Zadania z geometrii B
Transkrypt
Zadania z geometrii B
Zadania z geometrii B Zestaw 6: proste i płaszczyzny Zadania 1- 8 dotyczą płaszczyzny euklidesowej R2 (ze zwykłym iloczynem skalarnym), zaś pozostałe dotyczą przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej R3 . 1. Zamienić równanie ogólne Ax + By + C = 0 prostej na równanie parametryczne. 2. x x0 x Zamienić równanie parametryczne = + λ 1 prostej na równanie ogólne. y y0 y1 3. Napisać równania (a) ogólne (b) parametryczne prostej na płaszczyźnie (a) przechodzącej przez punkty P (x1 , y1 ),Q(x2 , y2 ) (b) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i równoległej do prostej Ax + By + C = 0 x x1 x (c) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i równoległej do prostej = +λ 2 y y1 y2 (d) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i prostopadłej do prostej Ax + By + C = 0 x x1 x (e) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i prostopadłej do prostej = +λ 2 y y1 y2 4. Wykazać, że wektor [A, B] jest wektorem normalnym do prostej Ax + By + C = 0. 5. Obliczyć odległość początku układu wpółrzędnych od prostej Ax + By + C = 0. Przesuwając układ współrzędnych wyprowadzić wzór na odległość dowolnego punktu od tej prostej. √ √ Obliczyć kąt między prostymi x + 3y + 5 = 0, 3x + y + 7 = 0 6. 7. Sprawdzić, czy prosta o równaniu (a) 9x + 4y + 14 = 0 (b) 3x + y + 4 = 0 należy do pęku zadanego przez proste 5x + 7y + 9 = 0, 4x − 3y + 5 = 0 √ √ 8. Znaleźć dwusieczne kątów zadanych przez proste x + 3y = 0, 3x + y = 0. —————————————————————————————— 9. 10. 11. 12. Zamienić równanie ogólne płaszczyzny x − 2y − z = 1 na równanie parametryczne, Zamienić równanie ogólne płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 na równanie parametryczne. Wykazać, że wektor [A, B, C] jest wektorem normalnym do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0. Obliczyć odległość początku układu wpółrzędnych od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0. Przesuwając układ współrzędnych wyprowadzić wzór na odległość dowolnego punktu od tej płaszczyzny. √ √ √ √ √ √ Obliczyć kąt między płaszczyznami 2x + 2 3y + 2z + 5 = 0, 2 3x − 2y + 2z + 7 = 0 13. 14. Znajdź równanie ogólne płaszczyzny (1, −1, 1) + lin ([1, 2, 0], [2, 1, −1]). 15. Uzasadnij, że płaszczyzna (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ], [x3 , y3 , z3 ]) ma równanie ogólne X − x1 det Y − y1 Z − z1 x1 y2 z2 x1 y2 = 0 z3 16. Znaleźć równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty P = (2, −5, 1), Q = (−1, 0, 3), R = (1, 1, 0). 17. Uzasadnij, że płaszczyzna przechodząca przez trzy niewspóliniowe punkty P = (x1 , y1 , z1 ), Q = (x2 , y2 , z2 ) X − x1 R = (x3 , y3 , z3 ) ma równanie ogólne det Y − y1 Z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 18. W przestrzeni R3 znaleźć: ( x − 2y − z = 1 (a) równanie parametryczne prostej , 2x − 3z = 2 (b) równanie ogólne prostej (1, −1, 2) + lin ([3, −5, 1]), 1 x3 − x1 y3 − y1 = 0 z3 − z1 (c) równanie ogólne i parametryczne prostej przechodzącej przez punkty P = (2, −5, 1), Q = (−1, 0, 2). 19. Uzasadnij, że w przestrzeni R3 prosta (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) ma równanie ogólne (jest to tzw. postać kanoniczna) X − x1 Y − y1 Z − z1 = = x2 y2 z2 Uwaga! W przypadku, gdy któraś ze współrzędych x2 , y2 , z2 jest równa zero powyższe równości należy traktować jako równości odpowiednich iloczynów „na krzyż”. 20. Uzasadnij, że w przestrzeni R3 prosta przechodząca przez dwa różne punkty P = (x1 , y1 , z1 ), Q = (x2 , y2 , z3 ) ma równanie ogólne X − x1 Y − y1 Z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 21. Znajdź równanie ogólne prostej (a) (b) (c) (d) (1, −1, 1) + lin ([2, 1, −1]), (−2, −1, 0) + lin ([3, 0, −1]), (5, −1, 1) + lin ([0, 2, 0]), af ((0, −1, 2), (1, 3, 2)). 22. Znajdź równanie ogólne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni R3 : (a) (b) (c) (d) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1)), af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)), (1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1]), (1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1], [0, 1, 0]). 23. Znajdź równanie parametryczne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni R3 : (a) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1)), (b) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)), (c) x + y = 1 ( x−y =1 (d) . 2x + y + z = 0 24. W przestrzeni R3 znajdź równanie kanoniczne prostej (a) af ((1, 1, 3), (2, 2, , 5), (b) (1, 0, 0) + lin ([1, 0, −1]), ( x−y =1 (c) . y+z =0 0 0 0 0 0 0 25. Uzasadnij, że prosta (x1 , y1, z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) jest równoległa do prostej (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) x2 wtedy i tylko wtedy, gdy r y2 z3 x02 y20 = 1 z30 26. Sprawdź, czy prosta (−2, 0, 1) + lin ([1, −1, 3]) jest równoległa do prostej 27. (a) af ((0, 1, −1), (2, −1, 5)), y z−2 x−1 = = . (b) 2 −1 3 Uzasadnij, że prosta (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) jest równoległa do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Ax2 + By2 + Cz2 = 0. 28. Sprawdź, czy prosta y z−2 x−1 = = , 2 −1 3 (b) af ((1, 0, 2), (2, 1, 3) (a) jest równoległa do płaszczyzny 2x + y − z = 1. 29. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P i równoległej do płaszczyzny H, gdzie: (a) P = (1, −3, 1), H = (1, 2, 0) + lin ([1, −1, 1], [1, 0, 3]), 2 (b) P = (1, −1), H : x + 2y − z = 1), (c) P = (−1, −3, 1), H = af ((1, −2, 0), (1, 0, 1), (2, −1, 1)). 30. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P i równoległej do prostej L, gdzie: (a) P = (1, −3, 1), L = (1, 2, 0) + lin ([1, −1, 1]), ( x + 2y − z = 1 , (b) P = (1, −1, 0), L : 2x + z = 0 (c) P = (−1, −3, 1), L = af ((1, −2, 0), (2, −1, 1)). 31. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P i równoległej do prostych L1 i L2 , gdzie: (a) P = (1, 0, 1), L1 = (1, 2, 0) + lin ([1, −1, 2]), L2 = af ((1, 0, 0), (2, 3, −1)), ( x + 2y − z = 1 x−1 y z−2 , L2 : (b) P = (−1, 2, 1), L1 : = = . 2 −1 3 2x + z = 0 32. Uzasadnij, że w przestrzeni proste L = (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) i L0 = (x01 , y10 , z10 ) + lin ([x02 , y20 , z20 ]) leżą w jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy 0 x1 − x1 x2 y10 − y1 y2 z10 − z1 z2 x02 y20 ¬ 2 z20 33. Zbadaj wzajemne położenie prostych L1 i L2 , gdzie: x−1 y z−2 = = , 2 −1 3 x−2 y+1 z−2 x−3 y+2 z−5 (b) L1 : = = , L1 : = = , 1 −1 3 2 1 3 (c) L1 = ((1, 0, 1) + lin ([0, 1, −1]), L2 = af ((1, 1, 0), (2, −1, 1)). (a) L1 = ((1, 0, 1) + lin ([1, 2, −1]), L2 : 34. W przestrzeni A(R3 ) zbadaj wzajemne położenie (a) płaszczyzn H1 = af ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)), H2 : y = 2, (b) prostych L1 = af ((1, 1, 1), (2, 1, 1)), L2 = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]), (c) prostej L = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]) i płaszczyzny H : x − z = 5). 35. Poprowadzić przez punkt P prostą przecinającą proste L1 i L2 , jeżeli (a) P = (b) P = (c) P = 3 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 , L1 = 3 + lin ( 1 −1 0 0 −1 , L1 = 3 + lin ( 1 3 1 x+y =0 , L1 : x−y+z+4=0 1 4 ), L2 = −1 + lin ( 1 ), 1 2 3 2 ), L2 = 5 + lin ( 3 ), 1 1 x + 3y −1=0 , L2 : . y−z−2=0 3