STATYSTYKA MATEMATYCZNA I STOSOWANA Lista nr 4

STATYSTYKA MATEMATYCZNA I STOSOWANA
Lista nr 4
Zadanie z ksia̧żki “Statistics for the Life Sciences”, trzecie wydanie, autorstwa Myry L.
Samuels i Jeffreya A. Witmera.
1. W celu zbadania wpÃlywu pewnego antybiotyku na krzepniȩcie krwi zmierzono czas krzepniȩcia
krwi u dziesiȩciu szczurów poddanych dziaÃlaniu antybiotyku i dziesiȩciu szczurów z grupy
kontrolnej. Wyniki podsumowano w natȩpuja̧cej tabeli
antybiotyk grupa kontrolna
n
10
10
ȳ
25
23
s
10
8
a) Skonstruuj 90% przedziaÃl ufności dla różnicy miȩdzy średnimi w obu populacjach
(ZakÃladamy, że rozkÃlad badanej cechy w obu populacjach jest normalny. Do ustalenia
liczby stopni swobody wykorzystaj wzór podany na wykÃladzie).
b) Zinterpretuj uzyskany przedziaÃl ufności.
Zadania ze skryptu H. Jasiulewicz i W. Kordecki “Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna”
6.1.1 Z populacji o rozkÃladzie normalnym N (µ, σ = 0.2) pobrano próbȩ czteroelementowa̧: 1.14, 1.06, 1.13, 1.17. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezȩ, że
µ = 1.05.
6.1.3 Z populacji o rozkÃladzie normalnym N (µ, σ = 0.1) pobrano próbȩ trzyelementowa̧:
1.12, 1.05, 1.13. Na poziomie istotności 0.1 zweryfikować hipotezȩ H0 : µ = 1.2 przeciw
hipotezie H1 : µ < 1.2.
6.1.5 Z populacji o rozkÃladzie normalnym N (µ, σ) pobrano próbȩ trzyelementowa̧: 13,11,12.
Na poziomie istotności 0.01 zweryfikować hipotezȩ, że µ = 13.
6.1.9 Z próby 100 elementowej obliczono x̄ = 4.5 i S 2 = 0.09. Na poziomie istotności
0.05 zweryfikować hipotezȩ H0 : µ = 4.1 przeciw hipotezie H1 : µ > 4.1.
6.1.21 Na podstawie danych z dwóch niezależnych próbek o liczności n1 = 10 i n2 = 20
wylosowanych z populacji o rozkÃladach normalnych otrzymano nastȩpuja̧ce wartości z
próbki x̄ = 14.3 i ȳ = 12.2. Wariancje cech sa̧ znane: Var X = 22, Var Y = 18. Na
poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezȩ H0 : EX = EY wobec hipotezy alternatywnej H1 : EX 6= EY .
6.1.23 Z dwóch dużych partii sÃlupków betonowych wybrano próbki o liczebnościach n1 =
90 oraz n2 = 110. Średnie wytrzymaÃlości na ściskanie osiowe obliczone z tych próbek
wynosiÃly : x̄ = 248.31kG/cm2 , ȳ = 240.2kG/cm2 , a odchylenia standardowe odpowiednio
S1 = 2kG/cm2 i S2 = 1.7kG/cm2 . Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezȩ
o jednakowej wytrzymaÃlości sÃlupków w obu partiach.
Zadania z ksia̧żki “Statistics for the Life Sciences”, trzecie wydanie, autorstwa Myry L.
Samuels i Jeffreya A. Witmera.
2. Badacze zmierzyli przyrost wagi krów podczas 78 dniowego okresu testowego. W poniższej
tabeli podsumowano wyniki dla dwóch ras krów, Hereford (HH) i Brown Swiss/Hereford
(SH).
HH
N 33
ȳ 18.3
s 17.8
SH
51
13.9
19.1
Na poziomie istotności α = 0.1 porównaj średni przyrost wagi u obu ras krów.
