Materiały pomocnicze do ćwiczeń z rachunku wektorowego i
Transkrypt
Materiały pomocnicze do ćwiczeń z rachunku wektorowego i
RACHUNEK WEKTOROWY I ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ Dla studentów kierunku In»ynieria Bezpiecze«stwa Materiaªy pomocnicze do ¢wicze« Liczby zespolone I Wykona¢ nast¦puj¡ce dziaªania: II Znale¹¢ liczby 2 − 3i 1. 5 + 4i √ √ 2. ( 2 + i)(3 − 3i) rzeczywiste x, y speªniaj¡ce równanie x(2 + 3i) + y(4 − 5i) = 6 − 2i 1. 1 + yi = 3i − 1 x − 2i 3. (2 + yi)(x − 3i) = 7 − i 9 − 2i x + yi = 4. x − yi 9 + 2i 2. III W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡za¢ równanie z 2 − 4z + 13 = 0 1. 2. (1 + i)z + 3(z − i) = 0 z 2 = −4z̄ z+1 = −1 z̄ − 1 3. 4. IV Liczb¦ zespolon¡ zapisa¢ w postaci trygonometrycznej √ 3−i 1. 1+i π π 3. sin + i cos 3 3 π 4. 1 + itg 3 2. V Obliczy¢ warto±¢ wyra»enia. Wynik zapisa¢ w postaci algebraicznej 1. 2. 3. √ ( 3 − i)10 (i − 1)8 π π cos − i sin 4 4 !10 2 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa (i + 1)22 √ (1 − i 3)6 4. VI Wyznaczy¢ pierwiastki zespolone √ 4 z, gdzie z = −4 √ 4 2. z, gdzie z = −i √ 3 3. z, gdzie z = i √ z, gdzie z = −11 + 60i 4. √ 5 z, gdzie z = 32i 5. 1. VII Wyznaczy¢ pierwiastki równania z 4 = (1 − i)4 (z − i)4 = (z + i)4 3 Katarzyna Doma«ska Rachunek macierzowy I. dla Na podanych parach macierzy i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A5 = Ai , Bi wykona¢ dziaªa- nie mno»enia w takiej kolejno±ci, w jakiej jest ono wykonalne. " B5 = A6 = −1 −1 −1 1 −1 −1 2 0 −1 3 0 0 4 0 0 0 A1 = B1 = 1 0 −1 2 2 1 0 −1 −1 2 1 0 0 −1 2 1 1 2 2 A2 = 2 1 0 1 1 1 " B2 = " 1 1 2 1 0 1 # # 3 −1 2 0 −2 −3 1 4 A3 = B3 = A4 = B4 = 1 2 1 1 1 3 1 1 2 −1 −1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 3 4 1 2 2 0 2 1 2 0 1 1 1 2 1 0 −1 −2 −1 −2 B6 = A7 = 1 2 2 0 1 2 " " 2 2 1 1 1 1 2 −1 1 0 1 −2 " 1 2 2 1 1 2 0 1 # # 1 2 3 0 0 1 2 1 B7 = 1 0 1 0 2 2 3 1 # 1 4 2 0 # 4 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa II. Obliczy¢ wyznaczniki podanych macierzy kwadratowych. 2 1 −1 3 4 −1 −1 1 −1 1 Y = 1 0 0 2 5 1 0 0 X= 5 2 1 3 1 1 Z= 2 3 4 Y = 5 −2 1 1 2 3 Z= U = A= C= III. 3 1 3 2 2 2 1 0 1 0 2 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 X= 1 0 2 0 1 0 1 1 4 1 3 1 1 1 1 5 4 1 2 −1 3 −2 4 B = 4 −2 5 −2 7 2 −1 1 8 2 C= Wyznaczy¢ rz¡d dla podanych ma- 1 3 1 1 2 1 −1 2 0 1 A = 1 3 −2 4 1 0 −3 1 0 9 1 5 1 2 1 7 2 −4 −1 −5 1 2 1 0 cierzy. 2 1 1 1 1 1 1 2 3 0 0 −4 1 2 9 −6 0 3 1 −2 1 −1 B= 1 1 2 0 1 3 5 −1 2 −1 −3 4 5 1 −1 7 7 7 9 1 5 Katarzyna Doma«ska IV. Ukªady równa« Znale¹¢, o ile istniej¡, macierze od- wrotne do podanych. I. 1 2 3 X= 2 3 4 3 4 1 Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce ukªady rów- na«: 1 1 −1 1 0 Y = 2 1 −1 1 1. x + y − 2t = 0 x − y − 2z = 2 3x + y − 2z − 4t = 2 1 2 −3 2 Z= 0 1 0 0 1 2. 2 2 3 U = 1 −1 0 −1 2 1 1 2 3 A= 0 2 3 0 0 3 2 5 7 6 3 4 B= 5 −2 −3 C= D= 1 −1 1 0 x + 3y − 4z = 4 3x + 2y − z = 1 x − 4y + 7z = 5 3. 2x + y − z + t = 5 x + y + z − 2t = −1 4. x − 2y + z + t = 2 x+z =3 1 −3 −1 −2 7 2 3 2 −4 1 2 4 0 1 1 1 0 0 0 0 3 x + 3y = 10 3x − y = 8 x − 7y = −2 5. 2x + 3y + z = 3 4x + 6y + 2z = 1 6x + 9y + 3z = 2 x − y + 2z − t = 2 2x − 3y − z + t = 1 6. x + 7z − 4t = 5 6 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa II. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce ukªady rów- na« (przykªady poni»sze pochodz¡ ze zbioru zada« J. Sikorska, Zbiór zada« z matematyki dla studentów chemii, Wyd. U, Ka- 10. 5x + 4y − 2z + 3t = 2 3x + 2y − 6z + 9t = 4 4x + 3y − 4z + 6t = 3 towice 2002): x + 3y = 5 1. 3x − y = 4 x − 7y = −1 ( 2. x − 2y + 5z = 0 2x − y + z = 1 x−y+z =1 −x + y − z = −1 2x − 2y + 2z = 2 3. ( x + 2y − 3z + t = 1 3x + 6y − 9z + 3t = 0 4. x − y + 2z = −3 5. −x + 2y − z = 5 2x + y − z = 8 3x − 2y + 3z = 2 x − y + 2z = 0 5x − 3y + 4z = 4 6. x + y − 2t = 0 x − y − 2z = 2 7. 3x + y − 2z − 4t = 2 −3x + y + z = −1 −2x + 2y + z = 1 8. x+y+z =3 −3x + y + 2z = 1 x + 2y − t = 1 −x + 3y − z − 3t = 2 9. 3x + y + z + t = 0 2x − y + z + 2t = −1 2x − 3y + 5z + 3u = 0 11. 4x − y + z + u = 0 3x − 2y + 3z + 4u = 0 x − 2y + 3z = 0 4x + 7y + z = 0 3x + 6y + 7z = 0 12. x + 2y + 3z = 6 2x + y + z = 4 13. 3x + y − 4z = 0 2x − y − 5z = 0 14. 3x + 4y − 2z = 11 3x − 2y + 4z = 11 15. 2x + y + z = 1 x−y+z =0 4x − y + 3z = 1 x+y−z =4 16. 3x − 2y − z = 0 2x + y + 2z = 2 17. x + 2y + 3z = 5 x + 3y + 4z = 6 2x − y − z = 1 2x − y + z − 3t = 7 x + y − 2z + t = 1 18. 2y − 5z + t = 3 x − 3y + 2z − t = 1 5x − y + z − 2t = 3 4x − 2t = 5 19. 5x + y − z + 2t = −1 7x − t = 3