
A2 x ≥ b2
− x1 + 3x2 ≥ 2
x ≥0
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
dim x=n, dim c=n
Macierze A1, A2 odpowiadają za współczynniki w m1 i m2
ograniczeniach
dim A1 =[m 1 x n], dim A2 =[m 2 x n]
Wektory b1, b2 odpowiadają za prawe strony ograniczeń
dim b1=m1, dim b2=m2
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
dim x=2, dim c=2
Macierze A1, A2 odpowiadają za współczynniki w 1 i 2
ograniczeniach
dim A1 =[1 x 2], dim A2 =[2 x 2]
Wektory b1, b2 odpowiadają za prawe strony ograniczeń
dim b1=1, dim b2=2
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Przykład zadania programowania nieliniowego
Zadanie sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące zuŜycie
energii elektrycznej
min f ( x ) = ( x1 − 2 ) + ( x 2 − 1)
2
2
przy ograniczeniach:
x 12 ≤ x 2
x1 + x 2 ≤ 2
Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci:
m- węzłów,
s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest
odpowiednie ciśnienie oraz n łuków,
kaŜdy łuk „i” charakteryzuje się przepływem yi: xi = ri yi2 sgn yi + d i
Opis sieci:
spadek ciśnienia xi na łuku „i”:
gdzie: ri- opór hydrauliczny łuku „i”
di- róŜnica wysokości geodezyjnych łuku „i”
y∈ R n
x∈ R n
σ ∈R s
Ograniczenia wynikające ze struktury sieci:
I prawo Kirchhoff’a:
Ay =σ
A – macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej,
II prawo Kirchhoff’a:
Bx =0
B – macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej.
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Zadanie programowania kwadratowego
Sterowanie siecią dystrybucji wody minimalizujące zuŜycie energii
elektrycznej
n
min
f ( y ) = ∑ f i ( yi )
max f (x ) = 0.5xT Ax + bT x
x∈ X
i =1
gdzie:
:
f i ( yi ) = xi yi = ri yi3 sgn yi + d i yi
gdzie:
{
}
X = x : DT x ≤ e, x ≥ 0
przy ograniczeniach:
Ay =σ
x- n-wymiarowy wektor zmiennych decyzyjnych,
Bx=0
m - ilość ograniczeń liniowych,
2
i
xi = ri y sgn yi + d i
y∈ R n
x∈ R n
A =[aij] - macierz kwadratowa współczynników o wym. [n x n]
σ ∈R s
b- n-wymiarowy wektor współczynników funkcji celu
D- macierz współczynników ograniczeń liniowych o wym. [m x n],
e – wektor wyrazów wolnych w ograniczeniach o wym. [m x 1]
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
1
Teoria i metody optymalizacji
Przykład zadania programowania kwadratowego
Zadanie programowania ilorazowego:
min f ( x ) = ( x1 − 2 ) + ( x 2 − 1)
2
2
extr f ( x ) =
przy ograniczeniach:
cT x
dTx
f : X → R1
przy ograniczeniach:
c ≥ 0, d ≥ 0, x ≥ 0
x1 + x 2 ≤ 2
x1 ≥ 0, x
2
c∈ R n
≥ 0
oraz
d ∈Rn
x∈ R n
A x ≤b
dim A=[mxn]
b∈ R m
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Właściwe minimum lokalne
Twierdzenie Weierstrass’a
∧
Funkcja f(x) ma w punkcie x właściwe minimum lokalne, jeŜeli istnieje
takie, Ŝe:
∀x ∈ E
δ >0
)
f (x ) < f ( x )
Funkcja f(x) ciągła na zwartym zbiorze rozwiązań dopuszczalnych [zbiorze
ograniczonym i domkniętym] jest na tym zbiorze ograniczona i osiąga swe
kresy tzn.: istnieją punkty
E = X ∩∆
przy czym:
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
x1 , x2 ∈ X
)
∆ = {x : 0 < x − x < δ }
∧
takie, Ŝe dla kaŜdego
Słabe minimum lokalne
x
x∈ X
zachodzi:
∧
Funkcja f(x) ma w punkcie
takie, Ŝe
∀x ∈ E l
przy czym:
x słabe minimum lokalne, jeŜeli istnieje δ l > 0
f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 )
)
)
f ( x ) ≤ f ( xl )
El = X ∩ ∆ l
)
∆ l = {x : 0 < x − x < δ l }
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Studia II stopnia kier. AiR NZ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
2