3. Po operacji pacjenci czȩsto traca̧ dużo krwi. Celem badań statystyc-nych byÃlo porównanie
dwóch lekarstw wpÃlywaja̧cych na wzrost objȩtości krwi. 25 pacjentów poddano dziaÃlaniu
albuminy a 14 pacjentów poddano dziaÃlaniu innego lekarstwa. Dla każdego z pacjentów
zmierzono przyrost objȩtości krwi po podaniu lekarstwa (w ml). Wyniki podsumowano
w poniższej tabeli:
N
średni przyrost objȩtości
SE
ALBUMINA
25
490
60
POLYGELATINA
14
240
30
a) Porównaj średni przyrost objȩtości krwi w obu grupach wykorzystuja̧c test Studenta
na poziomie istotności α = 0.01.
b) SformuÃluj naukowy wniosek z testowania.
4. Poddano testom nowe lekarstwo. Hipoteza zerowa stwierdza, że lekarstwo jest nieefektywne (nie wpÃlywa na rozwój choroby). W wyniku badań
a) potwierdzono efektywność lekarstwa.
b) nie potwierdzono efektywności lekarstwa.
W obu powyższych przypadkach (a i b) określ typ bÃlȩdu (pierwszego lub drugiego rodzaju),
który mógÃl zostać popeÃlniony.
5. Badacze zmierzyli koncentracjȩ czerwonych krwinek we krwi 27 jaszczurek. Dodatkowo
zbadali czy jaszczurki te byÃly zarażone pewnym pasożytem przenosza̧cym malariȩ. Wyniki
(w 103 krwinek na mm3 ) podano w poniższej tabeli:
zarażone niezarażone
N
12
15
ȳ
972.1
843.4
S
245.1
251.2
Oczekiwano, że malaria zmniejsza liczbȩ czerwonych ciaÃlek krwi. Czy nasze dane potwierdzaja̧
te oczekiwania ?
6. 10 sadzonek saÃlaty losowo podzielono na dwie grupy. Jedna̧ grupȩ pielȩgnowano w sposób
standardowy a druga̧ grupȩ poddano dziaÃlaniu nowego nawozu. Po 22 dniach zważono
wszystkie rośliny. Czy dane uzasadniaja̧ stwierdzenie, że nowy nawóz wspomaga wzrost
saÃlaty ? Użyj testu Studenta na poziomie istotności α = 0.1 przeciwko odpowiedniej
jednostronnej alternatywie.
warunki
standardowe
nowy nawóz
n
5
5
średnia
3.62
4.17
SD
0.54
0.67
7. W każdej z poniższych sytuacji podaj wynik testowania H0 : µ1 = µ2 przeciwko alternatywie HA : µ1 6= µ2 .
a) P wartość = 0.085, α = 0.1.
b) P-wartość=0.065, α = 0.05.
c) ts = 3.75, df=19, α = 0.01.
d) ts = 1.85, df= 12, α = 0.05.
8. Oczekujemy, że pewne lekarstwo podnosi poziom norepinefryny. Aby to zweryfikować
planujemy eksperyment na szczurach. Chcemy użyć jednostronnego testu Studenta na
poziomie istotności α = 0.01. Za istotny efekt uznajemy podniesienie poziomu norepinefryny o 10% i chcemy aby moc naszego testu dla efektu o tej wielkości byÃla równa 80%.
Ustal ile szczurów powinieneś wzia̧ć do grupy zabiegowej i kontrolnej. W obliczeniach
wykorzystaj fakt, że wcześniejsze badania poziomu norepinefryny u szczurów nie bora̧cych
lekarstwa daÃly wyniki ȳ = 444.2 ng/g i s=69.6 ng/g.
9. Biolog przeprowadziÃl eksperyment, którego celem byÃlo ustalenie czy stres mechaniczny
ma negatywny wpÃlyw na rozwój roślin soi. MÃlode rośliny rozdzielono na dwie grupy,
trzynaście roślin w każdej. Rośliny w grupie zabiegowej poddano stresowi mechanicznemu
wstrza̧saja̧c nimi przez 20 minut dwa razy dziennie. Po 16 dniach zmierzono dÃlugość Ãlodyg
(w cm) i wyniki zawarto w poniższej tabeli:
n
ȳ
s
grupa kontrolna
13
30.59
2.13
grupa zabiegowa
13
27.78
1.73
Użyj testu Studenta aby porównać oba zabiegi na poziomie istotności α = 0.01. Hipoteza
alternatywna zakÃlada, że stres spowalnia wzrost roślin. SformuÃluj wniosek naukowy.
10. Wykorzystaj dane z zadania 2 i skonstruuj 95% przedziaÃl ufności dla różnicy miȩdzy
średnimi dÃlugościami Ãlodyg w obu populacjach. Czy przedziaÃl ufności sugeruje, że wpÃlyw
stresu jest “zasadniczy”, jeżeli “zasadniczy” wpÃlyw oznacza redukcjȩ średniej dÃlugości
Ãlodygi o co najmniej
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 5 cm
11. Student zanotowaÃlliczbȩ kalorii w 56 daniach serwowanych na stoÃlówce - 28 wegetariańskich
i 28 nie wegetariańskich. 95% przedziaÃl ufności dla różnicy miȩdzy średnia̧ zawartościa̧
kalorii w daniu wegetariańskim i nie wegetariańskim wynosi (-27, 85). Histogramy zawartości kalorii w obu grupach nie wykazuja̧ istotnych odchyleń od rozkÃladu normalnego.
Określ, które z podanych niżej twierdzeń sa̧ prawdziwe. Odpowiedź uzasadnij.
a) 95% danych zawiera siȩ w przedziale miȩdzy -27 a 85.
b) Mamy 95% pewności, że µ1 − µ2 jest w przedziale miȩdzy -27 a 85.
c) W 95% przypadków ȳ1 − ȳ2 bȩdzie pomiȩdzy -27 a 85.
d) U 95% dań wegetariańskich ilość kalorii zawiera siȩ w przedziale (µ2 − 27, µ2 + 85),
gdzie µ2 to przeciȩtna ilość kalorii w daniu nie wegetariańskim.
12. Badaja̧c zachowanie muszki owocówki badacz obserwowaÃl przez 3 minuty wybrana̧ muszkȩ
zamkniȩta̧ w naczyniu z dziesiȩcioma innymi muszkami tej samej pÃlci. Jednym z celów
eksperymentu byÃlo ustalenie czy muszki pÃlci mȩskiej i żeńskiej poświȩcaja̧ inna̧ ilość czasu
na “muskanie”. Eksperyment powtórzono 15 razy z różnymi muszkami pÃlci żeńskiej i
15 razy z różnymi muszkami pÃlci mȩskiej. Wynikiem pojedynczego eksperymentu byÃla
średnia dÃlugość (w sekundach) pojedynczego epizodu “muskania” u badanej muszki.
samce
samice
1.2
2.0
1.2 1.3
2.2 2.4
1.9 1.9 2.0
2.4 2.4 2.8
2.1 2.2
2.8 2.8
2.2
2.9
2.3
3.2
2.3
3.7
2.4
4.0
2.7
5.4
2.9
10.7
3.3
11.7
Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikuj hipotezȩ, że “przeciȩtny czas epizodu “muskania” jest taki sam u samców i samic za pomoca̧
a) testu Wilcoxona-Manna-Whitneya
b) testu Studenta.
W obu przypadkach użyj testu dwustronnego.
Jakie zaÃlożenia sa̧ potrzebne aby stosować test Studenta. Czy sa̧ one speÃlnione w naszym
przypadku ?
