wyznaczanie sił mięśniowych i reakcji w stawach kończyny dolnej

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
44, s. 49-56, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W STAWACH
KOŃCZYNY DOLNEJ PODCZAS NASKOKU I ODBICIA
KRZYSZTOF DRAPAŁA, KRZYSZTOF DZIEWIECKI, ZENON MAZUR,
WOJCIECH BLAJER
Instytut Mechaniki Stosowanej i Energetyki, Wydział Mechaniczny, Politechnika Radomska
e-mail: [email protected]; {krzysztof.dziewiecki; z.mazur; w.blajer}@pr.radom.pl
Streszczenie. W artykule opisano metodę wyznaczania – poprzez rozwiązanie
zadania symulacji dynamicznej odwrotnej – sił mięśniowych i reakcji w stawach
kończyny dolnej podczas naskoku i odbicia z jednej nogi. Kończynę wydzielono
z ciała człowieka i zamodelowano jako płaski łańcuch kinematyczny zaczepiony
w stawie biodrowym, sterowany za pomocą dziewięciu sił mięśniowych. Danymi
wejściowymi dla symulacji są charakterystyki kinematyczne ruchu (pomierzone
metodami fotogrametrycznymi) oraz, w fazie kontaktu z podłożem, reakcje od
podłoża na stopę (zmierzone na platformie dynamometrycznej). Przedstawiono
zarówno najistotniejsze elementy zbudowanego modelu obliczeniowego jak
i wybrane wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej analizowanego skoku.
1. WSTĘP
Symulacja dynamiczna odwrotna czynności motorycznych człowieka, prowadzona
z wykorzystaniem modeli mięśniowo-szkieletowych oraz danych eksperymentalnych, jest
podstawową techniką bezinwazyjnego szacowania sił mięśniowych oraz obciążeń
zewnętrznych i wewnętrznych w trakcie tych czynności. Danymi wejściowymi dla takich
symulacji są charakterystyki kinematyczne badanych czynności, otrzymywane poprzez
rejestrację (za pomocą układu kamer cyfrowych) położeń w czasie odpowiednich punktów
(markerów) na ciele człowieka oraz ich dalszą obróbkę numeryczną. Możliwa jest też
rejestracja niektórych reakcji zewnętrznych, na przykład reakcji z podłożem (platforma
dynamometryczna).
Analiza skoków koncentruje swoją uwagę na obciążeniach kończyn dolnych. Dla potrzeb
analizy badanego skoku kończynę dolną wydzielono z ciała człowieka, a następnie
zamodelowano jako płaski łańcuch kinematyczny składający się z trzech członów sztywnych
(udo, podudzie, stopa), połączonych przegubowo w stawach kolanowym oraz skokowym.
Układ ten zaczepiono następnie przegubowo (staw biodrowy) do ruchomej podstawy (tułów),
której ruch jest znany (pomiary fotogrametryczne). Podłoże, z którym kontaktuje się stopa,
modelowane jest jako nieskończenie sztywne.
Analizowany skok na jednej nodze (rys. 1) obejmuje fazę lotu (naskok), kontakt
z podłożem (lądowanie i odbicie) i znów fazę lotu (wyskok). Danymi niezbędnymi dla
symulacji dynamicznej odwrotnej są charakterystyki kinematyczne ruchu (pomierzone
metodami fotogrametrycznymi i obrobione numerycznie [8]) oraz, w fazie kontaktu
50
K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER
z podłożem, zmierzone reakcje zewnętrzne (lądowanie i odbicie wykonywane jest na
platformie dynamometrycznej).
Rys.1. Wybrane kadry z filmu rejestrującego naskok i odbicie z platformy dynamometrycznej
2. MODEL MATEMATYCZNY
Budowa modelu człowieka (bądź też jego wydzielonej części) obejmuje podział na człony,
traktowane jako ciała sztywne połączone przegubowo, oraz wyodrębnienie odpowiedniej
liczby mięśni (lub grup mięśni) szkieletowych odpowiedzialnych za realizację analizowanego
ruchu. W pracy zbudowano model kończyny dolnej złożony z trzech członów (udo, podudzie,
stopa). Identyfikację modelu – parametry masowo-geometryczne (długości członów, masy,
momenty bezwładności i położenia środków mas), sposób działania i miejsca przyłożenia sił
mięśniowych oraz przekroje fizjologiczne mięśni – przeprowadzono na podstawie danych
literaturowych [1-4] (tabele, wzory regresji) i częściowo pomiarów bezpośrednich (masa
ciała, wybrane wymiary zewnętrzne).
Analizowany skok potraktowano jako ruch płaski, realizowany w płaszczyźnie
strzałkowej. Model wydzielonej kończyny dolnej składa się z b  3 sztywnych członów
połączonych przegubowo w k  3 stawach. Układ ma 3 stopnie swobody. Podczas kontaktu
z podłożem na stopę oddziałują reakcje r  [ Rx Ry M A ]T sprowadzone do punktu A stopy
( rys. 2).
1
H
1
3
z4
2
z2
2
yH (t)
Y
xH (t)
X
1
z1
K
2
4
4
3
1
3
A
5
2
6
1
z3
6
5
3
3
2
z5
Rys. 2. Współrzędne więzów i siły reakcji więzów w stawach kończyny dolnej
WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W STAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ…
51
Do opisu położenia układu użyto n  3b  9 współrzędnych absolutnych członów
p  [ xC 1 yC1 1 xC 2 yC 2  2 xC 3 yC 3  3 ]T , na które składają się współrzędne środków mas
członów w inercjalnym układzie XY oraz kąty odchylenia członów od pionu (rys. 2). Ruch
członów skrępowany jest l  2k  6 więzami połączeń w stawach, a w fazie kontaktu
z podłożem na stopę działają dodatkowo reakcje od podłoża r . Równania więzów we
współrzędnych absolutnych p mają postać z   ( p)  0 i definiują zablokowane kierunki
(poziomy i pionowy) przemieszczeń względnych w stawach. Dynamiczne równaniu ruchu
układu we współrzędnych p mają postać
Mp  f g  C T ( p )  C rT ( p )r  f u ( p )
(1)
gdzie Mp  f g jest złożeniem niezależnych równań ruchu dla członów swobodnych pod
działaniem tylko sił grawitacyjnych. Siły bierne, wynikające z więzów połączeń,
reprezentuje wektor uogólnionych sił reakcji więzów f   CT  ,gdzie C    / p jest
l  n wymiarową macierzą więzów, a   [1 2 3 4 5 6 ] jest wektorem
(fizycznych) sił reakcji w stawach (rys. 2). Analogiczne określenia dotyczą wektora
uogólnionych sił reakcji w wyniku kontaktu z podłożem f r  C rT  r (w fazie lotu r  0 )
oraz uogólnionych sił sterowania fu  BF u F , gdzie BF jest ( n  m) – wymiarową macierzą
dystrybucji parametrów sterowania uF  [u1 ... um ]T na kierunki p .
Wszystkie składniki równania (1) wyprowadza się relatywnie prosto, jedynie wyznaczenie
macierzy wpływu sił mięśniowych BF wymaga więcej zabiegów. Podstawowym problemem
jest zdefiniowanie linii działania oraz punktów wprowadzania sił mięśniowych do
odpowiednich członów. Dla wyodrębnionych mięśni (lub grup mięśni) linie działania sił
mięśniowych są prostymi wyznaczanymi przez punkty ich przyczepów do układu kostnego
(punkty O j oraz I j ). Przy takim założeniu mogą pojawiać się (osobliwe) położenia kątowe
członów, przy których ramiona działania sił mięśniowych względem osi obrotu w stawach
osiągać mogą bardzo małe (zerowe) wartości. Konsekwencją tego jest pojawienie się bardzo
