Instytut Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
38, s. 205-212, Gliwice 2009
ISSN 1896-771X
DRGANIA SWOBODNE KOLUMN O OPTYMALNYM KSZTAŁCIE
ZE WZGLĘDU NA WARTOŚĆ OBCIĄŻENIA KRYTYCZNEGO
PODDANYCH OBCIĄŻENIU EULEROWSKIEMU
JANUSZ SZMIDLA, ANNA WAWSZCZAK
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
e-mail: [email protected]
Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej, Politechnika Częstochowska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy prezentuje się badania teoretyczne i numeryczne dotyczące
drgań
swobodnych
kolumn
poddanych
obciążeniu
eulerowskiemu.
W rozważaniach uwzględnia się zmienną sztywność na zginanie układów oraz
sprężystość węzła konstrukcyjnego, modelującego sposób zamocowania kolumn.
Przeprowadza się analizę teoretyczną dotyczącą geometrii układów oraz
sformułowania warunków brzegowych. Przebieg częstości drgań własnych
wyznacza się dla rozkładu sztywności na zginanie kolumn, przy którym uzyskuje
się maksymalne wartości obciążenia krytycznego.
1. WSTĘP
Smukłe układy sprężyste charakteryzuje określony przebieg krzywych częstości drgań
własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego. W zależności od sposobu utraty stateczności
oraz charakteru zmian częstości drgań własnych wyróżnić można układy typu
dywergencyjnego, flatterowego oraz dywergencyjnego pseudoflatterowego (por.[1]). Istnieją
jeszcze układy hybrydowe, które łączą cechy układu typu dywergencyjnego oraz flatterowego.
W przypadku obciążenia eulerowskiego (por. [2]) o stałym punkcie zaczepienia i stałym
kierunku działania, krzywa częstości drgań własnych na płaszczyźnie: obciążenie - częstość
drgań własnych ma zawsze nachylenie ujemne [3].
Analizie swobodnych drgań poprzecznych belek Bernoullego - Eulera charakteryzujących
się zmiennym przekrojem poprzecznym poświęcono szereg publikacji naukowych. Wyróżnić
można prace, w których rozpatrywane układy złożone są z segmentów o skokowo zmiennym
polu przekroju poprzecznego (por.[4 - 9]) lub takie, w których przekrój zmieniał w sposób
ciągły (por. [10 - 13]). W modelach belek uwzględniono dodatkowo elementy dyskretne, w
tym sprężyny translacyjne i rotacyjne oraz masy skupione. Dołączone elementy dyskretne
mocowano na końcach układu (por. [5, 12]) lub umieszczono w miejscach zmiany przekroju
poprzecznego belki (por. [4, 6, 9, 13]).
W pracy [6] przedstawiono zagadnienie drgań poprzecznych dwusegmentowych belek,
które podzielono na trzy zasadnicze grupy w zależności od kształtu pola przekroju
poprzecznego układów. Wyznaczono wartość trzech pierwszych częstości drgań własnych
przy różnych warunkach zamocowania. Identyczną analizę zmian częstości drgań własnych
206
J. SZMIDLA, A. WAWSZCZAK
przeprowadzono w publikacji [7], w której wzięto pod uwagę układy złożone z trzech i więcej
segmentów. W przypadku układu zbudowanego z dowolnej skończonej liczby segmentów z
dołączonym elementem dyskretnym w postaci masy skupionej lub sprężyny translacyjnej do
wyznaczenia zmian wartości własnych wykorzystano własności funkcji Greena [9].
W publikacjach [10, 11] rozpatrywano układy belek o liniowo zmiennym przekroju
poprzecznym, przy czym zmianie podlegał tylko jeden z głównych wymiarów przekroju.
Zmianę przekroju poprzecznego oraz momentu bezwładności przekroju określono funkcją
liniową i kwadratową. W pracach [12, 13] modele układów rozbudowano o dodatkowe
elementy dyskretne w postaci sprężyn: translacyjnej i rotacyjnej oraz masy skupionej [12] lub
dowolnej liczby mas skupionych [13].
