Wykład 2

3. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań.
Przedstawimy podstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
zagadnienia Cauchy’ego dla równania rzędu I-go w przestrzeni wektorowej,
tj.
(3.1.) x0 = f(t, x),
gdzie x = x(t) ∈ Rn , t ∈ R, f : (t, x) ∈ R1+n → Rn .
Twierdzenie 3.1. (Peano o istnieniu rozwiązań lokalnych)
Jeżeli funkcja f : (t, x) ∈ R1+n → Rn jest ciągła w zbiorze
G = {(t, x) : t ∈ [t0 , t0 +a], |x−x0 | ≤ b}, przy czym sup(t,x)∈G |f (t, x)| = M ,
to zagadnienie Cauchy’ego
(3.2) x0 = f(t, x),
x(t0 ) = x0
posiada przynajmniej jedno rozwiązanie na przedziale [t0 , t0 + α], gdzie
α = min{a, Mb }.
Twierdzenie 3.2. (Picarda-Lindelöfa o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
lokalnych)
Załóżmy, że funkcja f : (t, x) ∈ R1+n → Rn jest ciągła w zbiorze
G = {(t, x) : t ∈ [t0 − a, t0 + a], |x − x0 | ≤ b}, przy czym
sup(t,x)∈G |f (t, x)| = M , oraz spełnia warunek Lipschitza względem zmiennej
x w zbiorze G, tzn.
|f(t, x1 ) − f(t, x2 )| ≤ L |x1 − x2 |
dla pewnej stałej L. Wówczas zagadnienie Cauchy’ego (3.2) posiada dokładnie
jedno rozwiązanie na przedziale [t0 − α, t0 + α], gdzie
α < min{a, Mb , L1 }.
Rozwiązanie to jest granicą ciągu funkcyjnego {xn } określonego następująco
Z t
(3.3) xn (t) = x0 +
f (s, xn−1 (s)) ds, n = 1, 2, ...,
x0 (t) = x0 .
t0
Ciąg funkcyjny {xn }, zwany ciągiem itercyjnym Picarda, jest zbieżny jednostajnie
do rozwiązania zagadnienia (3.2) na przedziale [t0 − α, t0 + α].
1
Fakt 3.3.
Jeżeli funkcja f(t, x) ma lokalnie ograniczone pochodne cząstkowe względem
zmiennej x w pewnym obszarze D, to f spełnia w tym obszarze lokalnie
warunek Lipschitza względem zmiennej x.
Fakt 3.4.
Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f(t, x) względem zmiennej x są ciągłe w
pewnym obszarze D, to są w tym obszarze lokalnie ograniczone.
Z twierdzenia 3.2 i faktów 3.3 i 3.4 wynika następujący wniosek:
Wniosek 3.5.
Jeżeli funkcja f(t, x) jest ciągła na pewnym obszarze i w tym obszarze ma
ciągłe pochodne cząstkowe względem zmiennej x, to przez każdy punkt tego
obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania x0 = f(t, x).
4. Interpretacja geometryczna.
Rozważmy równanie skalarne
(4.1) x0 = f (t, x),
gdzie f : R2 → R jest funkcją ciągłą w pewnym obszarze Ω ∈ R2 .
Niech (t0 , x0 ) ∈ Ω i niech x = x(t) będzie rozwiązaniem równania (4.1)
przechodzącym przez punkt (t0 , x0 ). Wówczas x0 (t0 ) = f (t0 , x0 ), a z drugiej
strony x0 (t0 ) = tg α, gdzie α jest kątem jaki z dodatnim kierunkiem osi Ot
tworzy styczna do wykresu funkcji x = x(t) w punkcie (t0 , x0 ). Rozważmy
odcinek, którego środkiem jest punkt (t0 , x0 ) i który tworzy z dodatnim
kierunkiem osi Ot kąt α = arc tg f (t0 , x0 ). Odcinek ten będziemy nazywać
elementem liniowym danego równania. Z każdym punktem (t, x) ∈ Ω związany
jest zatem odpowiedni element liniowy. Zbiór wszystkich elementów liniowych
danego równania nazywamy polem kierunków tego równania. Linie, które
w każdym swoim punkcie mają kierunek zgodny z kierunkiem pola w tym
punkcie także są krzywymi całowymi równania (4.1).
2
Linię o równaniu f (t, x) = a, gdzie a jest pewną stałą, nazywamy izokliną
równania (4.1). W każdym punkcie takiej izokliny mamy x0 = a = const,
więc elementy kierunkowe pola kierunków nachylone są do osi Ot pod stałym
kątem α = arc tg a.
Metodę graficznego przybliżonego znajdowania krzywych całkowych w oparciu
o jego pole kierunków nazywamy metodą izoklin.
Przykład.
Metodą izoklin wyznaczymy krzywe całkowe równania x0 = t2 + x2 .
W tym przypadku f (t, x) = t2 + x2 , (t, x) ∈ Ω = R2 . Izoklinami są linie o
równaniach t2 + x2 = a, a ≥ 0. Dla a = 0 izoklina składa się jedynie z punktu
(0, 0) i jest to jedyny punkt płaszczyzny, w którym element kierunkowy ma
nachylenie równe Oo . Pozostałe izokliny są okręgami o środku w punkcie
(0, 0). Np. na izoklinie t2 + x2 = 1 nachylenie kierunków wynosi 45o . Rys.
Równania rozważanego w tym przykładzie nie można rozwiązać w sposób
efektywny, jego całki nie są funkcjami elementarnymi. Całki te można wyznaczyć
w sposób przybliżony graficznie lub znaleźć przybliżone rozwiązanie tego
równania.
Przykład.
Rozważamy dwa równania
(a) x0 =
x
,
t
(b) x0 = −
x
,
tgh t
t 6= 0.
Okazuje się, że w zachowaniu krzywych całkowych tych dwóch różnych równań
łatwo dostrzec duże podobieństwo. Dowolna krzywa całkowa na rysunku
przedstawiającym krzywe całkowe jednego równania ma swój odpowiednik
na rysunku przedstawiającym krzywe całkowe drugiego równania, w tym
sensie, że obie krzywe całkowe mają podobny kształt, te same asymptoty,
ale są oczywiście różne. Taką korelację między dwiema rodzinami krzywych
całkowych określa się mianem topologicznej jakościowej równoważności i mówi
się, że równania mają takie same jakościowe zachowanie krzywych całkowych.
Zatem dwa różne równania różniczkowe mogą mieć rozwiązania z takim samym
jakościowym zachowaniem krzywych całkowych, które jest określone przez
prawą stronę równania.
3