dużych sił mięśniowych. W celu uniknięcia tych osobliwości punkty wprowadzenia sił
mięśniowych zastępowane są przez efektywne punkty wprowadzenia tych sił, wynikające
z uwzględnienia złożonego charakteru
oplatania przez mięsień pewnych struktur
anatomicznych w postaci torebki stawowej lub innych mięśni (punkty O 'j , O 'j' oraz I 'j , I 'j' ).
W rzeczywistości mięsień (ścięgno mięśniowe) generujący moment w stawie opiera się
bowiem często na torebce stawowej. W związku z tym ramię działania siły mięśniowej nie
osiąga nigdy wartości równej zeru, lecz pozostaje zawsze na pewnym poziomie (ścięgno
oplata staw z zachowaniem pewnego promienia zapewniającego niezerowe ramię działania
siły względem osi stawu). W ten sposób zachowywane są niezerowe ramiona działania sił
mięśniowych względem stawów w każdej konfiguracji kątów stawowych.
Dana siła mięśniowa może mieć charakter siły jednostawowej, gdy miejsca jej
wprowadzenia należą do członów połączonych w jednym stawie, lub wielostawowej, gdy
miejsca jej wprowadzenia należą do członów niebędących bezpośrednio połączonych
[1-3,7,9]. Na potrzeby tej pracy przyjęto niedeterministyczny model sterowania [3] kończyną
dolną za pomocą dziewięciu sił mięśniowych . Zastosowany model układu mięśniowego
prezentuje rys. 3.
52
K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER
a)
m8
m1
m9
H
b)
O
m2
F
(0)
9
(1)
m3
1
m6
I
(1)
8
I '8(1)
1
d)
c)
3
O4(1)
O
(1)
I 9(1)
m7
A
(0)
1
F8
2
m4
m5
F3
F8
(0)
F9
I '9(1)
K
O3(0)
O8(0)
(0)
9
1
F1(0)
F4
(1)
O5(2)
(2)
O2(1)
(1)
6
O
(0)
F6
1
(1)
F1(1)
I
F3 (2)
(2)
F6 I (2)
I'3(2)
6
(2)
3
I'1' (1) = I''2 (1)
(1)
(1)
I'1 = O'2
(1) (1)
F1 , F2
F1 (2), F2 (2)
F4
O7(2)
(2)
(2)
I''4
F7
(2)
(2)
F4 F5
2
F7
I 1(2) = I 2(2)
2
F4
(3)
4
I'
(3)
(3)
5
= I'
F5
(3)
3
(3)
I'7(3)
I 7(3)
I 4(3) = I 5(3)
Rys. 3. Model sterowania kończyną dolną za pomocą sił mięśniowych
Jako parametry sterowania wybrano naprężenia mięśni  j  F j / Aj , j  1,..., m , gdzie
A j  ( Apcsa ) j jest przekrojem fizjologicznym mięśnia j. Zależność na uogólnioną siłę
sterującą przyjmie wówczas postać f u  B u , gdzie A  diag ( A1 ,..., A9 ) , a B  BF A jest
( n  m) -wymiarową macierzą dystrybucji parametrów sterowania u  [ 1 ...  9 ] na
kierunki p .
Dla danej chwili czasu t, dla której znane są przebiegi p(t ) oraz  r (t ) , jednoznaczne
wyznaczenie  (t ) z równania (1) nie jest możliwe (sterowanie nadmiarowe). Rozwiązanie
można uzyskać z zastosowaniem metod optymalizacyjnych. Przedtem jednak należy
zrzutować dynamiczne równania ruchu we współrzędnych absolutnych na k  3 kierunki
współrzędnych stawowych (współrzędnych niezależnych). Wybór współrzędnych
niezależnych q nie jest jednoznaczny. Dla rozważanego modelu racjonalnym wyborem jest
q  [1  2 3 ]T , gdzie i są kątami orientującymi poszczególne człony względem pionu.
Punktem wyjścia dla takiego postępowania są składniki równań ruchu we współrzędnych
absolutnych oraz zależności między n współrzędnymi absolutnymi p oraz k współrzędnymi
niezależnymi q , będące równaniami więzów połączeń w stawach w postaci rozwikłanej [5,7].
W zastosowaniu do rozpatrywanego modelu równania te, na poziomie położeń i prędkości,
mają postaci
p  g ( q)   (t )

p  D( q ) q   (t )
(2)
gdzie D  g / q jest macierzą o wymiarze n  k , a  (t )  [ xH (t ) yH (t )]T są
współrzędnymi przegubu H (stawu biodrowego) w inercjalnym układzie odniesienia XY . Po
WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W STAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ…
53
obustronnym przemnożeniu równania (1) przez DT , zostaje wyeliminowany składnik
wpływu sił reakcji w stawach, bo DT C T  0 [5,7]. Poszukiwane równanie przyjmuje postać
D T B A   D T ( M p  f g  CrT r )
(3)
Równanie (3) pozwala na wyznaczenie, metodą optymalizacji statycznej, poszukiwanych
przebiegów sił mięśniowych, przy wyborze naprężeń mięśni jako parametrów sterowania,
Zagadnienie optymalizacyjne przedstawia się następująco
 minimalizu j

tak, by


oraz

J ( )
D B A  DT ( M p  f g  CrT r )
 min     max
T
(4)
gdzie J ( ) jest odpowiednią funkcją celu, a  min i  max są dopuszczalnymi fizjologicznie
minimalnymi i maksymalnymi wartościami naprężeń w mięśniach. W ten sposób znajdowane
są przebiegi  (t ) , które minimalizują J ( ) , spełniają warunek wynikający z równań
dynamicznych
oraz mieszczą się w zakresie
D T B A  D T ( M p  f g  CrT r )
 min     max . Za funkcję celu przyjęto sumę kwadratów naprężeń mięśni, która uzasadnia
fizjologicznie dystrybucję sił mięśniowych [2,3].
l
J ( )    2j
j 1
(5)
Z uwzględnieniem oddziaływania tak obliczonych sił mięśniowych wyznaczane są
następnie przebiegi sił reakcji w stawach. Do ich wyznaczenia posłużono się metodą
rozszerzonych współrzędnych złączowych [7]. Idea metody polega na tym, że tradycyjne
równania więzów połączeń w postaci rozwikłanej, związki między współrzędnymi
absolutnymi a niezależnymi, p  g ( q, t ) , uzupełnia się o zależność od współrzędnych więzów
z , czyli p  g ( q, z , t ) , gdzie z  [ z1 ... zl ] oznaczają zablokowane kierunki przemieszczeń
względnych w połączeniach (rys. 2), uzupełniające definiowane prze q kierunki
„dopuszczane” przez więzy. Zależność od z jest wprowadzana tylko dla wygenerowania
macierzy E takiej, że
 g 
 g 
p    q    z  D( q )q  E ( q) z
 z  z 0
 q  z  0
(6)
Zależność na wyznaczenie reakcji w stawach kończyny dolnej,   [1 ... 6 ] , uzyskuje się
następnie poprzez zrzutowanie równań ruchu do l -wymiarowej podprzestrzeni definiowanej
przez kolumny E , czyli przez lewostronne przemnożenie tych równań przez E T , a więc
  ET [ fg  CRT R  B Au  M p]
(7)
54
K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER
Otrzymuje się w ten sposób zależność pozwalającą na efektywne wyznaczenie reakcji
w stawach rozpatrywanej kończyny dolnej. Dla otrzymania  (t ) niezbędne są uzyskane na
podstawie pomiarów charakterystyki kinematyczne p(t ) i p(t ) , zmierzone na platformie
dynamometrycznej przebiegi r (t ) oraz obliczone wcześniej przebiegi u (t ) .
3. WYBRANE WYNIKI SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWROTNEJ
Prezentowane wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej odnoszą się do fazy lotu tuż przed
lądowaniem na jednej nodze ( t  0.3 ), fazy kontaktu z podłożem ( 0.3  t  0.48 ) oraz fazy
lotu po odbiciu ( t  0.48 ). Poniżej przedstawiono (rys. 4) wartości oszacowanych sił
mięśniowych wybranych czterech mięśni (grup mięsni): dwóch prostowników stawu
kolanowego – rectus femoris, vastus (later. medi. intermed.), jednego prostownika stawu
skokowego – solueus oraz jednego prostownika stawu biodrowego – gluteus (maximus,
medius, minimus). Mięśnie te mają ilościowo największy udział w realizacji badanego skoku
na jednej nodze. Są odpowiedzialne za wyhamowanie układu w czasie kontaktu z podłożem
(bezpośrednio po fazie lotu) oraz odbicie i znów przejście do fazy lotu. Charakterystyczny
jest wzrost wartości charakterystyk czasowych sił mięśniowych podczas kontaktu zawodnika
z podłożem oraz zauważalne „piki” sił mięśniowych spowodowane wpływem reakcji od
podłoża.
0.5
5000
i
[MPa]
gluteus
gluteus
Fi [N]
vastus (later. medi. intermed.)
0.4
4000
rectus femoris (RF)
H
vastus
0.3
vastus
3000
K
soleus
gluteus
(maximus, medius, minimus)
0.2
0.1
2000
soleus
1000
rec. fem.
rec. fem.
soleus (SOL)
A
0
0
0.2
0.3
0.4
t[s]
0.5
0.6
0.2
0.3
0.4
t [s]
0.5
Rys. 4. Wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej dla wybranych mięśni
kończyny dolnej
2000
6000

[N]
[N]

1500
4000

Ry
1000

Rx
2000
500
0
0
0.2
0.3
0.4
0.5
t [s]
0.6
0.2
0.3
0.4
0.5
t [s]
0.6
Rys 5. Przebiegi reakcji od podłoża (pomiar) na tle wyznaczonych reakcji w stawie
skokowym oraz kolanowym
0.6
WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W STAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ…
55
Siły rozwijane w mięśniach nie tylko generują momenty sił w stawach wymagane do
realizacji badanego ruchu, wpływają one również na wartości sił reakcji w stawach. Na rys. 5
przedstawiono obliczone przebiegi reakcji w stawie skokowym oraz kolanowym na tle reakcji
od podłoża zmierzonych na platformie dynamometrycznej, odpowiednio składowe poziome
oraz pionowe. Jak łatwo zauważyć, w rozpatrywanym przypadku reakcje w stawach są
kilkukrotnie większe niż siły reakcji od podłoża na stopę. Przyczyną tego wzrostu jest
działanie sił mięśniowych, które zawsze wpływają na poziom obciążeń wewnętrznych [3].
4. WNIOSKI
Dla rozpatrywanego w pracy modelu kończyny dolnej wydzielonej z ciała człowieka
danymi wejściowymi dla rozwiązania zadania symulacji dynamicznej odwrotnej muszą być,
oprócz charakterystyk kinematycznych badanego ruchu, również zmierzone siły reakcji
działające na stopę. Możliwe jest wówczas efektywne wyznaczenie przebiegu sił
mięśniowych oraz reakcji w stawach kończyny dolnej bez uwzględniania dynamiki ruchu
całego ciała. Brak znajomości reakcji od podłoża wymusza stosowanie modelu całego ciała
człowieka, umożliwiającego obliczenie reakcji zewnętrznych metodami symulacji
dynamicznej odwrotnej [7], co jest procesem bardziej pracochłonnym i „zbędnym”
w przypadku analizy skoncentrowanej wyłącznie na obciążeniach kończyny dolnej.
Zaproponowany model może być łatwo adaptowany również w kończynie górnej, zaczepionej
w poruszającym się znanym ruchem stawie barkowym [6], przy uwzględnieniu adekwatnego
modelu
działających tam sił mięśniowych. Zaletą zaproponowanego modelu
matematycznego jest jego prostota oraz efektywność.
LITERATURA
1. Zatsiorsky V.M.: Kinetics of human motion. Human Kinetics,2002.
2. Winter D.A.: Biomechanics and motor control of human movement. New York: John
Wiley & Sons, 2005.
3. Yamaguchi G.T.: Dynamic modeling of musculoskeletal motion. Kluwer 2001.
4. Tejszerska D., Świtoński E., Gzik M.: Biomechanika narządu ruchu człowieka. Radom:
Wyd. Nauk. ITE-PIB, 2011.
5. Blajer W.: Metody dynamiki układów wieloczłonowych. Radom: Wyd. Pol. Radomskiej,
1998.
6. Blajer W., Czaplicki A., Dziewiecki K., Mazur Z.: Influence of selected modeling and
computational issues on muscle force estimates. “Multibody System Dynamics” 2010, 24,
p. 473-492.
7. Blajer W.: Problemy dynamiki w biomechanice. W: „Mechanika techniczna” pod red. R.
Będzińskiego, t. XII: Biomechanika. Cz. V. Warszawa: Komitet Mechaniki PAN, IPPT
PAN, 2011, s. 364 – 484.
8. Dziewiecki K. Mazur Z., Blajer W.: Uwagi o sposobach obróbki danych kinematycznych
dla zadań symulacji dynamicznej odwrotnej układów biomechanicznych. „Aktualne
Problemy Biomechaniki” 2011, nr 5, s. 89-94.
9. Roy R.R, Edgerton V.R.: Skeletal muscle architecture and performance. In: P.V. Komi
(ed.) “ Strength and Power in Sport”. Blackwell 1991, p. 115-129.
56
K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER
DETERMINATION OF MUSCLE FORCES AND JOINT
REACTIONS IN LOWER LIMB DURING ONE-LEG JUMP
Summary. The paper developes an effective method for the determination of
muscle forces and joint reaction forces in the lower limb, developed as the inverse
dynamics simulation during one-leg jump composed as a sequence of a short
flight phase (hurdle from one leg to another), one-leg contact phase with the
ground (landing and take-off), and another flight phase (ballistic flight after the
take-off). The main steps of the developed formulation are shortly presented, and
selected simulation results of the sample movement are reported.
Publikacja jest wynikiem pracy naukowej finansowanej przez Ministerstwo Nauki
i Szkolnictwa Wyższego ze środków na naukę na rok 2011 jako projekt badawczy
Nr 2917/23/M.