W niniejszej pracy przedstawia się wyniki badań teoretycznych i numerycznych dotyczących
drgań swobodnych kolumn poddanych działaniu wybranych przypadków obciążenia
eulerowskiego. Biorąc pod uwagę modele fizyczne kolumn, sposób podparcia układów oraz
rozwiązania konstrukcyjne głowic realizujących obciążenie, formułuje się całkowitą energię
mechaniczną układów. Na podstawie rozwiązania zagadnienia brzegowego, które uzyskuje się
przy uwzględnieniu kinetycznego kryterium stateczności, prezentuje się przebieg krzywych
zmian wartości własnych na płaszczyźnie: obciążenie – częstość drgań własnych. Zakres zmian
częstości drgań własnych wyznacza się przy wybranych sztywnościach węzła konstrukcyjnego,
modelującego sposób zamocowania kolumn. Przyjęty do obliczeń numerycznych rozkład
sztywności na zginanie kolumn odpowiada układom, dla których uzyskuje się maksymalne
wartości obciążenia krytycznego, przy przyjętym warunku optymalizacyjnym stałej objętości
struktury [14].
2. MODELE FIZYCZNE KOLUMN
Na rys. 1a-b przedstawiono modele fizyczne kolumn, realizujących rozważane przypadki
obciążenia eulerowskiego. Kolumna jest sprężyście zamocowana (C1 – współczynnik
sprężystości zamocowania) z jednej strony (x1 = 0) oraz obciążona na końcu układu (xn = l) siłą
skupioną P o stałym kierunku działania. Obciążenie realizowane jest poprzez strukturę
obciążającą, składającą się z głowicy wywołującej i przejmującej obciążenie (por. [16]).
Głowica wywołująca obciążenie zbudowana jest dwóch elementów liniowych (rys.1a) lub
z jednego elementu liniowego (rys.1b). Głowicę przejmującą obciążenie stanowi element
kołowy (łożysko toczne). Elementy głowic realizujących omawiane przypadki obciążenia
Eulera są obiektami rzeczywistymi (por. [15]), stosowanymi w badaniach eksperymentalnych
układów smukłych (por. [16]). Kolumna podzielona jest na segmenty (rys. 1c) (indeksy i = 1 ..
n) o przekroju kołowym i sztywności na zginanie (EJi), gdzie: Ji jest momentem bezwładności
przekroju poprzecznego i – tego segmentu kolumny względem osi obojętnej zginania.
Segmenty opisane są przez długość l, średnicę di oraz przemieszczenie poprzeczneWi(xi,t).
Przyjmuje się następujące założenia i oznaczenia stosowane w pracy:
- stałą całkowitą długość kolumnn L oraz stałą długość jej segmentów l (L = n l)
- stałą wartość modułu sprężystości podłużnej E oraz gęstości materiału r wszystkich
segmentów kolumny,
- stałą sumaryczną objętość wszystkich segmentów opisujących kształt kolumny.
Wprowadza się przykładowe oznaczenia rozważanych w niniejszej pracy kolumn:
DRGANIA SWOBODNE KOLUMN O OPTZMALNYM KSZTAŁCIE…
207
Rys.1. Modele fizyczne kolumn przy obciążeniu eulerowskim
- AO(c*10), BO(c*10) – kolumny optymalizowane o skokowo zmiennej sztywności na
zginanie, przy współczynniku sprężystości zamocowania c* = 10, realizujące obciążenie
Eulera.
*
*
- AP(c 5), BP(c 5)– kolumny porównawcze o stałej sztywności na zginanie EJ (J jest
momentem bezwładności przekroju poprzecznego kolumny porównawczej względem osi
obojętnej zginania), przy współczynniku sprężystości zamocowania c* = 5, realizujące
obciążenie Eulera.
Bezwymiarowy współczynnik sprężystości zamocowania c* wynosi:
CL
(1)
c* = 1
EJ
Objętość kolumn AP(c*), BP(c*) jest identyczna jak sumaryczna objętość wszystkich
segmentów opisujących kształt układów AO(c*), BO(c*).
3. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO
Zagadnienie brzegowe formułuje się na podstawie zasady Hamiltona, która w przypadku
układów konserwatywnych przyjmuje postać:
t2
d ò (T - V )dt = 0
(2)
t1
Energia kinetyczna T prezentowanych w pracy kolumn zgodnie z teorią Bernoullego Eulera
jest wyrażona wzorem:
n
T =å
i =1
(rAi ) l é ¶Wi (xi , t )ù 2 dx
i
ò
2 0 êë
¶t
ú
û
i
(3)
208
J. SZMIDLA, A. WAWSZCZAK
Całkowita energia potencjalna V kolumn jest sumą: energii sprężystej zginania, energii
potencjalnej obciążenia zewnętrznego oraz energii sprężystości zamocowania:
n
V =å
i =1
i
òê
2
0ê
ë
2
2
é ¶W ( x , t )
ù
P n li é ¶Wi ( xi , t ) ù
i i
ê
ú
dx
dx
+
C
åòê
ú i
1
ú
2 i =1 0 ë ¶xi û
êë ¶xi
úû
x1 =0 ú
û
(EJ i ) l é ¶ 2Wi (xi , t )ù
¶xi2
2
(4)
W zasadzie Hamiltona (2) wykorzystuje się przemienność operacji całkowania (względem
xi oraz t) i obliczania wariacji. Po wykonaniu działania wariacji energii kinetycznej (3) oraz
wariacji poszczególnych członów energii potencjalnej (4) otrzymuje się:
- równania ruchu rozważanych układów:
4
2
2
(EJ i ) ¶ Wi (4xi , t ) + P ¶ Wi (x2 i , t ) + (rAi ) ¶ Wi (2xi , t ) = 0, i = 1..n
(5)
¶t
¶xi
¶xi
- warunki brzegowe odnośnie do punktu zamocowania kolumn:
¶ 2W1 (x1 , t )
¶W (x , t )
W1 (0, t ) = 0,
- c1 1 1
=0
2
¶x1
¶
x
1
x =0
x =0
1
- warunki ciągłości:
(
¶ 3W j x j , t
( )
W j l j , t = W j +1 (0, t ),
(
¶W j x j , t
¶x j
) x =l
j
j
=
1
) x =l
j
¶x 3j
(
¶W j +1 x j +1 , t
¶x j +1
)
j
= r j +1
(
¶ 2W j x j , t
,
(6a-b)
(
¶ 3W j +1 x j +1 , t
) x =l
j
¶x 2j
x j +1 = 0
)
¶x 3j +1
j
= r j +1
x j +1 =0
(
¶ 2W j +1 x j +1 , t
¶x 2j +1
(7a-d)
)
x j +1 =0
- warunki brzegowe na swobodnym końcu kolumn (xn = l); układ AO(c*))- wzory (8a-b))
lub układ BO(c*) – wzory (8c-d)):
Wn (l n , t ) = 0,
¶ 2Wn ( x n , t )
¶x n2
xn = l n
= 0,
¶ 2Wn ( x n , t )
=0
¶x n2
¶ 3Wn ( x n , t )
¶x n3
xn = l n
xn = l n
+
k n2
(
¶Wn ( x n , t )
(8a-b)
xn =ln
¶x n
gdzie: j = 1..(n-1), c1 = C1 / (EJ 1 ), k n2 = P / (EJ n ), r j +1 = EJ j +1
=0
(8c-d)
) (EJ j ) .
Rozwiązanie ogólne równań (5) po uprzenim wykonaniu operacji rozdzielenia zmiennych
funkcji Wi(xi, t) względem czasu t i współrzędnych xi w postaci:
Wi ( xi , t ) = yi ( xi ) cos(wt )
(9)
można zapisać następująco:
y i ( xi ) = C1i cosh(a i xi ) + C 2 i cos(b i xi ) + C 3i sinh (a i xi ) + C 4 i sin (b i xi )
gdzie Cmi są stałymi całkowania (m =1..4) oraz:
(10)
DRGANIA SWOBODNE KOLUMN O OPTZMALNYM KSZTAŁCIE…
a i2 = -0.5 ki2 + ( 0.25 ki4 + W i2
W i2 =
)
0.5
,
(rAi )w 2 ,
(EJ i )
b i2 = 0.5 ki2 + ( 0.25 ki4 + W i2
ki =
P
(EJi )
)
209
0.5
(11a-d)
Podstawienie rozwiązań (10) do warunków brzegowych (6a-b), (7a-d) oraz (8a-b) lub (8c-d)
(po uprzednim rozdzieleniu zmiennych względem czasu t i współrzędnych xi) prowadzi do
równania przestępnego na częstość drgań własnych w.
