Metody Planowania Eksperymentów

Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 1 z 19
5. PLANY WIELOPOZIOMOWE - KOMPOZYCYJNE
Szacowanie parametrów modeli liniowo – kwadratowych na podstawie eksperymentów
trójpoziomowych jest mało efektywne. Wynika to przede wszystkim z gwałtownego (wykładniczego – N = 3K) wzrostu liczby koniecznych do wykonania doświadczeń oraz z braku
eksperymentów ułamkowych. Równocześnie wzory, jakie należy stosować do obliczania
współczynników regresji oraz oceny statystycznej straciły na prostocie wzorów w planowaniu
dwupoziomowym. Dodatkowo plany czynnikowe na trzech poziomach typu 3K są nie ortogonalne i asymetryczne pod względem rozkładu informacji (nie rotatabilne) Z tych względów są
one rzadko stosowane w zagadnieniach optymalizacyjnych.
Rozwiązaniem, jakie można w tej sytuacji zaproponować to plany wielopoziomowe –
kompozycyjne. Najczęściej są to plany pięciopoziomowe. Plany kompozycyjne powstają z
planów dwupoziomowych całkowitych typu 2K lub ułamkowych typu 2K-M uzupełnionych o tak
zwane doświadczenie (punkty) gwiezdne oraz doświadczenia centralne. W doświadczeniach
gwiezdnych zmieniamy kolejno poszczególne zmienne na dwóch poziomach ±a, utrzymując
pozostałe zmienne na poziomie 0. Jak stąd wynika punkty gwiezdne leżą na osiach współrzędnych, ułożone symetrycznie po dwa na każdej z osi oraz w odległości ±a od środka planu.
Wielkości a jakie przyjmują poszczególne zmienne nazywane są często promieniami gwiezdnymi. Doświadczenia centralne wykonuje się w środku obszaru badań.
Zwykle plany kompozycyjne buduje się korzystając z zmiennych (czynników) standaryzowanych. Również długość promienia gwiezdnego wyrażona jest jako wielkość standaryzowana, jednakowa dla wszystkich czynników (zmiennych). Chcąc wyrazić wielkość tego promienia w jednostkach naturalnych, należy zastosować transformację odwrotną
xi∗ = xi0 ± a ⋅ ∆xi ,
i = 1,2, K K
(5.1)
gdzie xi* oznacza wartość i-tego promienia gwiezdnego wyrażoną w jednostkach naturalnych, xi0 oznacza i-tą współrzędną środka planu wyrażone w jednostkach naturalnych, ∆xi
wielkość przedziału zmian.
Całkowita liczba doświadczeń wykonywanych zgodnie z kompozycyjnym planem eksperymentu w przypadku, gdy jego podstawę stanowi plan czynnikowy całkowity na dwóch poziomach wynosi
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
1
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
N = 2 K + 2K + N 0
Strona 2 z 19
(5.2)
oraz w przypadku planów ułamkowych
N = 2 K −M + 2K + N 0
(5.3)
gdzie K to całkowita liczba czynników (zmiennych); M – ułamkowość planu; N0 – liczba doświadczeń centralnych.
Jak z powyższego zapisu wynika, na całkowitą liczbę doświadczeń w tak planowanym
eksperymencie składają się trzy grupy doświadczeń:
2K lub 2K-M doświadczeń wykonanych zgodnie z planem czynnikowym całkowitym
(i)
lub ułamkowym na dwóch poziomach;
(ii)
2K symetrycznie wokół środka obszaru badań rozłożonych doświadczeń gwiezdnych typu (0, ..., 0, ±a, 0, ..., 0), gdzie ±a występuje kolejno na 1, 2, ..., K miejscu;
(iii)
N0 tak zwanych doświadczeń centralnych typu (0, 0, ..., 0) wykonywanych w
środku obszaru badań.
Ze względu na uzyskiwaną w planach ułamkowych rozdzielczość oszacowań współczynników regresji przyjmuje się następującą zasadę:
-
gdy K < 5 wtedy nie zaleca się stosowania planów ułamkowych (M = 0);
-
gdy K ≥ 5 wtedy można stosować plany połówkowe(M = 1) z kontrastem określającym
x1 x 2 K x K = ±1
W zależności od sposobu, w jaki zdefiniowany jest (i od wielkości) promień gwiezdny (a)
oraz liczby doświadczeń centralnych (N0) rozróżniamy trzy rodzaje planów wielopoziomowych: plany kompozycyjne, plany kompozycyjne ortogonalne oraz plany kompozycyjne
rotatabilne.