13. Planujemy eksperyment którego celem jest zbadanie sposobu pobierania pokarmu przez
szczury. Planujemy losowo rozdzielić 18 szczurów na trzy zabiegi: T1, T2 i T3. W trakcie
badania szczury bȩda̧ trzymane w osobnych klatkach na stojaku. Stojak ma trzy póÃlki i
na każdej zmieści siȩ 6 klatek. Pomimo starań aby oświetlenie stojaka byÃlo jednostajne
różne póÃlki sa̧ nieco inaczej oświetlone (dolna póÃlka jest najciemniejsza). Musimy wzia̧ć
to pod uwagȩ ponieważ przypuszczamy, że jasność oświetlenia ma wpÃlyw na zachowanie
szczurów. Zaproponowano trzy sposoby umieszczenia klatek na póÃlkach (po uprzednim
wylosowaniu szczurów do różnych grup zabiegowych):
Sposób I. Losowo rozmieścić 18 klatek na dostȩpnych pozycjach
Sposób II. Umieścić wszystkie szczury poddane zabiegowi T1 na pierwszej póÃlce, wszystkie szczury poddane zabiegowi T2 na drugiej póÃlce i wszystkie szczury poddane zabiegowi
T3 na trzeciej póÃlce.
Sposób III. Na każdej póÃlce umieścić dwa szczury poddane zabiegowi T1, dwa szczury
poddane zabiegowi T2 i dwa szczury poddane zabiegowi T3.
Uszereguj te plany eksperymentu od najlepszego do najgorszego. Uzasadnij swój wybór.
14. Do pewnych badań medycznych zgÃlosiÃlo siȩ 24 ochotników.
Obiekt
CM
AF
EG
MA
DN
BB
AS
ML
PC
LW
JP
CR
pÃleć
K
K
K
K
K
K
M
M
M
M
M
M
wiek
19
23
32
39
46
51
22
27
34
38
40
40
Obiekt
KN
CO
TK
TW
AJ
DS
GD
WH
MS
JH
CF
RV
pÃleć
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
wiek
43
45
48
50
52
56
56
59
61
63
66
72
Rozdziel obiekty losowo na dwie grupy zabiegowe używaja̧c planu caÃlkowicie zrandomizowanego.
15. W każdym z poniższych przypadków określ czy mamy do czynienia z badaniem obserwacyjnym czy eksperymentalnym.
a) Badanie czy zażywanie aspiryny zmniejsza ryzyko ataku serca.
b) Badanie czy noworodki z biednych rodzin waża̧ mniej niż dzieci z bogatych rodzin.
c) Badanie czy wielkość pewnej czȩści mózgu ma wpÃlyw na orientacjȩ seksualna̧ mȩżczyzn.
16. Pracownicy schroniska dla zwierza̧t przeprowadzili badania dotycza̧ce wpÃlywu pewnego
gatunku miȩty na koty. Zapisywali lczbȩ “negatywnych interakcji” dla każdego z kotów
w 15 minutowych okresach przed i po podaniu Ãlyżeczki tej miȩty. Wyniki sa̧ zawarte w
poniższej tabeli:
Kot
Amelia
Bathsheba
Boris
Frank
Jupiter
Lupine
Madonna
Michelangelo
Oregano
Phantom
Posh
Sawyer
Scary
Slater
Tucker
Średnia
SD
przed
0
3
3
0
0
4
1
2
3
5
1
0
3
0
2
1.8
1.66
po różnica
0
0
6
-3
4
-1
1
-1
0
0
5
-1
3
-2
1
1
5
-2
7
-2
0
1
1
-1
5
-2
2
-2
2
0
2.8
-1
2.37
1.20
a) Skonstruuj 95% przedziaÃl ufności dla różnicy miȩdzy średnia̧ liczba̧ negatywnych
interakcji przed i po zabiegu.
b) Skonstruuj odpowiedni przedziaÃl ufności stosuja̧c metodȩ dla dwóch niezależnych
prób. Porównaj oba przedziaÃly.
c) Porównaj populacje przed i po zabiegu używaja̧c odpowiedniego testu Studenta na
poziomie istotności α = 0.05. Zastosuj alternatywȩ dwustronna̧.
d) Porównaj populacje przed i po zabiegu używaja̧c testu znaków na poziomie istotności
α = 0.05. Zastosuj alternatywȩ dwustronna̧. Oblicz dokÃladna̧ p-wartość.
e) Porównaj populacje przed i po zabiegu używaja̧c znakowanego testu Wilcoxona na
poziomie istotności α = 0.05. Zastosuj alternatywȩ dwustronna̧.
MaÃlgorzata Bogdan