Arkusz 7

Zastosowanie całek podwójnych i potrójnych w fizyce
1. W poniższych podpunktach obliczyć mase zbioru D i jego środek cieżkości
(środek masy zbioru), gdy:
(i) D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 R2 } , ρ(x, y) = x + R,
(ii) D jest dowolnym zbiorem, a ρ jest funkcja stała w D (mówimy wtedy, że masa jest rozłożona w sposób
jednorodny),
(iii) D = {(x, y) ∈ R2 : |y| f (x), a x b} , gdzie f : a, b → 0, +∞) jest funkcja ciagł
a w a, b , a ρ
jest funkcja stała,
(iv) D jest ograniczony krzywymi x = 0, y = 0, x + y = 2, a gęstość ρ(x, y) = xy,
(v) D jest zbiorem ograniczonym krzywymi ay = x2 , x + y = 2a, a > 0, a ρ = const.
musi leżeć na tej osi.
2. Wykazać, że jeśli figura ma oś symetrii, to jej środek cieżkości
3. Obliczyć momenty statyczne:
ρ(x, y) = c,
(i) półkola D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 R2 y 0} o stałej gestości
(ii) jednorodnego trójkąta równobocznego o boku a i masie M (moment statyczny obliczyć względem podstawy trójkąta),
(iii) kwadratu D = (x, y) ∈ R2 : − 12 a x 12 a, 0 y a obłożonego masa o gestości
√
ρ(x, y) = k x2 + y 2 , k > 0.
4. Obliczyć momnety bezwładności (względem obu osi układu oraz względem punktu (0, 0)) podanych zbiorów:
(i) D = {(x, y) ∈ R2 : 0 y f (x), a x b} , gdzie f jest funkcja ciagł
a i nieujemna w przedziale a, b ,
a ρ jest funkcja stała,
ρ,
(ii) D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 R2 y 0} o stałej gestości
(iii) D = −a, a × −b, b , ρ(x, y) = |xy|,
(iv) D jest cienką jednorodną tarczą w kształcie koła o promieniu R i masie M (moment bezwładności obliczyć względem osi tarczy, która jest do niej prostopadła).
5. Obliczyć energię kinetyczną cienkiej jednorodnej tarczy kołowej o masie M i promieniu R, która obraca się z prędkością kątową ω wokół osi przechodzącej przez środek koła i prostopadłej do niej.
torusa, który powstał z obrotu koła (z − a)2 + (x − b)2 r 2
6. Obliczyć (stosując I regułę Guldina) objetość
dookoła osi Ox.
bryły powstałej z obrotu zbioru D dookoła osi x, je7. Znaleźć (za pomocą I reguły Guldina) objetość
śli D jest:
x,
(i) zbiorem ograniczonym parabola y 2 = 2px, osia x i odcinkiem pionowym o odcietej
(ii) zbiorem ograniczonym ćwiartka elispy
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Arkusz 1
8. Stosujac
bryły powstałej z obrotu dookoła osi x
I regułe Guldina obliczyć objetość
x,
(i) zbioru ograniczonego parabola y 2 = 2px, osia x i odcinkiem pionowym o odcietej
(ii) zbioru ograniczonego ćwiartka elispy
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
9. Wykorzystując I regułę Guldina obliczyć położenie środków ciężkości podanych figur jednorodnych:
(i) półkole o promieniu R,
(ii) trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a, b.
acych
10. Obliczyć (stosując II regułę Guldina) pole powierzchni bryły powstałej z obrotu łuku nastepuj
krzywych dookoła osi Ox:
(i) paraboli y 2 = 4x, x ∈ [0, 3],
(ii) cykloidy x = a(t − sint), y = a(1 − cost), a > 0, t ∈ [0, 2π],
(iii) elipsy,
(iv) asteroidy x = acos3 t, y = asin3 t, a > 0, t ∈ [0, π],
√
(v) y = 2rx − x2 , x ∈ [0, 2],
√
(vi) hiperboli x2 − y 2 = a2 , a > 0, x ∈ [0, a 2].
11. Obliczyć pole powierzchni bocznej stożka o tworzącej l i promieniu podstawy r.
12. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu okręgu o promieniu r wokół prostej leżącej w płaszczyźnie
okręgu, jeżeli odległość środka okręgu od osi obrotu wynosi R, R > r (torus).
13. Wykorzystując II regułę Guldina, znaleźć położenie środka ciężkości podanych krzywych jednorodnych:
(i) brzeg ćwiartki koła o promieniu R,
(ii) brzeg trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h.
gdy:
14. Obliczyć mase zbioru U i jego środek cieżkości,
(i) U jest ograniczony powierzchniami 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1, jeśli γ(x, y, z) = x + y + z,
(ii) U jest dowolnym zbiorem, a γ jest funkcja stała w V ,
(iii) U = (x, y, z) ∈ R3 :
(iv) U = (x, y, z) ∈ R3 :
x2
a2
x2
a2
+
+
y2
b2
y2
b2
+
+
z2
c2
z2
c2
< 1, x, y, z > 0 , γ = const,
< 1, x > 0 , γ = 1 − xa ,
(v) U jest kulą o promieniu R, a gęstość masy w odległości r od środka kuli wynosi r 2 .
acych
przypadkach:
15. Obliczyć momenty statyczne bryły U w nastepuj
(i) U jest ograniczona paraboloida obrotowa z = − R1 (x2 + y 2), płaszczyzna z = 0 i walcem x2 + y 2 = R2 , a
ρ = const,
masy γ(x, y, z) = kz, k > 0
(ii) U jest walcem U = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < R2 , 0 < z < w} o gestości
(obliczyć tylko MSxy ).
Arkusz 2
16. Obliczyć momenty bezwładności:
kuli U = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < R2 , x, y, z > 0} o masie m,
(i) jednorodnej ósmej cześci
γ(x, y, z) =
(ii) ostrosłupa U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z < a, x, y, z > 0} , a > 0, obłożonego masa o gestości
a − (x + y + z).
17. Jednorodny bąk o masie M ma kształ stożka o wysokości H i promieniu R. Obliczyć moment bezwładności tego bąka względem jego wierzchołka.
18. Obliczyć energię potencjalną jednorodnej kuli o masie M i promieniu R, której środek jest położony
w odległości H od powierzchni Ziemi.
Arkusz 3