wektory i tłumaczenie

Prof. dr hab. Adam Kiejna
Fizyka fazy skondensowanej I‫‏‬
Wykład dla 3. roku fizyki
Semestr zimowy 2016/17 (30 godz.)
Wykład 1
Plan‫‏‬wykładu
•
Struktura‫‏‬kryształów:‫‏‬komórka‫‏‬prymitywna,‫‏‬sieć,‫‏‬baza,‫‏‬struktura,‫‏‬rola‫‏‬symetrii,‫‏‬
sieci‫‏‬Bravais’ego,‫‏‬wskaźniki‫‏‬Millera,‫‏‬podstawowe‫‏‬struktury‫‏‬krystaliczne.
•
Sieć‫‏‬odwrotna:‫‏‬dyfrakcja‫‏‬fal‫‏‬na‫‏‬kryształach,‫‏‬sieć‫‏‬odwrotna,‫‏‬warunki‫‏‬dyfrakcji‫‏‬
Bragga i Lauego, strefy Brillouina.
•
Wiązania‫‏‬chemiczne‫‏‬w‫‏‬kryształach:‫‏‬wiązanie‫‏‬kowalencyjne,‫‏‬jonowe,‫‏‬
metaliczne, wodorowe, van der Waalsa.
•
Drgania‫‏‬sieci‫‏‬krystalicznej:‫‏‬drgania‫‏‬sieci‫‏‬jednowymiarowe,‫‏‬sieć‫‏‬dwuatomowa,‫‏‬
fonony,‫‏‬wkład‫‏‬fononów‫‏‬do‫‏‬ciepła‫‏‬właściwego‫‏‬ciał‫‏‬stałych.
•
Gaz‫‏‬elektronów‫‏‬swobodnych:‫‏‬jednowymiarowy,‫‏‏‬3. wymiarowy,
rozkład‫‏‬Fermiego-Diraca,‫‏‬skończone‫‏‬temperatury.‫‏‬
•
Elektrony‫‏‬w‫‏‬polu‫‏‬potencjału‫‏‬okresowego:‫‏‬model‫‏‬prawie‫‏‬swobodnych‫‏‬
elektronów,‫‏‬pasma‫‏‬energetyczne,‫‏‬funkcje‫‏‬Blocha,‫‏‬model‫‏‬Kroniga-Penneya,
metale,‫‏‬półprzewodniki,‫‏‬izolatory.
•
Półprzewodniki.
•
Zjawiska powierzchniowe
2
Podręcznik:
C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego
tłumaczenie angielskiego wydania 7
Uzupełniające:
N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Fizyka ciała stałego
H. Ibach, H. Lüth, Fizyka ciała stałego
Prezentacje wykładów na stronie:
http://www.ifd.uni.wroc.pl/~kiejna/
Egzamin ustny
Konsultacje: środa, godz. 12-13, pokój 374
Fizyka ciała stałego zajmuje się kryształami i elektronami
w kryształach.
Kryształy są zbudowane z periodycznie ułożonych atomów.
Zrozumienie struktury kryształów pozwoliło rozszerzyć
badania na amorficzne lub niekrystaliczne ciała stałe, szkła,
ciecze.
Ta szersza dziedzina badań to fizyka fazy skondensowanej.
Obecnie – bodaj najszersza dziedzina badań fizyki.
