Przykładowe zadania na kolokwium/egzamin
Transkrypt
Przykładowe zadania na kolokwium/egzamin
Kolokwium zaliczeniowe/egzamin Przykładowe zadania 1. Zbadać zbieżność szeregu ∞ X n2n + 1 n=1 n3n + 1 . ∞ r X 2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n=1 n2 n (1 − x)n . +1 3. Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f (17) (0), f (18) (0), jeżeli f (x) = x2 / 3x2 − 2 . 4. (a) Napisać równanie płaszczyny stycznej do powierzchni (x + 2)2 + (y − 3)2 + z 2 = 6 w punkcie (0, 2, −1). (b) Na powierzchni z = y ln 1 + x + y 2 znaleźć taki punkt, aby płaszczyzna styczna do tej powierzchni w tym punkcie była równoległa do płaszczyzny z − y ln 2 = 0. √ x 5. (a) Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f (x) = w kieruny √ √ 2/2, 2/2 przyjmuje wartość 0. ku wersora √ √ (b) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = ex x + y 2 w punkcie 0, 2 + 2 w kierunku wersora ~ v tworzącego kąt π/4 z dodatnim zwrotem osi Ox. W którym z ośmiu geo- graficznych kierunków: N, W, S, E, NW, NE, SW, SE szybkość wzrostu funkcji f od punktu √ 0, 2 + 2 jest największa? Uwaga. N-północ, W-zachód, S-południe, E-wschód. √ 6. (a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x − y x + y 2 − 3y. (b) Znaleźć wartości najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = x2 − y 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (4, 0), (0, 4). 7. (a) Zmienić kolejność całkowania w całce Z2 Z1 dy 0 −2+ f (x, y) dx. Naszkicować obszar całko- √ 2y−y 2 wania. 1 1 + 2 dxdy, jeżeli obszar D jest ograniczony krzywą (b) Obliczyć całkę podwójną 2 x y D √ x = y 2 + 1 i prostymi y = x, y = 1 i y = 3. Naszkicować obszar całkowania. ZZ 8. Obliczyć całkę ZZ D y dxdy 2 2 2 3 , gdzie D = (x, y) ∈ R : 1 ¬ x + y ¬ 9, y ¬ 0 . 2 2 (x + y ) 9. (a) Obliczyć objętość tej części kuli x2 + y 2 + z 2 ¬ 1, która zawarta jest wewnątrz sfery x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1. Sporządzić rysunek. (b) Obliczyć pole części powierzchni sfery x2 + y 2 + z 2 = 3 leżącej wewnątrz paraboloidy 2z = x2 + y 2 . Sporządzić rysunek.