Elementy teorii gier, Matematyka WPPT semestr zimowy 2013/2014

Elementy teorii gier, Matematyka WPPT
semestr zimowy 2013/2014
VII lista zadań
1. Rozważ następującą grę kooperacyjną trzech graczy: Gracz 1. chce sprzedać dom, który
wycenia na 1 mln PLN. Gracze 2. i 3. są chętni na zakup domu, który wyceniają na 2 mln.
i każdy z nich dysponuje tą kwotą. Wartość koalicji określona jest w następujący sposób –
jeśli zawiązą koalicję gracze 1. i dowolny (dowolni) z graczy 2. i 3., dom zostaje sprzedany, a
wartością koalicji jest ilość gotówki posiadanej w sumie przez obu (wszystkich trzech) graczy
plus wartość domu dla tego, który go kupił. Podobnie, jeśli zawiązała się koalicja, która nie
dokona transakcji, wartością koalicji jest suma gotówki, którą posiadają plus (jeśli w koalicji
jest 1. gracz) wartość, na jaką on wycenia ten dom.
(a)
(b)
(c)
(d)
Przedstaw powyższą grę w postaci funkcji charakterystycznej.
Znajdź rdzeń dla tej gry.
Pokaż, że rdzeń nie jest zbiorem stabilnym.
Pokaż, że w grze istnieje nieskończenie wiele zbiorów stabilnych postaci
Vα = {x ∈ R3 : x jest imputacją i x2 − 2 = α(x3 − 2)},
gdzie α jest pewną stałą dodatnią.
2. Udowodnij, że w dowolnej grze kooperacyjnej, jeśli ma ona niepusty rdzeń oraz co najmniej
jeden zbiór stabilny, to rdzeń jest zawarty w każdym zbiorze stabilnym.
3. Pokaż, że w dowolnej grze głosowania z wagami zachodzi jedna z dwóch możliwości:
• Istnieje gracz, który znajduje się w każdej koalicji wygrywającej (oznaczmy go literką a).
Wtedy rdzeń tej gry jest jednoelementowy, a jego jedyny element jest postaci: xa = 1,
xi = 0 dla i 6= a.
• Taki gracz nie istnieje. Wtedy rdzeń jest pusty.
4. Niech v będzie grą głosowania 4 graczy z wagami
(a) w1 = 1.01, w2 = 2, w3 = 2, w4 = 5,
(b) w1 = 0.99, w2 = 2, w3 = 2, w4 = 5.
Oblicz wartość Shapleya dla tej gry.
5. W pewnej organizacji międzynarodowej decyzje są podejmowane podwójną większością (tzn.
do podjęcia decyzji potrzebna jest zgoda większości państw reprezentujących jednocześnie
większość ludności). Oblicz dla tej gry wartość Shapleya przy założeniu, że do tej organizacji
należy pięć państw: A z 80 mln. ludności, B z 50 mln., C z 30 mln., D z 20 mln. i E z 10
mln.
6. Decyzje w pewnej partii podejmowane są przez pięcioosobowe prezydium w składzie: Prezes
(Gracz 1.), dwaj Członkowie prezydium (Gracze 2. i 3.) oraz dwóch Zastępców członka
(Gracze 4. i 5.) w następujący sposób: przeprowadzane jest głosowanie, do którego wygrania
potrzebna jest większość głosów, przy czym Prezes i Członkowie dysponują każdy po jednym
głosie, a Zastępcy członka mają głos tylko, jeśli popierają Prezesa (oczywiście nie muszą go
popierać naraz – jeśli popiera Prezesa tylko jeden, to tylko on dostaje głos). Oblicz wartość
Shapleya dla takiej gry.
7. Niech gra v będzie określona następująco: v(∅) = 0, v({a}) = v({b}) = 1, v({c}) =
v({a, b}) = 2, v({a, c}) = v({b, c}) = 4, v({a, b, c}) = 5.
(a) Znajdź rdzeń w tej grze.
(b) Oblicz wartość Shapleya dla tej gry.
(c) Czy wartość Shapleya należy do rdzenia?