5
Y
NaCl
Ba
YBa2Cu3O7
OO
Zeolit
Cu
Fulleren, fcc (a=1,42 nm)
SiO2
6
Uporządkowany kryształ
Amorficzne szkło
Sieci Bravais’ego
Struktura krystaliczna
7
Sieć‫‏‬jest‫‏‬zdefiniowana‫‏‬przez‫‏‬trzy‫‏‬podstawowe‫(‏‬prymitywne)‫‏‬wektory‫‏‬translacji‫‏‬
a1, a2, a3 takie,‫‏‬że‫‏‬ułożenie‫‏‬atomów‫‏‬wygląda‫‏‬identycznie‫‏‬z‫‏‬punktu‫‏‬r i r’
a1
ni – liczby całkowite
a2
ai – prymitywne
Rn
r
wektory translacji
ni
r’
r  r  n1 a1+ n 2 a 2 + n 3 a 3
'
Wektor translacji sieci pozwala przejść z dowolnego położenia w sieci
do położenia identycznego odległego od tego początkowego o całkowitą
wielokrotność wektorów a1, a2, a3
8
T  R n= n1 a1+ n 2 a 2 + n 3 a 3
Wektor translacji sieci:
ni – liczby całkowite
ai – prymitywne
a1
wektory translacji
a2
Rn
r
ni
r’
Wektor translacji sieci pozwala przejść z dowolnego położenia w sieci
do położenia identycznego odległego od tego początkowego o całkowitą
wielokrotność wektorów a1, a2, a3
9
T  R n= n1 a1+ n 2 a 2 + n 3 a 3
Wektor translacji sieci:
ni – liczby całkowite
ai – prymitywne
a1
wektory translacji
a2
Rn
r
ni
r’
•
•
•
Zbiór punktów określonych przez wektor translacji definiuje sieć.
Sieć jest tworem matematycznym.
Zbiór punktów w którym otoczenie, każdego punktu jest takie samo,
jak otoczenie każdego innego punktu otrzymanego w wyniku translacji
nosi nazwę sieci‫‏‬Bravais’ego.
10
Z‫‏‬każdym‫‏‬punktem‫‏‬sieci‫‏‬możemy‫‏‬związać‫‏‬bazę.
Bazę może stanowić pojedynczy atom, ale może też ona składać się
z wielu atomów.
Ich położenie określa wektor bazy:
rj = x j a1+ y j a 2 + z j a 3
gdzie
0  x, y, z 1
Większość sieci w przyrodzie to sieci‫‏‬z‫‏‬bazą, które powstają z umieszczenia
Identycznego zbioru atomów (cząsteczek) w węzłach sieci Bravais’ego.
Sieć‫‏‬przestrzenna
+ Baza
Struktura krystaliczna
12
Sieć‫‏‏‬+‫‏‏‬baza‫‏‏=‏‏‬struktura‫‏‬krystaliczna
Określenie‫‏‬struktury‫‏‬kryształu‫‏‬wymaga:
• Podania typu sieci
• Wyboru prymitywnych‫‏‬wektorów‫‏‬translacji
• Określenia‫‏‬bazy
13
Komórka‫‏‬prymitywna‫‏‬sieci
Komórkę prymitywną sieci tworzą prymitywne wektory translacji
Objętość komórki prymitywnej:
a
c
V = a b  c 
b
Wybór komórki prymitywnej
nie jest jednoznaczny!
Na komórkę prymitywną
przypada tylko jeden
węzeł sieci !
14
Komórka‫‏‬symetryczna‫‏‬Wignera-Seitza
Operacje‫‏‬symetrii‫‏‬pozwalają‫‏‬przekształcić‫‏‬kryształ‫‏‬w‫‏‬samego‫‏‬siebie
Sieć regularna wewnętrznie centrowana
15
Podstawowe typy sieci
• Sieć‫‏‬może‫‏‬być‫‏‬przekształcona‫‏‬w‫‏‬samą‫‏‬siebie‫‏‬dzięki translacjom
oraz innym operacjom symetrii (symetriom punktowym).
• Symetrie punktowe (grupa symetrii): odbicia, obroty, inwersja.
• W‫‏‬kryształach‫‏‬możliwe‫‏‬są‫‏‬tylko 1, 2, 3, 4, i 6 -krotne osie obrotu!
• Translacje‫‏‬+‫‏‬symetrie‫‏‬punktowe‫‏=‏‬grupa‫‏‬przestrzenna‫‏‬kryształu
16
Grupa – zbiór elementów dla których określona jest operacja
zwana mnożeniem, dająca produkt A·B dwóch elementów A i B
Aksjomaty grupy:
1. Produkt dwóch elementów grupy jest elementem grupy:
A·B = C, na ogół A·B ≠ B·A
2. Prawo łączności mnożenia: A·(B·C) = (A·B)·C
3. Istnieje element jednostkowy E taki, że A·E = A
4. Dla każdego elementu A istnieje element odwrotny A-1
taki, że A·A-1=E
17
Grupa‫‏‬przekształceń‫‏‬translacji
W podgrupie wektorów translacji z każdym elementem Rl możemy
skojarzyć operator translacji TRl , który przesuwa argument dowolnej
funkcji do r + Rl
TRl f (r) = f (r + Rl)
Spełnia aksjomaty grupy:
• element jednostkowy: |R0 | = | 0 | = 0
• element odwrotny: - Rl
18
Symetrie punktowe
• Zachowują‫‏‬odległość‫‏‬między‫‏‬punktami
• Przy‫‏‬przekształceniu‫‏‬przynajmniej‫‏‬jeden‫‏‬punkt‫‏‬sieci‫‏‬pozostaje‫‏‬stały
Cn - obroty o kąt 2π/n, gdzie n = 1, 2, 3, 4, 6
σ - odbicia względem płaszczyzny
- prostopadłej do osi symetrii najwyższego rzędu σn
- w której leży oś obrotu σv
Sn – obroty z odbiciem, Sn = Cnσn = σnCn
I = S2 - inwersja, S2 = C2σn
19
Typy sieci 2-wymiarowych
γ
a ≠ b, γ ≠ 90°
a ≠ b, γ = 90°
Prostokątna
Skośna
a = b, γ = 90°
Kwadratowa
γ
a = b, γ ≠ 60°, 90°
Rombowa (prostokątna centrowana)
a = b, γ = 60°
Heksagonalna (trójkątna)
Sieci dwuwymiarowe nie są tworem czysto matematycznym – występują
w naturalny sposób, jako powierzchnie realnych kryształów.
20
Ważne‫‏‬typy‫‏‬sieci‫‏‬3-wymiarowych‫‏‬Bravais’ego‫(‏‬układ‫‏‬regularny)‫‏‬
8 x 1/8 + 1x1 = 2
Regularna
prosta (sc) ‫‏‬
Regularna
przestrzennie
centrowana (bcc)‫‏‬
Umowna‫‏‬komórka
elementarna (fcc)‫‏‬
8 x 1/8 + 6x1/2 = 4
Regularna‫‏‬płasko
centrowana (fcc)‫‏‬
Komórka
prymitywna (fcc)
21
Umowna‫‏‬komórka‫‏‬elementarna‫(‏‬nie‫‏‬prymitywna)‫–‏‬
minimalna‫‏‬objętość‫‏‬kryształu‫(‏‬zawierająca‫‏‬kilka‫‏‬atomów),‫‏‬
która‫‏‬posiada‫‏‬pełną‫‏‬symetrię‫‏‬grupy‫‏‬symetrii‫‏‬kryształu,‫‏‬
odtwarzająca‫‏‬cały‫‏‬kryształ‫‏‬przy‫‏‬jej‫‏‬powtarzaniu.‫‏‏‬
Ważne‫‏‬typy‫‏‬sieci‫‏‬3-wymiarowych‫‏‬Bravais’ego
Regularna przestrzennie centrowana
Regularna płasko centrowana
Heksagonalna
23
14 typów‫‏‬sieci‫‏‬3-wymiarowych‫‏‬Bravais’ego
liczba sieci
Regularny
3
a1  a2  a3 ,       90
Tetragonalny
2
a1  a2  a3 ,       90
Ortorombowy
4
a1  a2  a3 ,       90
Trygonalny
1
a1  a2  a3 ,       120  90
Heksagonalny
1
a1  a2  a3 ,     90 ,   120
Jednoskośny
2

a1  a2  a3 ,     90  
Trójskośny
1
a1  a2  a3 ,     
25
Metale‫‏‬krystalizują‫‏‬w‫‏‬trzech‫‏‬
gęsto‫‏‬upakowanych strukturach
hcp
Gęstość upakowania:
fcc
bcc
Objętość zajmowana przez atomy
Objętość komórki
26
Struktury‫‏‬najgęściej‫‏‬upakowane
Regularna‫‏‬płasko
centrowana (fcc)‫‏‬
Heksagonalna‫‏‬gęsto‫‏‬
upakowana (hcp)‫‏‬
27
Podstawowe struktury krystaliczne
NaCl‫(‏‬sól‫‏‬kuchenna)‫‏‬
Stała sieci (Å)
---------------------LiH
4,08
MgO
4,20
MnO
4,43
NaCl
5,63
Sieć fcc dekorowana bazą
składającą się z jonów Na
w początku układu i Cl w a/2
28
Podstawowe struktury krystaliczne
CsCl (chlorek cezu)‫‏‬
Stała sieci (Å)
------------------------BeCu
2,70
AlNi
2,88
CuZn
2,94
CuPd
2,99
AgMg
3,28
CsCl
4,11
------------------------Sieć regularna prosta z bazą:
Cs w początku układu i Cl w a/2
Podobna do bcc – ale inna, bo centralny atom inny niż te w narożach.
29
Podstawowe struktury krystaliczne
Heksagonalna‫‏‬gęstego‫‏‬upakowania‫(‏‬hcp)‫‏‬
Prosta heksagonalna sieć Bravais’ego
z bazą dwuatomową: (0,0,0); (a/3,a/3,c/2)
c/a
--------------------idealna 1,633
Be
1,581
Mg
1,623
Ti
1,586
Zn
1,861
Cd
1,886
Gd
1,592
---------------------Gęstość upakowania ≈ 0,74
c = a √8/3
30
Podstawowe struktury krystaliczne
Struktura diamentu
Sieć fcc dekorowana przez
2-atomową bazę: jeden atom
w początku układu, drugi w
a(1/4,1/4,1/4)
Stała sieci (Å)
--------------------C
3,56
Si
5,43
Ge
5,65
Sn
6,46
31
Podstawowe struktury krystaliczne
Struktura blendy cynkowej (ZnS)‫‏‬
Stała sieci (Å)
------------------------CuF
4,26
SiC
4,35
CuCl
5,41
ZnS
5,41
GaAs
5,65
Podobna do struktury diamentu
ale atomy bazy są różnego rodzaju.
32
Liczba‫‏‬koordynacyjna‫‏‬i‫‏‬wielościan‫‏‬koordynacyjny
Liczba koordynacyjna – liczba‫‏‬najbliższych‫‏‬sąsiadów‫‏‬atomu‫‏‬w‫‏‬danym‫‏‬
typie sieci.
Płaszczyzny symetralne odcinków łączących najbliższych sąsiadów wyznaczają
krawędzie wielościanu koordynacyjnego.
Struktura
Liczba
koordynacyjna
Wielościan‫‏‬
koordynacyjny
Heksagonalna pł.
3
Trójkąt
Diament i ZnS
4
sc i NaCl
6
bcc i CsCl
8
Sześcian
fcc
12
Oktaedr kubiczny
hcp
12
Dziesięciościan
rombowy
Tetraedr
(czworościan)
Oktaedr
(ośmiościan)
33
Podsumowanie
• Sieć‫‏‬tworzy‫‏‬matryca‫‏‬punktów‫‏‬związanych‫‏‬ze‫‏‬sobą‫‏‬wektorem‫‏‬
translacji sieci: R n= n1 a 1+ n 2 a 2 + n 3 a 3
• Kryształ‫(‏‬struktura‫‏‬krystaliczna)‫‏‬składa‫‏‬się‫‏‬z‫‏‬punktów‫‏‬sieci‫‏‬
dekorowanych‫‏‬przez‫‏‬bazę‫‏‬złożoną‫‏‬z‫‏‬s atomów‫‏‬w‫‏‬położeniach
rj = x j a1+ y j a 2 + z j a 3 ,
0  x, y, z 1.
• Każdy‫‏‬punkt‫‏‬sieci‫‏‬Bravais’ego‫‏‬posiada‫‏‬identyczne‫‏‬otoczenie.‫‏‬
Atomy bazy niekoniecznie!
• Symetria ma zasadnicze znaczenie dla klasyfikacji struktur.
• Komórki‫‏‬elementarne‫(‏‬prymitywne,‫‏‬umowne,‫‏‬Wignera-Seitza)
wypełniają‫‏‬całą‫‏‬objętość‫‏‬kryształu‫‏‬przez‫‏‬powtarzanie.‫‏‬
• Atomy‫‏‬w‫‏‬danej‫‏‬strukturze‫‏‬posiadają‫‏‬charakterystyczne‫‏‬liczby‫‏‬
koordynacyjne‫‏‬i‫‏‬wielościany‫‏‬koordynacyjne.
34