Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Transkrypt
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Marek Skarupski Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała się z tworzącą stożka. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Czym jest parabola? Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne. Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich odległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Czym jest parabola? Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne. Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich odległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie: {P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)} Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Czym jest parabola? Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne. Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich odległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie: {P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)} Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P. Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołek paraboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P. Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołek paraboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli: m = 1. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Równanie kanoniczne paraboli Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownica jest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niech dany będzie wierzchołek paraboli W = (x0 , y0 ). Wtedy równanie kanoniczne paraboli ma postać (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola (1) Równanie kanoniczne paraboli Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownica jest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niech dany będzie wierzchołek paraboli W = (x0 , y0 ). Wtedy równanie kanoniczne paraboli ma postać (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) (1) W drugim wypadku dostajemy: (x − x0 )2 = 2p(y − y0 ). Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola (2) Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one dane jako: x = x0 + pt 2 , y = y0 + 2pt (3) Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one dane jako: x = x0 + pt 2 , y = y0 + 2pt (3) W drugim zaś jako: x = x0 + 2pt, y = y0 + pt 2 Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola (4) Równanie w postaci biegunowej Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe paraboli ma postać: p (5) ρ= 1 + cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Równanie w postaci biegunowej Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe paraboli ma postać: p (5) ρ= 1 + cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Kierownice i ogniska paraboli Jeśli parabola jest postaci (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) to jej kierownica i wierzchołek dane są: k : x = x0 − Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola p , 2 W = (x0 , 0) Kierownice i ogniska paraboli Jeśli parabola jest postaci (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) to jej kierownica i wierzchołek dane są: k : x = x0 − p , 2 W = (x0 , 0) Jeśli parabola jest postaci (x − x0 )2 = 2p(y − y0 ) to jej kierownica i wierzchołek dane są: k : y = y0 − Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola p , 2 W = (0, y0 ) Równanie stycznej do paraboli Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi OX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać: (y1 − y0 )(y − y0 ) =p (x1 − x0 ) + (x − x0 ) Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Równanie stycznej do paraboli Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi OX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać: (y1 − y0 )(y − y0 ) =p (x1 − x0 ) + (x − x0 ) Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi OY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać: (x1 − x0 )(x − x0 ) =p (y1 − y0 ) + (y − y0 ) Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek. KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek. KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części. KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek. KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części. KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Kreślenie paraboli KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe linie podziału. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Kreślenie paraboli KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe linie podziału. KROK V: Punkty przecięcia prostych przechodzących przez punkty o tych samych numerach to punkty przejścia paraboli. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Podziękowania Dziękuję za uwagę Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola