F - DR PIOTR POTERA
Transkrypt
F - DR PIOTR POTERA
Zasady dynamiki i ich konsekwencje Oddziaływania i skutki • Skutek: zmiana stanu ciała i stanu jego ruchu • Pytanie: Jak zachowa się cząstka nie podlegająca oddziaływaniu (odosobniona)? – zawsze pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po prostej • I jeszcze jedno; w jakim układzie odniesienia opisywać ruch cząstki odosobnionej? – w układzie inercjalnym Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki I prawo dynamiki Jeśli cząstka nie oddziałuje z innymi cząstkami, to moŜna znaleźć taki inercjalny układ odniesienia w którym przyspieszenie cząstki jest równe zeru. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) (Tlumaczenie z r 1729 Andrew Motte z “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”: “KaŜde ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się po linii prostej jeśli nie działają na nie siły zewnętrzne.’ ) Oddziaływanie • Miarą oddziaływania ciał jest przyspieszenie ciała: → → a= → dV = dt d ∑Vi i dt =∑ i dVi dt Jaki jest związek przyspieszenia z oddziaływaniem? Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki II prawo dynamiki 2 F41 1 F43 3 r Fwyp = 4 F42 a r r F ∑ i = ma i = wszystkie Fnet W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie cząstki jest proporcjonalne do wypadkowej siły (sumy sił) działającej na cząstkę i odwrotnie proporcjonalne do masy cząstki. Równanie ruchu → d r (t ) F = F r (t ), ,t dt → • Zwykle → → → → d 2 r (t ) → → d r (t ) m ,t = F r (t ), dt dt 2 lub 3 równania skalarne Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki rozwiązanie II zasada dynamiki Newtona –sformułowanie pędowe W inercjalnym układzie odniesienia: r r dp Fwyp = dt klasycznie (nie-relatywistycznie) : r r d (mvr ) dv r r d p =m = ma = Fwyp= dt dt dt III prawo dynamiki F12 1 r r F12 = −F21 F21 2 Akcji towarzyszy reakcja. Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki III zasada dynamiki Newtona III zasada dynamiki Newtona Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Zasada zachowania pędu Z III zasady dynamiki Newtona: F12 1 F21 2 F12 = −F21 F12 = dp1 dt F21 = dp 2 dt dp1 dp =− 2 dt dt dp1 dp 2 + =0 dt dt d (p1 + p 2 ) = 0 dt dp =0 dt p = const Zasada zachowania pędu Jeśli układ cząstek jest izolowany, to całkowity pęd układu nie zmienia się r P (t ) = const. bo r r r r r d r dpi dP = ∑ Fwyp,i = ∑ ∑ Fij = 0 = ∑ pi = ∑ i j≠ i dt i dt i dt i Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Zasada względności Galileusza Transformacje Galileusza x = x’+ut y = y’ z = z’ t = t’ v = v'+u dx dx' = +u dt dt Zasada względności Galileusza Transformacje Galileusza ma ' = ma Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Zasady dynamiki Newtona są niezmiennicze względem transformacji Galileusza. Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Grawitacja Na cząstkę o masie m1, oddaloną od cząstki o masie m2 działa siła przyciągająca ze strony tej pierwszej: r F21 = − G m12m 2 ⋅ r$12 r12 r F21 1 r12 2 CięŜar • RozwaŜmy ciało o masie m W r r W = mg Na ziemi g = 9.80 m/s2 Na planecie o promieniu R i masie M cięŜar ciała jest równy w przybliŜeniu sile grawitacji działającej na to ciało ze strony planety. r GM W ≈ m ⋅ 2 r̂ R Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Skutek III zas. dyn - Siła reakcji podłoŜa N r Fwyp Jest to siła prostopadła do podłoŜa, z jaką działa ono na ciało znajdujące się na nim. W Jest to przykład tzw. więzów Tarcia statyczne Siła tarcia statycznego jest to siła styczna do powierzchni styku dwóch nieruchomych ciał. F N fs W Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Tarcie kinetyczne Tarcie kinetyczne jest to siła styczna do powierzchni dwóch ciał przemieszczających się względem siebie. N f k = µk N fk f Fwyp fs = µkN fs = -Fext statyczne kinetyczne Fext W Prawa tarcia • I Prawo Tarcia: siła tarcia jest proporcjonalna do siły normalnej f s ≤ µs N • II PT: siła tarcia nie zaleŜy od powierzchni styku ciał • Współczynnik tarcia kinetycznego nie zaleŜy od prędkości ciała Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Układy nieinercjalne • Układ porusza się względem układu inercjalnego z przyspieszeniem • pojawia się siła: dodatkowa, nie potrafimy wskazać źródła, ale jak najbardziej realna! • Nie jest spełniona II zasada dynamiki! Moment pędu (cząstki) r r r L ≡ r ×p L p r O Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Ruch obrotowy F Ft r r r M ≡ r×F at r α Moment siły r r r M ≡ r×F Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki m Zasada zachowania momentu pędu (W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równy szybkości zmian momentu ur pędu. r dL = M wyp dt M wyp = 0, to L = const Zasada zachowania momentu pędu Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Ruch obrotowy II zas. dyn. I = mr2 F Ft at m r α I i II prawo Keplera v L dA v r I. II. v dr Moment siły grawitacji w ruchu planet wokół słońca jest równy zero a więc L=const. PoniewaŜ L jest prostopadły do płaszczyzny w której odbywa się ruch, to jego stałość oznacza, Ŝe ruch planety odbywa się w tej samej płaszczyźnie. Zatem tor ruchu planety jest krzywą płaską. Prędkość polowa jest stała. L L dA = const. = 2m dt Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Praca F Praca dW wykonana przez siłę F przesuwającą cząstkę wzdłuŜ dr jest równa: r r dW ≡ F ⋅ dr A B dr jednostka SI pracy 1J = 1N·1m W= W postaci całkowej: r r F ∫ ⋅ dr droga Energia kinetyczna Cząstka o masie m, poruszająca się z szybkością v ma energię kinetyczną K≡ mv 2 2 Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Twierdzenie o równowaŜności pracy i energii kinetycznej r m(vr )2 dv r r r r r r r = mv ⋅ dv = m ⋅ vdt = ma ⋅ dr = Fwyp ⋅ dr = dWwyp dK = d dt 2 W inercjalnym układzie odniesienia praca siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równa zmianie energii kinetycznej cząstki dW = dK Lub w postaci całkowej: ∆W = ∆K Przykład Sanki o masie m stojące na zamarzniętym stawie kopnięto nadając im prędkość v1. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy sankami a lodem wynosi µk. Znajdź odległość jaką przemierzą sanki zanim się zatrzymają. Rozwiązanie: Praca siły tarcia: W = − f k d = − µk mg Korzystając z twierdzenia o równowaŜności pracy i energii kinetycznej: W = K k − K p = 0 − m v12 / 2 − µ k m gd = − 1 m v 12 2 Wniosek: droga hamowania nie zaleŜy od masy, jest proporcjonalna do v2, Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Pęd m r r p ≡ mv v p Pęd jest wielkością opisującą ruch cząstki. Relacja między energią kinetyczną i pędem K= r (mvr )2 mv 2 p2 p2 = = = 2m 2 2m 2m Moc Moc siły jest zdefiniowana jako szybkość z jaką wykonywana jest przez nią praca. P( t ) ≡ dW dt Jednostka SI mocy 1W = 1J/1s t2 Relacja odwrotna: ∆W = ∫ P(t )dt t1 Związek z siłą: r r P = F⋅v Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Siły zachowawcze Jeśli praca siły przemieszczającej cząstkę z punktu A do punktu B nie zaleŜy od tego po jakim torze poruszała się cząstka, to ta siła jest nazywana siłą zachowawczą. B Wszystkie inne siły nie są zachowawcze. A (Twierdzenie) Praca siły zachowawczej przemieszczającej cząstkę po torze