aan_w8

Metoda Cholesky’ego
Przekształcenie Householdera
WYKŁAD 9.
2
METODA CHOLESKIEGO
Twierdzenie 1
Jeżeli macierz A jest rzeczywista, symetryczna i dodatnio
T
określona, to ma ona jedyny rozkład na czynniki A = LL , gdzie
L jest macierzą trójkątną dolną o dodatnich elementach na
głównej przekątnej.
s −1
l ss = a ss − ∑ l sj2
s = 1,2,K, n
j =1
s −1
lis = ( ais − ∑ lij l sj ) / l ss
j =1
i>s
WYKŁAD 9.
3
Ostatecznie rozwiązanie układu równań Ax = b przebiega w
dwóch etapach, ponieważ
1)
Ly = b
y1 = b1 / l11
j −1
y j = (b j − ∑ l jk y k ) / l jj
j = 2, 3, K , n
k =1
2)
LT x = y
xn = yn / lnn
xi = ( y i −
n
∑l
k =i +1
ik
x k ) / l ii
i = n − 1, n − 2, K ,1
WYKŁAD 9.
4
Rozkład Cholesky’ego bez pierwiastków kwadratowych
Każda macierz A hermitowska, dodatnio określona, może być
∗
A
=
MDM
przedstawiona w postaci
, gdzie M jest macierzą
trójkątną dolną z jedynkami na głównej przekątnej oraz D jest
macierzą diagonalną z elementami dodatnimi na głównej
przekątnej.
Rzeczywiście, na mocy twierdzenia o rozkładzie A = LL∗ jest
A = LL∗ = ( LU −1 )(UU )(U −1 L∗ )
gdzie U jest macierzą diagonalną U = diag (l11 , l22 ,K, lnn )
WYKŁAD 9.
5
oraz
U −1 = diag (1 / l11 , 1 / l22 ,K,1 / l nn )
Wtedy
1
 l 21
l
 11
l31

M=
 l11
M
l
 n1
 l11
0
1
l32
l 22
M
ln 2
l 22
L 0

L 0

L 0

O M

L 1

WYKŁAD 9.
6
l112 L L 0 


2
0 l22 L 0 

D=
M
M O M

2 
 0 L L l nn 
∗
(
M = LU
) = (U )
−1 ∗
∗ −1
L∗ = U −1 L∗
Korzystając ze wzoru na iloczyn macierzy
A = MDM ∗
dostajemy dla i >= s zależność
n
n
s
s −1
k =1
k =1
k =1
k =1
ais = ∑ mik d k mks* = ∑ (mik ⋅ d k )msk = ∑ mik d k msk = mis d s mss + ∑ mik d k msk
WYKŁAD 9.
7
Stąd ostatecznie
dla i = s
s −1
a ss = mss d s + ∑ msk d k msk
k =1
s −1
d s = a ss − ∑ d k msk
s = 1, 2,K, n
2
k =1
dla i > s
s −1
ais = mis ⋅ d s ⋅ m ss + ∑ mik ⋅ d k ⋅ m sk
k =1
s −1


mis =  ais − ∑ d k mik msk  / d s
k =1


WYKŁAD 9.
8
Zadanie 1.
Korzystając
z
metody
Choleskiego
bez
pierwiastków
kwadratowych znajdź rozkład macierzy na czynniki MDM *:
2 4 6 


A = 4 10 20
6 20 52
Zadanie 2.
*
A
=
MDM
Dla macierzy z zadań 1 i 2 wyznacz rozkład
.
WYKŁAD 9.
9
PRZEKSZTAŁCENIE HOUSEHOLDERA
Niech
a = [a1 , a2 ,K, a s ] ∈ C s \ {0}
T
będzie niezerowym, ustalonym wektorem tzn.
a =
Niech
a1 + a2 + K + as > 0 .
2
dalej
2
2
e1 = [1, 0, 0, K ,0] ∈ C s
T
będzie
wektorem
jednostkowym. Przekształcenie Householdera przeprowadza
wektor a na kierunek ustalonego wektora e1 , e1 = 1.
WYKŁAD 9.
10
Niech
e


u = a − te1 = 



iϕ
(a
+ a1 )

a2


a3

M


as
gdzie
a1 = a1 e iϕ
t = − a e iϕ
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
0 ≤ ϕ < 2π
u1 = a1 − t ⋅ 1 = a1 e iϕ + a e iϕ = e iϕ ( a1 + a )
WYKŁAD 9.
11
Przekształcenie postaci
Pa : C s → C s , a ≠ 0
określone wzorem
Pa ( x ) = P ⋅ x,
gdzie
x ∈Cs
P jest macierzą stopnia s postaci
P = I − β uu ,
*
1
β=
a ( a + a1 )
nazywane jest przekształceniem Householdera.
WYKŁAD 9.
12
Zadanie 1.
Wyznacz macierz P przekształcenia Householdera dla wektora
a = [ 2i, 1, 2]T
Własności:
1. β u * u = 2
2. β u * a = 1
3. macierz przekształcenia P jest ortogonalna (tzn. hermitowska
U*=U i unitarna UU*=I) i spełnia warunek Pa (a ) = P ⋅ a = te1
4. przekształcenie Householdera jest izometrią tzn. Pa ( x ) = x
WYKŁAD 9.
13
Ad. 1.
β u* u = 2
(
β u*u = β u = β e
2
(
= β (2 a
iϕ
(a
+ a1 ) + a2 + ... + an
2
2
= β a + 2 a a1 + a1 + ... + an
2
2
2
)
2
)=
2
)=
+ 2 a a1 = 2
2
Ad. 2.
βu * a = 1
β u * a = β (a − te1 ) * a = β (a * −t e1 *)a = β ( a − t a1 ) =
2
= β ( a + a e a1 ) = β ( a + a a1 ) = 1
2
− iϕ
2