Wstęp do matematyki Przykładowe rozwiązanie pracy domowej nr 1

Wstęp do matematyki
Przykładowe rozwiązanie pracy domowej nr 1
Paweł Orliński
24 października 2013
Zadanie 1.
Rysunek 1: A
Rysunek 2: B
1
Rysunek 3: A ∪ B
Rysunek 4: A ∩ B
Rysunek 5: A \ B
2
Rysunek 6: B \ A
Rysunek 7: A∆B
3
Zadanie 2.
Na początek zastosujemy wskazówkę, ustalając czym w rzeczywistości są wyróżnione elementy:
{∅, {∅}, {{∅}}} \ {{{∅}}} = {∅, {∅}}
(gdyż od trzyelementowego zbioru odejmujemy jednoelementowy zbiór - element który należy do zbioru jednoelementowego wypada ze zbioru trzyelementowego).
{∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}}
(gdyż dodajemy dwa jednoelementowe zbiory - te elementy są różne)
UWAGA! Nie ma powodu dla którego {∅} ∪ {{∅}} miałoby się równać {{∅}}! Pierwszy zbiór nie jest pusty!
Czyli nasz zbiór wygląda tak:
{∅, {{∅}}, {∅, {∅}}}
Elementy zbioru są wypisane po przecinkach w głównych klamrach (jest ich 3):
∅ (zbiór pusty)
{{∅}} (zbiór zawierający zbiór zawierający zbiór pusty)
{∅, {∅}} (zbiór zawierający dwa elementy: zbiór pusty i zbiór zawierający zbiór pusty)
Podzbiory są to wszystkie możliwe kombinacje elementów (jeśli n to liczba elementów, to podzbiorów jest zawsze
2n - czyli tu powinno być ich 8). Dobrze jest wypisywać je systematycznie:
Jeden podzbiór 0-elementowy (zbiór pusty):
∅
Trzy podzbiory 1-elementowe:
{∅}
{{{∅}}}
{{∅, {∅}}}
Trzy podzbiory 2-elementowe:
{∅, {{∅}}}
{∅, {∅, {∅}}}
{{{∅}}, {∅, {∅}}}
Jeden podzbiór 3-elementowy (cały zbiór):
{∅, {{∅}}, {∅, {∅}}}
Suma tej rodziny to suma trzech zbiorów:
∅ ∪ {{∅}} ∪ {∅, {∅}} = {{∅}} ∪ {∅, {∅}} = {∅, {∅}}
(Pierwszy zbiór to zbiór pusty - nic nie wnosi, czyli można go pominąć. Drugi zbiór jest podzbiorem trzeciego jedyny element drugiego zbioru jest również elementem trzeciego zbioru, zatem ostatecznie sumą tej rodziny jest po
prostu trzeci zbiór.)
Zadanie 3.
Aby A ⊆ B (A był podzbiorem B): x = {∅, 1, 2, {10}, {∅, 10}}
(Za odpowiedź, że x może być również równy ∅, 1,2 lub {10} odejmowałem 0.5 pkta - w zadaniu nie chodziło o
multizbiór, każdy element miał być różny)
Aby A ∈ B (A był elementem B): x = {∅, 10}
4