4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH.
W publikacji [14] wykonano stosowne obliczenia odnośnie do optymalizacji kształtu
kolumn AO(c*), BO(c*). Biorąc pod uwagę statyczne kryterium stateczności oraz
zmodyfikowany przez autorów algorytm symulowanego wyżarzania, wyznaczono wartości
parametrów geometrycznych poszczególnych segmentów kolumn, przy których uzyskuje się
maksymalne wartości obciążenia krytycznego. Przykładowe kształty optymalizowanych
kolumn AO(c*), BO(c*) przy podziale na n = 128 segmentów oraz przy wybranych
wartościach współczynnika sprężystości zamocowania c* przedstawiono na rys. 2. Liniami
przerywanymi zaznaczono kształt kolumn porównawczych AP(c*), BP(c*). Dodatkowo
podano wartość parametru krytycznego obciążenia lc rozpatrywanych układów oraz
procentowy wzrost d0 siły krytycznej kolumn AO(c*), BO(c*) w odniesieniu do kolumn
porównawczych. Wartość obciążenia krytycznego odnosi się do całkowitej długości kolumny
L oraz sztywności na zginanie kolumny porównawczej EJ, czyli:
Rys.2. Kształt optymalizowanych kolumn: a-d) kolumna AO(c*), e-h) kolumna BO(c*) [14]
210
J. SZMIDLA, A. WAWSZCZAK
lc =
PL2
EJ
(12)
W niniejszej pracy wyznacza się przebieg zmian częstości drgań własnych w kolumn
AO(c*), BO(c*) w funkcji obciążenia zewnętrznego przy uwzględnieniu zmiennej sztywności
na zginanie kolumn (por. rys.2). Ograniczono się (rys.3, rys.4) do określenia charakteru zmian
dwóch pierwszych podstawowych częstości drgań własnych w formie bezwymiarowej (W 1,
W 2) w funkcji bezwymiarowego parametru obciążenia l przy wybranych wartościach
parametru c* modelującego sposób zamocowania kolumn, przy czym:
PL2
(rA)w 2 L4
l=
(13a-b)
, W=
EJ
(EJ )
Rys.3. Krzywe na płaszczyźnie parametr obciążenia l - parametr częstości drgań własnych W
(układ AO(c*))
Rys.4. Krzywe na płaszczyźnie parametr obciążenia l - parametr częstości drgań własnych W
(układ BO(c*))
DRGANIA SWOBODNE KOLUMN O OPTZMALNYM KSZTAŁCIE…
211
Krzywe (1), (7) – rys.3 oraz krzywe (6) – rys.4 opisują przebieg wartości własnych dla
kolumn granicznych odpowiednio: kolumny zamocowanej przegubowo (c* = 0) i kolumny
wspornikowej (1/c* = 0). Wartość obciążenia krytycznego otrzymano przy parametrze W = 0.
Rys.5. Krzywe na płaszczyźnie parametr obciążenia l - parametr podstawowej częstości drgań
własnych W : a-b) kolumny AO(c*), AP(c*); c-d) kolumny BO(c*), BP(c*)
Na rysunkach 5a-d zaprezentowano zakres zmian podstawowej częstości drgań własnych
kolumn AO(c*), BO(c*) (linie ciągłe) oraz kolumn porównawczych AP(c*), BP(c*) (linie
przerywane) przy wybranych wartościach parametru c*. Przedstawione przebiegi zmian
wartości własnych (por. rys. 3 - 5) mają zawsze nachylenie ujemne. Charakter ich zmian
pozwala zaliczyć rozpatrywane układy do układów typu dywergencyjnego. Otrzymane wyniki
wartości obciążenia krytycznego, uzyskane na podstawie kinetycznego kryterium stateczności
są identyczne jak przy zastosowaniu statycznego kryterium stateczności [14].