Plany wielopoziomowe – kompozycyjne pozwalają na oszacowanie współczynników regresji w modelach liniowo – kwadratowych o ogólnej postaci
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
2
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 3 z 19
E ( y ) = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + K + β K x K +
+ β12 x1 x 2 + β13 x1 x3 + L
+ β x + β 22 x + K + β KK x
2
11 1
2
2
(5.4)
2
K
Jak można zauważyć są to modele uproszczone, nie zawierające wszystkich wyrażeń. W
modelach tych obok członów liniowych i kwadratowych obecne są jedynie interakcje pierwszego rzędu pomiędzy członami liniowymi.
5.1. Planowanie kompozycyjne
W planach kompozycyjnych liczba doświadczeń centralnych ograniczona jest do jednego,
czyli N0 = 1, natomiast długość promienia gwiezdnego a dobierana jest przez eksperymentatora w sposób dowolny. Jedynym ograniczeniem jest konieczność poruszania się w zadanym
obszarze badań. Nie mniej najczęściej w planach kompozycyjnych przyjmuje się jednostkową
długość promienia gwiezdnego.
Plany kompozycyjne w porównaniu do planów czynnikowych trzypoziomowych typu 3K
pozwalają na dość znaczne ograniczenie liczby wykonywanych doświadczeń. Jak z przedstawionego w tabeli 5.1 porównania wynika podstawową zaletą planów kompozycyjnych jest
zdecydowanie mniejsza liczba doświadczeń aniżeli w planach czynnikowych na trzech poziomach. Różnica ta wzrasta wraz ze wzrostem liczby zmiennych (czynników) K. Dodatkowym atutem planów kompozycyjnych jest to, że całkowita liczba doświadczeń w eksperymencie wykonywanym zgodnie z całkowitym planem kompozycyjnym jest niewiele większa
od liczby doświadczeń wykonywanych w eksperymencie wykonywanym zgodnie z odpowiednim planem czynnikowym na dwóch poziomach. Oznacza to, że w przypadku zastosowania planów kompozycyjnych, wprowadzenie do modelu liniowego dodatkowych członów
kwadratowych wymaga jedynie niewielkiego wzrostu kosztu badań.
Tabela 5.1. Porównanie liczby doświadczeń wykonywanych zgodnie z planami eksperymentów czynnikowych na trzech poziomach typu 3K i dwóch poziomach typu 2K oraz
kompozycyjnych dla różnej liczby zmiennych (czynników).
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
3
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 4 z 19
Liczba zmiennych, K
Liczba
Typ planu
doświadczeń, N
2
3
4
5
6
7
8
Trzypoziomowy
3K
9
27
84
243
729
2187 6561
Dwupoziomowy
K
4
8
16
32
64
128
256
2K-1
-
-
-
16
32
64
128
2K+2K+1
9
15
25
43
77
143
273
2K-12K+1
-
-
-
27
45
79
145
2
całkowity
Dwupoziomowy
połówkowy
Kompozycyjny
całkowity
Kompozycyjny
ułamkowy
Tworząc plany kompozycyjne eksperymentu należy pamiętać, że w jego skład wchodzą
trzy grupy doświadczeń: (i) doświadczenia zgodne z planem czynnikowym na dwóch poziomach typu 2K-M; (ii) doświadczenia gwiezdne; (iii) doświadczenia centralne.
Pierwszą grupę doświadczeń generuje się identycznie jak dla doświadczeń czynnikowych
na dwóch poziomach. Tak, więc każdy z czynników przyjmuje wartości na górnym (+1) i
dolnym (-1) poziomie. Kolejne plany dla coraz większej liczby zmiennych tworzy się powtarzając dwukrotnie plan o stopień niższy, przyjmując dla nowej zmiennej wartości raz na poziomie górnym (+1) i drugi raz na poziomie dolnym (-1). Do tak utworzonego głównego
szkieletu planu eksperymentu kompozycyjnego dodaje się punkty gwiezdne (±a) oraz doświadczenia centralne (0).
Sposób budowy oraz właściwości planów kompozycyjnych omówione zostaną na przykładzie planów dla dwóch i trzech zmiennych.
Planowanie kompozycyjne na płaszczyźnie dla K = 2 zmienne pozwala na oszacowanie
parametrów modelu liniowo – kwadratowego postaci
E ( y ) = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x1 + β 22 x 2
2
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
2
(5.5)
4
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 5 z 19
W przypadku zmiennych standaryzowanych macierz wejść takiego doświadczenia przedstawiono w tabeli 5.2. Kolorem żółtym zaznaczono kolumny zawierające plan eksperymentu.
W planie tym wyróżniono każdą z grup doświadczeń składającą się na plan kompozycyjny
oddzielając poziomą linią przerywaną główny szkielet planu zawierający doświadczenia
zgodne z planem czynnikowym na dwóch poziomach typu 2K od punktów gwiezdnych i doświadczeń centralnych.
Tabela 5.2. Macierz wejść dla planu kompozycyjnego eksperymentu dla K = 2 zmiennych.
Kolorem żółtym zaznaczono plan kompozycyjny. Plan pozwala na oszacowanie
współczynników regresji w modelu liniowo – kwadratowym (5.5).
Plan czynnikowy
typu 2K
Punkty gwiezdne,
2K
Doświadczenie
Nr
t0
t1
t2
t1 t2 (t1)2 (t2)2
y
1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
y1
2
+1
-1
+1
-1
+1
+1
y2
3
+1
+1
-1
-1
+1
+1
y3
4
+1
-1
-1
+1
+1
+1
y4
5
+1
-a
0
0
a2
0
y5
6
+1
+a
0
0
a2
0
y6
2
y7
7
+1
0
-a
0
0
a
8
+1
0
+a
0
0
a2
y8
9
+1
0
0
0
0
0
y9
centralne, N0
Eksperyment wykonany zgodnie z planem kompozycyjnym dla dwóch zmiennych wymaga
wykonania 9 doświadczeń. Jeżeli przyjąć typową dla planów kompozycyjnych jednostkową
(±1) długość promienia gwiezdnego (a), to okaże się, że plan ten jest identyczny, zarówno
pod względem ilości koniecznych do wykonania doświadczeń, jak też struktury, z planem
czynnikowym na trzech poziomach typu 3K dla dwóch zmiennych (tabela 4.4). Oznacza to, że
z punktu widzenia kosztów wykonania badań, plany kompozycyjne dla dwóch czynników nie
dają żadnych korzyści.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
5
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 6 z 19
Interpretację geometryczną planu z tablicy 5.2 przedstawiono na rysunku 5.1. Punkty doświadczalne w tym planie leżące w narożach kwadratu reprezentują doświadczenia czynnikowe na dwóch poziomach typu 2K. Na osiach współrzędnych w stałej odległości ±a od środka
planu (środka układu współrzędnych) zaznaczono punkty gwiezdne. Natomiast w środku
układu współrzędnych znajduje się doświadczenie centralne.
2
1
a
0
-2
-1
0
1
2
a
-1
-2
Rysunek 5.1. Plan kompozycyjny dla dwóch zmiennych standaryzowanych. ‹ - punkty
zgodne z planem czynnikowym na dwóch poziomach typu 2K; „ - punkty
gwiezdne; z - punkt centralny.
Jak w Rozdziale 3 pokazano plany czynnikowe na dwóch poziomach typu 2K są planami
ortogonalnymi o symetrii środkowej. Taka właściwość planów jest bardzo cenna, stąd oczekiwanie, aby plany innego rodzaju również ją spełniały. Aby sprawdzić spełnienie tej właściwości przez plany kompozycyjne wyliczyć należy macierz informacyjną TTT, gdzie T jest
macierzą eksperymentu podaną w tabeli 5.2. W przypadku planów ortogonalnych macierz ta
powinna być macierzą diagonalną. Dla rozpatrywanego przypadku dwóch zmiennych otrzymamy
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
6
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
⎛ 9
⎜
⎜ 0
⎜ 0
T
T T=⎜
⎜ 0
⎜
2
⎜ 4 + 2a
⎜ 4 + 2a 2
⎝
Strona 7 z 19
0
0
4 + 2a 2
0
0
4 + 2a
0
0 4 + 2a 2
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0 4 + 2a 4
0
0
0
2
4
4 + 2a 2 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
⎟
4 ⎟
4 + 2a 4 ⎟⎠
(5.6)
Jak można zauważyć macierz informacyjna nie jest macierzą diagonalną, skąd wypływa
wniosek, że analizowany plan kompozycyjny nie jest planem ortogonalnym. Dodatkową konsekwencją nieortogonalności przedstawionego planu kompozycyjnego jest to, że oszacowania
współczynników regresji w modelu liniowo – kwadratowym (5.5) nie będą niezależne, gdyż
niektóre z kowariancji są niezerowe.
Poszczególne wiersze i kolumny macierzy informacyjnej (5.6) związane są z odpowiednimi wyrazami w modelu. Przeprowadzając, podobnie jak dla planów czynnikowych na
trzech poziomach typu 3K, analizę poszczególnych wierszy i kolumn macierzy informacyjnej
dojść można do wniosku, że za nieortogonalność planów kompozycyjnych odpowiadają człony kwadratowe w modelu.
W przypadku trzech zmiennych (czynników) (K = 3) celem naszym jest oszacowanie
współczynników regresji w modelu liniowo kwadratowym postaci
E ( y ) = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x3 + β12 x1 x2 + β13 x1 x3 +
+ β 23 x2 x3 + β11 x1 + β 22 x2 + β 33 x3
2
2
2
(5.7)
Chcąc je wyznaczyć należy zrealizować odpowiedni eksperyment zgodnie z planem kompozycyjnym dla trzech zmiennych. Podstawą planu kompozycyjnego w przestrzeni trójwymia-
rowej dla K = 3 zmienne (rysunek 5.2) jest sześcian, w którego 8 narożach znajdują się punkty reprezentujące doświadczenia czynnikowe na dwóch poziomach. Na osiach współrzędnych
umieszczone zostały 3 pary punktów gwiezdnych w stałej odległości ±a od środka układu
współrzędnych (środka obszaru badań). W środku planu znajduje się punkt centralny.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
7
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 8 z 19
|a|
Rysunek 5.2. Schemat planu kompozycyjnego dla K = 3 zmienne. Plan pozwala na oszacowanie współczynników regresji w modelu liniowo – kwadratowym (5.7).
Macierz wejść planu wielopoziomowego – kompozycyjnego dla trzech zmiennych (czynników) pozwalającą na oszacowanie współczynników regresji w modelu liniowo - kwadratowym (5.7) przedstawiono w tabeli 5.3. Kolorem żółtym zaznaczono kolumny zawierające
analizowany plan eksperymentu. Wraz z pozostałymi kolumnami tworzą one macierz wyjść
uzyskaną dla tego planu. Poszczególne części planu zaznaczono przerywaną linią poziomą
oddzielając punkty planu czynnikowego na dwóch poziomach od punktów gwiezdnych i punktu centralnego.
Zaprezentowany tu eksperyment wykonany zgodnie z planem kompozycyjnym dla trzech
zmiennych wymaga wykonania 15 doświadczeń. Jest to o 12 doświadczeń mniej, aniżeli w
doświadczeniu wykonanym zgodnie z planem czynnikowym dla trzech zmiennych (tabela
5.1). Od tego momentu zwiększenie planu eksperymentu przez dodanie kolejnego czynnika
(zmiennej) do obszaru badań powoduje gwałtowny wzrost różnicy w wielkości planów czynnikowych na trzech poziomach i planów wielopoziomowych – kompozycyjnych.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
8
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 9 z 19
Tabela 5.3. Macierz wejść dla planu kompozycyjnego eksperymentu dla K = 3 zmienne. Kolorem żółtym zaznaczono plan kompozycyjny. Plan pozwala na oszacowanie
współczynników regresji w modelu liniowo – kwadratowym (5.7).
Nr
t0
t1
t2
t3
t1 t2
t1 t3
t2 t3
(t1)2 (t2)2 (t3)2 y
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
y1
2
+
-
+
+
-
-
+
+
+
+
y2
3
+
+
-
+
-
+
-
+
+
+
y3
4
+
-
-
+
+
-
-
+
+
+
y4
5
+
+
+
-
+
-
-
+
+
+
y5
6
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+
y6
7
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
y7
8
+
-
-
-
+
+
+
+
+
+
y8
9
+
-a
0
0
0
0
0
a2
0
0
y9
10
+
+a
0
0
0
0
0
a2
0
0
y10
11
+
0
-a
0
0
0
0
0
a2
0
y11
12
+
0
+a
0
0
0
0
0
a2
0
y12
13
+
0
0
-a
0
0
0
0
0
a2
y13
2
y14
14
+
0
0
+a
0
0
0
0
0
a
15
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
y15
Podobnie jak w przypadku dwóch zmiennych (czynników) wyliczyć można macierz informacyjną TTT (równanie 5.8). W macierzy tej występują niezerowe elementy poza diagonalą główną. Również macierz kowariancyjna (TTT)-1 też nie będzie macierzą diagonalną. Należy stąd wnosić, że plan kompozycyjny eksperymentu dla trzech zmiennych jest nie ortogonalny, a współczynniki regresji w modelu (5.7) nie będą wyznaczane w sposób niezależny.
Ponieważ kolejne kolumny (wiersze) macierzy informacyjnej (5.8) związane są z kolejnymi wyrazami równania regresji (5.7), stwierdzić możemy, że za nieortogonalność planu
kompozycyjnego dla trzech zmiennych odpowiadają człony kwadratowe.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
9
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
⎛ 15
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
0
T
T T=⎜
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜ 8 + 2a 2
⎜
2
⎜ 8 + 2a
⎜ 8 + 2a 2
⎝
Strona 10 z 19
0
8 + 2a 2
0
0
0
0
0
8 + 2a 2
0
0
0
8 + 2a
0
0
0
0
0 0 0 8 + 2a 2
0 0 0
0
8 + 2a 2
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0
8 0 0
0
0
0
0
0 8 0
0
0
0
0
0 0 8
0
2
0
0
0
0
0 0 0 8 + 2a
0
0
0
0 0 0
8
8 + 2a 4
0
0
0
0 0 0
8
8
4
8
8 + 2a 2 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
8 ⎟
⎟
8 ⎟
8 + 2a 4 ⎟⎠
(5.8)
Wniosek ten uogólnić możemy na wszystkie plany kompozycyjne dowolnego stopnia. W
przypadku ogólnym mając K zmiennych (czynników) oszacować możemy współczynniki
regresji w modelu liniowo – kwadratowym danym równaniem (5.4), w którym człony kwadratowe występują na końcu równania. Macierz wyjść dla takiego eksperymentu przedstawiono w tabeli 5.4.
Tabela 5.4. Macierz wejść dla planu kompozycyjnego eksperymentu dla K zmiennych. Kolorem żółtym zaznaczono plan kompozycyjny. Plan pozwala na oszacowanie
współczynników regresji w modelu liniowo – kwadratowym (5.4).
Nr
1
2
3
M
2K
2K+1
2K+2
M
K
2 +2K-1
2K+2K
2K+2K+1
M
K
2 +2K+N0
x0
+1
+1
+1
M
+1
+1
+1
M
+1
+1
+1
M
+1
x1
+1
-1
+1
M
-1
+a
-a
M
0
0
0
M
0
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
…
…
…
…
M
…
…
…
…
…
…
…
…
…
xK
+1
+1
…
M
-1
0
0
M
+a
-a
0
M
0
x12
+1
+1
-1
M
+1
0
0
M
0
0
0
M
0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
x(K-1)K
+1
-1
…
M
+1
0
0
M
0
0
0
M
0
x11
+1
+1
+1
M
+1
a2
a2
M
0
0
0
M
0
…
…
…
…
O
…
…
…
…
…
…
…
…
…
xKK
+1
+1
+1
M
+1
0
0
M
a2
a2
0
M
0
10
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 11 z 19
W ogólnym przypadku dla planu kompozycyjnego dla K zmiennych zbudowanego na bazie planu czynnikowego na dwóch poziomach typu 2K z dodanymi doświadczeniami gwiezdnymi i doświadczeniami centralnymi (tabela 5.4) otrzymamy macierz informacyjną o postaci
⎛N
⎜
⎜0
⎜M
⎜
⎜0
⎜0
⎜
TT T = ⎜ M
⎜0
⎜
⎜e
⎜
⎜e
⎜M
⎜
⎝e
0
e
M
0
0
M
0
0
0
M
0
L
L
O
L
L
O
K
L
L
O
L
0 0 L 0 e e
0 0 L 0 0 0
M M O M M M
e 0 L 0 0 0
0 m L 0 0 0
M M O M M M
0 0 K m 0 0
0 0 L 0 p m
0 0 L 0 m p
M M O M M M
0 0 L 0 m m
L
L
O
L
L
O
L
L
L
O
L
e⎞
⎟
0⎟
M⎟
⎟
0⎟
0⎟
⎟
M⎟
0 ⎟⎟
m⎟
⎟
m⎟
M⎟
⎟
p⎠
(5.9)
gdzie liczba N oznacza liczbę doświadczeń wykonywanych w ramach planowanego eksperymentu i dana jest wzorem 5.1. Pozostałe symbole dane są zależnościami
e = 2 K + 2a 2
(5.10)
p = 2 K + 2a 4
(5.11)
m = 2K
(5.12)
Jak można zauważyć, macierz informacyjna (5.9) jest macierzą symetryczną. Jej poszczególne kolumny (wiersze) związane są z kolejnymi wyrazami modelu kwadratowego, którego
współczynniki szacujemy. I tak kolumna pierwsza zaczynająca się liczbą N związana jest z
wyrazem wolnym w modelu. Po niej następuje K kolumn zaczynających się liczbą 0 i związanych z wyrazami liniowymi w modelu. W tych kolumnach na diagonali głównej mamy
⎛K⎞
liczby e. Kolejne kolumny (jest ich ⎜⎜ ⎟⎟ ) zaczynające się liczbą 0 związane są z interakcjami
⎝2⎠
pomiędzy wyrazami liniowymi. W kolumnach tych na diagonali głównej mamy liczby m. Na
końcu występuje K kolumn zaczynających się liczbą e.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
11
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 12 z 19
W ogólnym przypadku planowanie kompozycyjne nie jest planowaniem ortogonalnym, a
macierz kowariancyjna (TTT)-1 nie jest macierzą diagonalną. Największy problem (powodujący największe zakłócenia w ortogonalności planów kompozycyjnych) stanowi blok związany z członami kwadratowymi i zawierający wyrażenia m i p, czyli blok
⎛ p m m m⎞
⎟
⎜
⎜m p m m⎟
⎜m m p m⎟
⎟⎟
⎜⎜
m
m
m
p
⎠
⎝
(5.13)
Brak ortogonalności planów kompozycyjnych stanowi ich największą wadę. Kolejne koncepcje związane z rozwojem tego typu planów poszły w kierunku ich ortogonalizacji.
5.2. Planowanie wielopoziomowe – kompozycyjne ortogonalne
Poszczególne elementy macierzy informacyjnej otrzymywane są jako iloczyny odpowiednich wektorów kolumnowych macierzy wejść w planie eksperymentu kompozycyjnego dla K
zmiennych (tabela 5.4). z zapisu macierzy informacyjnej (5.9) wynika, że nie ortogonalne (nie
zerowe) są iloczyny wektorów kolumnowych wyrazów kwadratowych
K
∑x
u =1
2
iu
x 2ju = m,
i≠ j
(5.14)
oraz iloczyny wektorów kolumnowych wyrazu wolnego i dowolnego wyrazu kwadratowego
K
∑x
u =1
0u
xiu2 = e,
i = 1,2, K K
(5.15)
Dokonując odpowiedniej transformacji zmiennych doprowadzić można do tego, że iloczyny skalarne wektorów kolumnowych wyrazu wolnego i dowolnego wyrazu kwadratowego
(równanie 5.15) będą równe zero. Natomiast ortogonalność iloczynów wektorów kolumnowych wyrazów kwadratowych (5.14) uzyskać można poprzez właściwy dobór promienia
gwiezdnego (a) oraz wykonując odpowiednio dużą liczbę doświadczeń centralnych (N0).
Analizując macierz wejść dla przypadku ogólnego pokazać można [Mańczak, 1976], że wła-
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
12
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 13 z 19
ściwą długość ramienia gwiezdnego (a) gwarantującą pełną ortogonalność planów kompozycyjnych w przypadku pełnego eksperymentu wynosi
a=
1 K K
2 (2 + 2 K + N 0 ) − 2 K
2
(5.16)
Dla dużych K > 5 dogodniej jest stosować ułamkowe plany dwupoziomowe typu 2K-M.
Wtedy długość promienia gwiezdnego wyznaczamy z zależności
a=
1 K −M K −M
(2 + 2 K + N 0 ) − 2 K −M
2
2
(5.17)
Przeprowadzona w cytowanej pracy analiza nie nakłada żadnych ograniczeń na liczbę doświadczeń centralnych (N0). Oznacza to, że ilość wykonywanych doświadczeń centralnych
zależy jedynie od eksperymentatora i może być dowolna, w szczególności może to być tylko
jedno doświadczenie (N0 = 1). Jednakże ze względu na powtarzalność badań oraz późniejszą
analizę statystyczną zaleca się wykonywanie większej liczby doświadczeń centralnych,
(przynajmniej 4, 5).
Jak z podanych zależności wynika długość promienia gwiezdnego zależy zarówno od
wymiarowości planu (liczby zmiennych/czynników) jak też od liczby doświadczeń centralnych. Wartości promienia gwiezdnego dla różnej liczby czynników oraz różnej liczby doświadczeń centralnych podano w tabeli 5.5. Podane tam wartości promieni gwiezdnych wyliczono przy założeniu, że wykonywany jest pełen eksperyment. W przypadku, gdy podstawę
eksperymentu stanowi plan ułamkowy promienie gwiezdne przyjmą inne wartości.
Zasadniczą wadą omówionego planowania ortogonalnego jest różna wariancja var ( ŷ )
szacowanej na podstawie otrzymanego równania (5.4) wartości ŷ , w zależności od przyjętego kierunku oddalania się od środka planowania eksperymentu (jest to tak zwana asymetria
obrotowa lub nierotatabilność). Okazuje się również, że współczynniki regresji w modelu
wyznaczane są z różnymi wariancjami, gdyż nie jest spełniony warunek równości sumy kwadratów we wszystkich kolumnach macierzy eksperymentu T. Poza tym okazuje się, że niektóre kowariancje są niezerowe, co oznacza, że oszacowane współczynniki regresji są ze sobą
powiązane.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
13
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 14 z 19
Tabela 5.5. Wartości promienia gwiezdnego (a) w zależności od wymiarowości problemu (K)
oraz liczby doświadczeń centralnych (N0). Założono, że trzon eksperymentu stanowi pełny eksperyment czynnikowy na dwóch poziomach typu 2K. [Mańczak,
1976].
Wymiarowość problemu K
N0
2
3
4
5
6
1
1.000
1.215
1.414
1.596
1.761
2
1.078
1.287
1.483
1.662
1.824
3
1.147
1.353
1.547
1.724
1.885
4
1.220
1.414
1.607
1.784
1.943
5
1.267
1.471
1.664
1.841
2.000
6
1.320
1.525
1.719
1.896
2.055
7
1.369
1.575
1.771
1.949
2.108
8
1.414
1.623
1.820
2.00
2.159
9
1.457
1.668
1.868
2.049
2.209
10
1.498
1.711
1.914
2.097
2.257
11
1.536
1.752
1.958
2.143
2.304
12
1.672
1.792
2.000
2.187
2.350
Problem ten rozwiązuje kolejna modyfikacja planów kompozycyjnych, w której obok warunku na długość promienia gwiezdnego (a) nałożono dodatkowy warunek na liczbę doświadczeń (N0) wykonywanych w punkcie centralnym planu uzyskując w ten sposób plany
rotatabilne.
