Rozdziaª 7 METODA FUNKCJI GREENA

Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
1
Rozdziaª 7
METODA FUNKCJI GREENA
Do rozwi¡zywaniem problemów z warunkami brzegowymi cz¦sto u»ywana
jest metoda funkcji Greena. Rozwa»my jako przykªad równanie Poissona dla
l > 0. Potencjaª Φ(r) wyznaczamy za pomoc¡ funkcji pomocniczej ϕ(r) jako
Φ(r) =
ϕ(r)
.
r
(7.1)
Równanie Poissona dla funkcji pomocniczej ϕ przy l > 0 ma posta¢
d2 ϕ l(l + 1)
r%
+
ϕ=− .
2
2
dr
r
ε0
(7.2)
Rozwi¡zaniami równania jednorodnego
s¡ funkcje
d2 ϕ l(l + 1)
+
ϕ=0
dr2
r2
(7.3)
ϕ1 (r) = C1 rl+1 ,
(7.4)
ϕ2 (r) = C2 r−l .
(7.5)
Funkcje ϕ1 i ϕ2 posiadaj¡ ró»ne zachowania graniczne dla r −→ 0 oraz
r −→ ∞.
Rozwi¡»emy problem (7.2) metod¡ funkcji Greena. W przypadku ogólnym za pomoc¡ funkcji Greena mo»na rozwi¡za¢ równanie niejednorodne o
postaci
d2 y
+ g(x)y = S(x) .
(7.6)
dx2
Odpowiednie równanie jednorodne ma posta¢
d2 y
+ g(x)y = 0 .
dx2
(7.7)
2
Rozdziaª 7. Metoda funkcji Greena
Funkcja Greena G(x, x0 ) speªnia równanie
"
#
d2
+ g(x) G(x, x0 ) = δ(x − x0 ) .
dx2
(7.8)
Równanie niejednorodne (7.6) mo»na przedstawi¢ w ogólnej postaci
(7.9)
Ly = S(x) ,
gdzie L jest operatorem
d2
+ g(x) .
dx2
Przyjmujemy warunki brzegowe dla równania (7.9) w postaci
L=
(7.10)
y(0) = 0 ,
(7.11)
y(x −→ ∞) −→ 0 .
(7.12)
Rozwi¡zaniem szczególnym równania (7.9) jest funkcja
y(x) =
Z ∞
0
dx0 G(x, x0 )S(x0 ) ,
(7.13)
co mo»na sprawdzi¢ bezpo±rednim rachunkiem.
W celu wyznaczenia zgodnie z formuª¡ (7.13) rozwi¡zania równania (7.9)
musimy zna¢ funkcj¦ Greena. U»yteczna formuªa do obliczania funkcji Greena ma posta¢
(
0
G(x, x ) =
y1 (x0 )y2 (x) dla x > x0 ,
y1 (x)y2 (x0 ) dla x < x0 ,
(7.14)
gdzie y1 (x) i y2 (x) s¡ niezale»nymi liniowo rozwi¡zaniami równania jednorodnego (7.7). Rozwi¡zanie szczególne równania niejednorodnego (7.6) ma
posta¢
y(x) = y2 (x)
Z x
0
+y1 (x)
dx0 y1 (x0 )S(x0 )
Z ∞
x
dx0 y2 (x0 )S(x0 ) .
(7.15)
Natomiast rozwi¡zanie ogólne równania niejednorodnego (7.6) jest sum¡ ogólnego rozwi¡zania równania jednorodnego (7.7) i szczególnego rozwi¡zania
danego wzorem (7.13), czyli
y(x) = Ay1 (x) + By2 (x) +
Z ∞
0
dx0 G(x, x0 )S(x0 ) ,
(7.16)
gdzie A i B s¡ dwoma staªymi, które mo»na wyznaczy¢ z warunków brzegowych. W ogólnym przypadku rozwi¡zania równania jednorodnego y1 i y2
mo»na uzyska¢ caªkuj¡c numerycznie za pomoc¡ metody Numerova równanie
(7.7) z wykorzystaniem warunków brzegowych.