Praca wykonana w ramach badań własnych BW – 1-101/202/08/P oraz badań statutowych
BS – 1-101/302/99/P.
LITERATURA
1. Tomski L.: Obciążenia układów oraz układy swoiste. Rozdział 1: Drgania swobodne
i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nieliniowych. Praca
zbiorowa wykonana pod kierunkiem naukowym i redakcją L. Tomskiego. Warszawa :
2007, WNT, s. 17 – 46.
2. Timoshenko S. P., Gere J. M.: Teoria stateczności sprężystej. Warszawa : Wyd. Arkady,
1963.
3. Leipholz H.H.E.: On conservative elastic systems of the first and second kind. “IngenieurArchive” 1974, 43, p. 255 – 271.
4. De Rosa M., Belles N.,. Maurizi M.: Free vibrations of stepped beams with intermediate
elastic supports. “Journal of Sound and Vibration” 1995, 181, p. 905-910.
5. Maurizi M., Belles P.: Natural frequencies of one-span beams with stepwise variable crosssection. “Journal of Sound and Vibration” 1993, 168, p. 184-188.
212
J. SZMIDLA, A. WAWSZCZAK
6. Naguleswaran S.: Natural frequencies, sensitivity and mode shape details of an EulerBernoulli beam with one-step change in cross-section and with ends on classical supports.
“Journal of Sound and Vibration” 2002, 252, p. 751-767.
7. Naguleswaran S.: Vibration of an Euler-Bernoulli beam on elastic end supports and with
up to three step changes in cross-section.”International Journal of Mechanical Sciences”
2002, 44, p. 2541-2555.
8. Li Q.: Free longitudinal vibration analysis of multi-step non-uniform bars based on
piecewise analytical solutions. “Engineering Structures” 2000, 22, p. 1205-1215.
9. Kukla S., Zamojska I.: Frequency analysis of axially loaded stepped beams by Green’s
function method. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 300, p. 1034-1041.
10. Naguleswaran S.: Comments on "Vibration of non-uniform rods and beams". “Journal of
Sound and Vibration” 1996, 195, p. 331-337.
11. Abrate S.: Vibration of non-uniform rods and beams. “Journal of Sound and Vibration”
1995, 185, p. 703-716.
12. . Auciello N: Transverse vibrations of a linearly tapered cantilever beam with tip mass of
rotatory inertia and eccentricity. “Journal of Sound and Vibration” 1996, 194, p. 25- 34.
13. Wu J., Chen D.: Bending vibrations of wedge beams with any number of point masses.
“Journal of Sound and Vibration” 2003, 262, p. 1073-1090.
14. Szmidla J., Wawszczak A.: Optymalizacja kształtu kolumn realizujących wybrane
przypadki obciążenia Eulera za pomocą zmodyfikowanego algorytmu symulowanego
wyżarzania. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, seria: Mechanika, 258, 74,
2008, s.321 – 332.
15. Kasprzycki A.: Opis techniczny struktur obciążających kolumny. Rozdział 2: Drgania
swobodne i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nieliniowych.
Praca zbiorowa wykonana pod kierunkiem naukowym i redakcją L. Tomskiego.
Warszawa : WNT, 2007, s. 47 – 60.
16. Tomski L., Szmidla J.: Local and global instability and vibration of overbraced Euler’s
column. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2003, 41, 1, p. 137-154.
FREE VIBRATIONS OF COLUMNS WITH OPTIMAL SHAPE
CONNECTED WITH CRITICAL LOAD, WHEN EXPOSED TO
EULER’S LOAD
Summary. In this work theoretical and numerical investigations concerning free
vibrations of columns under Euler’s load are presented. In considerations one takes
into account variable of the flexural rigidity on the lengths of the system and
elasticity of constructional joint modelling the method of mounting the column.
Theoretical analysis concerning geometry of the systems and formulation of the
boundary condition has been carried out. The course of the natural frequency
curves has been calculated for optimal shape columns, for which maximal critical
load has been obtained.