5.2. Plany wielopoziomowe – kompozycyjne rotatabilne
Aby uzyskać rotatabilne plany eksperymentów kompozycyjnych na 5 poziomach proponuje się postępowanie podobne do omówionego już planowania ortogonalnego. Różnica polega na innym sposobie definiowania długości promienia gwiezdnego (a) oraz nałożenia dodatkowego warunku na liczbę doświadczeń (N0) wykonywanych w punkcie centralnym.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
14
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 15 z 19
Sposób wyznaczania długości promienia gwiezdnego jest dość kłopotliwy [Mańczak,
1976]. Nie mniej pokazać można, że warunkiem koniecznym rotatabilności planu eksperymentu kompozycyjnego jest wartość promienia gwiezdnego zdefiniowanego jako
a = 4 2K
(5.18)
W praktyce dla dużych wartości K (K ≥ 5) do szacowania współczynników modelu proponuje się, jako główny trzon planów kompozycyjnych, stosowanie ułamkowych planów
dwupoziomowych typu 2K-M. Wtedy celem spełnienia warunku rotatabilności, przyjąć należy
wartość długości promienia gwiezdnego
a = 4 2 K −M
(5.19)
Tabela 5.6. Długość promienia gwiezdnego a oraz liczba doświadczeń centralnych N0 dla
różnej wymiarowości (różnej liczby czynników) K planu eksperymentu. N0 –
liczba doświadczeń centralnych, N – całkowita liczba doświadczeń [Mańczak,
1976].
K
2
3
4
5
6
2K
22
23
24
25
26
a
1.414
1.682
2.000
2.378
2.828
N0
5
6
7
10
15
N=2K+2K+N0
13
20
31
52
91
Jeżeli chodzi o liczbę doświadczeń centralnych, to przyjmuje się, że N0 powinno być dostatecznie duże. W efekcie w literaturze spotkać można różne sugestie. I tak [Mańczak, 1976]
proponuje, aby liczbę doświadczeń w punkcie centralnym planu wyliczyć w taki sposób, aby
wariancja var ( ŷ 0 ) wartości oszacowanej z modelu była taka sama w punkcie centralny planu,
jak i w punktach leżących na kuli o promieniu ρ = 1. Warunek ten oznacza, że dla punktów
zawartych w tej kuli wariancja jest prawie stała. Proponowane w tej pracy długości promienia
gwiezdnego (a) oraz liczby doświadczeń centralnych (N0) podano w tabeli 5.6. Wartości te
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
15
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 16 z 19
zostały obliczone przy założeniu, że trzonem planu kompozycyjnego jest pełny plan czynnikowych na dwóch poziomach typu 2K.
Tak zdefiniowany plan nie zachowuje pełnej ortogonalności dla K = 3 i 6. Chcąc ją
utrzymać niektórzy autorzy [Steller, 1977] proponują niewielką modyfikacją promienia
gwiezdnego w porównaniu z warunkiem ścisłej symetrii obrotowej (równanie 5.19) przyjętej
w cytowanej wyżej pracy. Linie informacji w tym przypadku nie są ściśle koliste, jednakże
odchylenie to jest stosunkowo niewielkie. Proponowane przez niego wartości promienia
gwiezdnego (a) oraz liczby doświadczeń centralnych (N0) podano w tabeli 5.7.
Tabela 5.7. Długość promienia gwiezdnego (a) oraz liczba doświadczeń centralnych (N0) dla
różnej wymiarowości (różnej liczby czynników) K planu eksperymentu [Steller,
1977].
K
2
3
4
5
6
7
2K-M
22
23
24
25-1
26-1
27-1
a
1.414
1.668
2.000
2.000
2.403
2.828
N0
8
9
12
10
15
22
N
16
23
36
36
59
100
Plany kompozycyjne rotatabilne charakteryzują się symetrią obrotową. Oznacza to, że w
stałej odległości od środka planu błędy, jakimi obarczone są oszacowania różnych wielkości
są stałe. Z tego względu plany tego typu traktować można jako analogi planów czynnikowych
dwupoziomowych dla planowania drugiego rzędu
Przykład 5.1. (Źródło: Steller, R., 1977)
Badano przebieg katalitycznej izomeryzacji pewnego węglowodoru otrzymywanego podczas destylacji ropy naftowej. Jako wielkość badaną przyjęto stopień przemiany α węglowodoru wyjściowego w żądany produkt. Celem badań jest wskazanie optymalnych warunków
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
16
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 17 z 19
prowadzenia procesu, to znaczy takich, w których stopień przemiany interesującego węglowodoru jest największy.
