W tym rozdziale zajmiemy się zagadnieniem padania fali na granicę

W tym rozdziale zajmiemy się zagadnieniem padania fali na granicę dwóch ośrodków. Dla
uproszczenia problemu ograniczmy rozważania do fal harmonicznych. Załóżmy, że w pierwszym
ośrodku prędkość rozchodzenia się fali wynosi , a w drugim ośrodku . Fala harmoniczna biegnie
w pierwszy ośrodku i pada na granicę z drugim ośrodkiem. Doświadczenie „uczy”, że na granicy
ośrodków „część” fali odbije się, a „część” przejdzie do ośrodka drugiego. Częstości fali padającej,
odbitej i rozchodzącej się w drugim ośrodku są takie same. Dlatego falę odbitą i „przechodzącą”
(rozchodzącą się w drugim ośrodku) możemy zapisać:
,
gdzie:
.
Ponieważ prędkości fal w obu ośrodkach są różne, to różne są również długości fal. Pojawia się
pytanie jaka “część” fali odbija się na granicy ośrodków a jaka “część” przechodzi do drugiego
ośrodka, czyli mówiąc w języku fizyki ile wynoszą amplitudy B i C? Odpowiedź na to pytanie
znajdziemy na podstawie warunków jakie musi spełniać funkcja falowa na granicy ośrodków. Na
ustalenia uwagi rozważmy przypadek dwóch strun połączonych w punkcie
(patrz rysunek
Figure 1).
Fala rozchodząca się w
dwóch połączonych
strunach.
W punkcie granicznym dwie struny są połączone na stałe, tzn. padająca fale nie powoduje
rozerwania dwóch strun. W takim przypadku wychylenie struny z lewej strony (ośrodek 1) i z prawej
strony (ośrodek 2) muszą być takie same, inaczej struny uległyby rozerwaniu. Podobnie prędkości
obu strun w punkcie połączenia powinny być takie same. Ponadto, jeśli w punkcie połączenia nie ma
żadnej skończonej masy punktowej, to składowe poprzeczne siły z lewej i prawej strony muszą być
takie same. Tak więc w oparciu o warunek, że struny nie ulegną rozerwaniu w punkcie połączenia
otrzymujemy następujące równości (tzw. warunki ciągłości):
gdzie
jest siłą naciągu i-tej struny. Analogiczne warunki otrzymujemy dla fali dźwiękowej
padającej prostopadle na granicę dwóch ośrodków:
gdzie
jest modułem ściśliwości w i-tym ośrodku.
Podstawiając postacie harmonicznej fali padającej, odbitej i przechodzącej do powyższych równości
(oraz w przypadku strun zakładając, że obie struny mają taki sam przekrój poprzeczny) otrzymujemy:
gdzie
jest oporem falowym (impedancją) i-tego ośrodka.
Stąd łatwo wyprowadzamy wzór na amplitudowy współczynnik odbicia:
oraz amplitudowy współczynnik transmisji:
.
Zwróćmy uwagę, że jeśli dwa różne ośrodki mają taki sam opór falowy, to na ich granicy fala nie
ulega odbiciu. Ponadto: jeśli
oraz jeśli
.
Pierwszy warunek odpowiada przypadkowi, gdy drugi ośrodek jest próżnią. A więc opisuje np.
odbicie fali od swobodnego końca. Fala odbita ma amplitudę taka samą jak fala padająca. Drugi
przypadek odpowiada sytuacji gdy koniec struny jest zamocowany na stałe. W tym przypadku
amplituda fali odbitej ma wartość amplitudy fali padającej, ale fala odbita jest przesunięta w fazie o
180° względem fali padającej.
Powyższe współczynniki pozwalają opisać amplitudę fali odbitej i przechodzącej względem amplitudy
fali padającej. Często używa się tzw. współczynników natężeniowych odbicia i transmisji.
Współczynniki natężeniowe mówią, jaka część energii niesionej przez falę padającą pozostaje w
ośrodku pierwszym (razem z falą odbitą) a jaka część przechodzi do ośrodka drugiego.
Współczynniki te łatwo otrzymujemy ze wzorów na natężenie harmonicznej fali mechanicznej oraz
korzystając z wyżej wyprowadzonych współczynników amplitudowych (dla kierunku padania fali
prostopadłego do granicy ośrodków): Natężeniowy współczynnik odbicia:
.
Natężeniowy współczynnik transmisji:
.
Łatwo można sprawdzić, że:
, co oczywiście odpowiada zasadzie zachowania energii.