Permutacje Wariacje Kombinacje bez powtórzeń z powtórzeniami

Permutacje
Wariacje
Kombinacje
bez powtórzeń
Niech dany będzie skończony zbiór
o ݊ różnych elementach.
Permutacją ݊ różnych elementów
nazywamy każdy ciąg ݊-wyrazowy
utworzony ze wszystkich elementów
danego zbioru.
Zatem permutacja zbioru jest
„ustawieniem” wszystkich elementów
zbioru w ciąg.
Liczba permutacji zbioru ݊-elementowego
wyraża się wzorem:
Niech dany będzie zbiór ܼ o ݊ różnych elementach.
Gdy z pewnego zbioru wybierzemy ݇ różnych
elementów i ustawimy je w pewnej kolejności,
to utworzyliśmy ݇ −elementową wariację bez
powtórzeń elementów tego zbioru.
Liczba ݇ −elementowych wariacji bez powtórzeń
ze zbioru ݊ −elementowego wynosi:
ࢂ࢑࢔ =
ࡼ࢔ = ࢔!
•
Dwie permutacje tego samego zbioru
różnią się między sobą tylko
kolejnością elementów.
•
•
•
Permutacje stosujemy, gdy np.:
•
przestawiamy litery w wyrazie
różnoliterowym,
•
ustawiamy osoby w szeregu lub
sadzamy je w kółko,
•
przestawiamy cyfry w liczbie,
uwzględniając pewne warunki.
Przykładowe zadania:
Na ile sposobów można przydzielić 7 torów
bieżni siedmiu lekkoatletom?
z powtórzeniami
Niech dany będzie zbiór ܼ o ݊ różnych
elementach.
Gdy utworzymy ݇ −elementowy ciąg
składający się z elementów pewnego zbioru
(wyrazy ciągu mogą się powtarzać), to
utworzyliśmy ݇ −elementową wariację
z powtórzeniami elementów tego zbioru.
Liczba wszystkich ݇ −elementowych wariacji
z powtórzeniami ze zbioru ݊ −elementowego
wynosi:
࢔!
ሺ࢔ − ࢑ሻ!
Kolejność elementów jest istotna.
Wariacja ݇ −elementowa bez powtórzeń jest
ciągiem, w którym wyrazy nie mogą się
powtarzać.
Wariacja bez powtórzeń jest „odpowiednikiem”
losowania bez zwracania.
Wariacje bez powtórzeń stosujemy gdy, np.:
•
ze zbioru różnych cyfr wybieramy bez zwracania,
np.: cztery różne cyfry, i tworzymy z nich liczby
czterocyfrowe,
•
ze zbioru różnych liter - np. pięciu – tworzymy
wyraz, np.: pięcioliterowe,
•
każdy z pasażerów windy (autobusu, pociągu itd.)
wysiądzie lub wsiądzie na innym piętrze
(przystanku, stacji),
•
każda z wybranych osób obchodzi urodziny
innego dnia,
•
rzucamy kostkami do gry i na każdej z nich
oczekujemy innej liczby oczek.
W jednej gonitwie konnej bierze udział 10 koni. Na ile
sposobów można obstawić pierwszą trójkę na mecie?
Zwrócić uwagę! Ważne, który koń ma 1, 2 i 3 miejsce.
ࢃ࢑࢔ = ࢔࢑
•
•
Kolejność elementów jest istotna.
Wariacja ݇ −elementowa
z powtórzeniami jest ciągiem, w którym
wyrazy mogą się powtarzać, ale nie
muszą.
•
Wariacja z powtórzeniami, to efekt
losowania ze zwracaniem.
Wariacje z powtórzeniami stosujemy gdy, np.:
•
rzucamy kilkoma monetami (kostkami) i
wyniki rzutów zapisujemy,
•
pasażerowie wsiadają (lub wysiadają) na
piętrach do windy (lub na, przystankach,
stacjach),
•
przyporządkowujemy pewnej grupie osób
dni urodzin (datę urodzin).
Ile wyników można otrzymać przy dwukrotnym
rzucie monetą?
Kombinacją ݇ −elementową spośród ݊ elementów
nazywamy każdy podzbiór ݇-elementowy utworzony
z ݊-elementowego zbioru, gdzie 0 ≤ ݇ ≤ ݊.
Tzn.
Jeśli wybieramy ࢑ spośród ࢔ danych elementów,
to każdy otrzymany w ten sposób zbiór nazywamy
࢑ −elementową kombinacją ze zbioru
࢔ −elementowego.
Jeżeli ݊ ∈ ܰା , ݇ ∈ ݊ ݅ ݇ ≤ ݊, to liczba różnych
kombinacji ݇ −elementowych spośród ݊ elementów
wyraża się wzorem:
࢔
࢔!
࡯࢑࢔ = ቀ ቁ =
࢑
࢑! ∙ ሺ࢔ − ࢑ሻ!
•
•
Kolejność elementów nie jest istotna.
Liczbę ozn. symbolem ൫࢔࢑൯ nazywamy symbolem
Newtona, czytamy „n po k”.
Kombinacje stosujemy, gdy np.:
•
losujemy (wyjmujemy) kule z pudełka, urny itd.
•
losujemy zestaw pytań,
•
losujemy, wyjmujemy karty z tali kart,
•
wybieramy spośród grupy osób, np. do delegacji,
przedstawicieli, itd.
•
wyciągamy losy na loterii,
•
losujemy, wyjmujemy wybory (dobre lub złe)
z pewnej partii towaru.
Na obozie jest 15 uczniów. Na ile różnych sposobów
można wybrać spośród uczniów cztery osoby dyżurujące
w kuchni?