W warunkach ustalonego przepływu par węglowodoru przez reaktor w stałej temperaturze
T = 507K stopień przemiany α zależy od dwóch zmiennych:
X1 – czasu kontaktu par z katalizatorem [s],
X2 – prężności par węglowodoru [mm Hg].
Tabela 5.8. Poziomy zmian dla badanych czynników; X1 – czasu kontaktu par oraz X2 – prężności par.
Czynnik
Poziom
X1, s
X2, mm Hg
Podstawowy (0)
25
450
Górny (+1)
35
600
Dolny (-1)
15
300
Przedział zmian
10
150
Optymalizacja procesu sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji opisującej badany
proces. W tym celu należy znaleźć model kwadratowy wiążący wpływ badanych czynników z
wydajnością procesu izomeryzacji.
y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x1 + β 22 x 2 + ε
2
2
(5.20)
gdzie β jest wektorem nieznanych współczynników regresji w przyjętym modelu, a ε jest
nieznanym błędem losowym.
Macierz eksperymentu oraz wyniki badań przedstawiono w tabeli 5.9. Kolorem żółtym
zaznaczono plan eksperymentu. Linią przerywaną oddzielono poszczególne bloki składające
się na przeprowadzony eksperyment: doświadczenia wykonane w ramach planu eksperymentu czynnikowego na dwóch poziomach, doświadczenia gwiezdne oraz doświadczenia centralne.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
17
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 18 z 19
Tabela 5.9. Macierz wejść rotatabilnego planowania ortogonalnego dla K = 2 czynniki oraz
wyniki eksperymentu optymalizacyjnego [Steller, 1977].
Nr
x0
x1
x2
x1x2
x12
x22
y
Doświadczenie czyn-
1
1
-1
-1
1
1
1
65.3
nikowe na dwóch
2
1
-1
1
-1
1
1
54.2
poziomach 22
3
1
1
-1
-1
1
1
68.5
4
1
1
1
1
1
1
52.5
5
1
1.414
0
0
2
0
62.0
6
1
-
0
0
2
0
69.8
Doświadczenie
gwiezdne (4)
1.414
7
1
0
1.414
0
0
2
60.1
8
1
0
-
0
0
2
50.3
1.414
9
1
0
0
0
0
0
55.8
10
1
0
0
0
0
0
56.4
11
1
0
0
0
0
0
55.2
Doświadczenia cen-
12
1
0
0
0
0
0
54.8
tralne N0 = 8
13
1
0
0
0
0
0
55.6
14
1
0
0
0
0
0
56.2
15
1
0
0
0
0
0
56.4
16
1
0
0
0
0
0
55.0
Stosując metodę najmniejszych kwadratów oszacowano współczynniki regresji w modelu
(5.20) uzyskując następujący wektor
b = (55.7 − 1.2 − 1.7 − 1.2 5.0 − 03)
T
(5.21)
Korzystając z oszacowań współczynników regresji w modelu 5.20 narysowano powierzchnię funkcji odpowiedzi (rysunek 5.3).
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
18
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 5.
Plany Wielopoziomowe Kompozycyjne
Strona 19 z 19
1
54.867
60.161
57.514
0.5
65
54.867
60
0
60.161
57.514
57.51460.161
55
0
0
20
30
40
10
20
30
40
0.5
57.514 60.161
60.161 57.514
10
1
1
0.5
0
0.5
M
1
M
Rysunek 5.1. Stopień przereagowania (α) interesującego węglowodoru w procesie katalitycznej izomeryzacji od czasu reakcji (X1) i prężności par wyjściowego węglowodoru (X2). Powierzchnia odpowiedzi uzyskana w wyniku przeprowadzenia
eksperymentu kompozycyjnego – rotatabilnego.
Idea planowania kompozycyjnego stanowiła istotny krok naprzód w dziedzinie wyznaczania modeli liniowo – kwadratowych. Plany te pozwalają w porównaniu do planów czynnikowych na trzech poziomach w znaczny sposób ograniczyć liczbę koniecznych do wykonania
w ramach eksperymentu doświadczeń.
Planowanie ortogonalne miało na celu uproszczenie manipulacji rachunkowych przy wyznaczaniu współczynników regresji. W dobie współczesnej problemy obliczeniowe nie są tak
istotne jak kiedyś. Stąd przyjąć można, że planowanie ortogonalne ma raczej wartość historyczną.
Planowanie rotatabilne, o kulistym rozkładzie informacji zwane jest również planowaniem o symetrii obrotowej. Gwarantuje ono stałość dokładności otrzymanego modelu oraz
stałość oszacowania funkcji regresji w pewnym otoczeniu punktu centralnego planu. Stąd też
plany rotatabilne posiadają nadal wartość praktyczną.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
19