zamkniętym jest równa zeru. Sily zachowawcze : grawitacji, spręŜystości, elektrostatyczna. Energia Potencjalna Jeśli na cząstkę działa siła zachowawcza, to zmiana energii potencjalnej związana ze zmianą połoŜenia cząstki ∆U jest zdefiniowana jako praca - ∆ W wykonana przez tę siłę. ∆U = -∆W Ta definicja określa energię potencjalną z dokładnością do stałej. Praca siły równowaŜącej siłę pola zachowawczego jest równa przyrostowi energii potencjalnej ∆U = ∆Wrów Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Twierdzenie o równowaŜności praca -energia Praca siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równa zmianie jej energii kinetycznej: ∆K = ∆Wwyp Zasada zachowania energii 1. Z twierdzenia o równowaŜności praca- energia kinetyczna: ∆K = ∆W 2. W polu siły zachowawczej ∆U = -∆W Podstawiając 1) do 2) : ∆U = -∆K Przenosząc ∆K na lewą stronę: ∆U +∆K=0 ∆(U+K)=0 E ≡ K + U=const Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Zasada zachowania energii mechanicznej E≡K+U Energia związana z ruchem Energia związana z połoŜeniem Całkowita energia układu izolowanego jest zawsze stała. Energia potencjalna w polu grawitacyjnym h Ug Ug = mgh Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Zasada zachowania energii mechanicznej w polu grawitacyjnym Całkowity pęd i środek masy Całkowity pęd układu cząstek jest związany z prędkością środka masy tego układu r r r P = Mv cm = Pcm Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Układ punktów materialnych zastępujemy punktem o masie równej masie całego układu, połoŜonym w punkcie, w którym znajduje się środek masy. r r r P = Mv cm = Pcm r r r r dv cm dP dPcm = =M = Mav cm Fzewn = dt dt dt r Fzewn = 0 Jeśli r a cm = 0 r v cm = const Środek masy z mi y r x Dla układu dyskretnego jest to punkt dla którego wektor połoŜenia jest zdefiniowany następująco: 1 r r rcm = ∑ miri M i gdzie M jest całkowitą masą Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Ruch środka masy – przykład I Układ izolowany: połoŜenie środka masy nie zmienia się! Eksplodująca petarda. Ruch bryły sztywnej 1. Ruch postępowy środka masy 2. Obrót wokół środka masy Centre of mass End of hammer Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Moment bezwładności A Układ cząstek : ri’ mi I A = ∑ m i r 'i2 i A Momenty bezwładności I = MR 2 L R R I= 1 I = ML2 3 1 MR 2 2 L Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Energia kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa v ω K ω ,o = 1 I ω ,oω 2 2 Praca i energia kinetyczna: ∆K = Wwyp PowyŜsze twierdzenie obowiązuje teŜ dla ruchu obrotowego. Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi: ( ) 1 ∆K = I ω 2f −ωi2 = Wwyp 2 Zderzenia nieelastyczne (maksimum strat energii kinetycznej) • elastyczne (nie ma strat energii kinetycznej) Zderzenia nie zmieniają całkowitego pędu układu cząstek. Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki Jeśli cząstki przed lub po zderzeniu mają te same prędkości to zderzenie jest nieelastyczne. r r r m1 v1i + m 2 v 2i = (m1 + m2 )v f Jeśli całkowita energia nie zmienia się rto zderzenie r jest elastyczne. r r m1v1i + m 2 v 2i = m1v1f + m 2 v 2f m1v12i m 2 v 22i m1v12f m 2 v 22f + = + 2 2 2 2 Zagadka. Jaki jest kąt miedzy kierunkami ruchu kul Zasada bilardowych pozderzeniu? zachow. pędu r r r (1) v1i = v1f + v2f r r 90° r r 2 r v12fr 2 mv 22 f (2) mv1v2i1i==v12m f + v 2+f 2 2 podstawiając 2 ϕ2 v2f ϕ1 v1f r r r r r r v12f + v22f + 2 v1f ⋅ v2f = v12f + v22f Zasada zachow. energii v1i stąd r r v1f ⋅ v2f = 0 Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki