Algebra liniowa

Algebra liniowa
2. Przestrzeń ilorazowa, suma prosta oraz przestrzeń dualna.
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem F. Relację równoważności R na X nazwiemy kongruencją, jeśli dla dowolnych x, x0 , y, y 0 ∈ X oraz dowolnego α ∈ F
xRx0 ,
yRy 0 ⇒ (x + y)R(x0 + y 0 ),
xRx0 ⇒ αxRαx0 .
Niech U będzie podprzestrzenią przestrzeni X. Określmy relację RU na X wzorem
xRU x0 ⇔ x − x0 ∈ U.
Przy powyższych oznaczeniach:
− R jest kongruencją na X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podprzestrzeń U przestrzeni X taka, że R = RU ,
− przestrzeń ilorazową X/U definiujemy wzorem
X/U := {[x]RU : x ∈ X}.
Niech U1 , . . . , Un będzie rodziną podprzestrzeni przestrzeni X. Zdefiniujmy odwzorowanie
Φ : U1 × . . . × Un 3 (u1 , . . . , un ) −→ u1 + . . . + un ∈ X.
Mówimy, że X jest sumą prostą swoich podprzestrzeni Ui , . . . , Un i piszemy X = U1 ⊕, . . . , Un , jeśli odwzorowanie Φ jest izomorfizmem.
Niech X będzie przestrzenią wektorową. Zbiór
X ∗ = {l : X −→ F : l jest odwzorowaniem liniowym }
nazywamy przestrzenią dualną do przestrzeni X.
Załóżmy, że dimX = n oraz niech e1 , . . . , en będzie bazą przestrzeni X. Zdefiniujmy odwzorowania
liniowe e∗i : X −→ F , i = 1, . . . , n wzorem
1, jeśli i = j,
e∗i (ej ) = δij =
0, jeśli i =
6 j.
Wtedy zbiór {e∗i : i = 1, . . . , n} jest bazą X ∗ .
Niech X oraz Y będą przestrzeniami wektorowymi oraz niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem
liniowym. Definiujemy nowe odwzorowanie
f ∗ : Y ∗ 3 l −→ l ◦ f ∈ X ∗ ,
nazywane odwzorowaniem transponowanym.
1
2
ALGEBRA LINIOWA
Zadania
Zadanie 1. Sprawdzić, czy klasy równoważności [(1, 3, 2)], [(0, 2, 5)] tworzą bazę przestrzeni wektorowej
R3 /V , gdzie
V = {(x, y, z) : x = 0, 2y − z = 0}.
Zadanie 2. Oznaczmy przez P = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0, x + 3y + 2z = 0}. Znaleźć dowolną bazę
przestrzeni wektorowej R3 /P .
Zadanie 3. Sprawdzić, że [(2, 5, 1)], [(2, 6, 3)] jest bazą przestrzeni wektorowej R3 /P , gdzie P = lin{(1, 3, 2)},
oraz obliczyć współrzędne wektora [(3, 6, 1)] w tej bazie.
Zadanie 4. Niech P = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2y = 0, y − z = 0}. Obliczyć macierz odwzorowania liniowego
R2 3 (x, y) → [(x − y, x + y, 2x − y)] ∈ R3 /P w bazach (1, 0), (0, 1) oraz [(1, 0, 0)], [(0, 1, 0)].
Zadanie 5. Dla X = RR − przestrzeni wszystkich funkcji f : R −→ R niech
U = {f ∈ X : 3f (3) + 7f (7) = f (0), −f (−1) = f (1) = 0}.
Wykazać, że U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni X taką, że przestrzeń ilorazowa X/U jest izomorficzna z R3 .
Zadanie 6. Niech U1 oraz U2 będą podprzestrzeniami w C3 , określonymi wzorami
U1 = {(x, y, z) ∈ C3 : x + y + z = 0},
U2 = {(x, y, z) ∈ C3 : x = y, y = −z}.
Dowieść, że C3 = U1 ⊕ U2 .
Zadanie 7. Niech X = {f : R −→ R}, oraz niech U oraz V będą podprzestrzeniami przestrzeni X określonymi wzorami
U = {f ∈ X : f jest funkcją parzystą },
V = {f ∈ X : f jest funkcją nieparzystą }.
Dowieść, że X = U ⊕ V .
Zadanie 8. Niech U1 , U2 oraz U3 będą podprzestrzniami wektorowymi przestrzeni R3 , zdefiniowanymi wzorami
U1 ={(x, y, z) : x + 2y = 0}
U2 = imf,
f : R2 3 (x, y) → (2x − y, 3y − 6x, 0) ∈ R3
U3 = lin{(1, 4, 1), (2, 1, 1), (−4, 5, −1)} ⊂ R3 ,
gdzie lin A oznacza rozpięcie liniowe zbioru A. Dla jakich wskaźników i, j = 1, 2, 3 zachodzi Ui ⊕ Uj = R3 ?
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 9. Jeżeli f : X −→ Y oraz g : Y −→ Z są odwzorowaniami liniowymi, to (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ .
Zadanie 10. Niech f : R2 3 (x, y) → (2x + 3y, x + y) ∈ R2 . Wyznaczyć endomorfizm f ∗ w bazie złożonej z
form ϕ1 : R2 3 (x, y) −→ x + 2y ∈ R oraz ϕ2 : R2 3 (x, y) −→ x + 3y ∈ R.
Zadanie 11. Wyznaczyć bazę dualną do bazy (1, 2), (3, 1) przestrzeni R2 .
Zadanie 12. Znaleźć taką bazę przestrzeni wektorowej R2∗ , aby baza do niej dualna składała się z form
R2 3 (x, y) → x − 2y ∈ R, R2 3 (x, y) → x − 3y ∈ R.
Zadanie 13. Niech f : R2 3 (x, y) → (2x + y, x + y) ∈ R2 . Obliczyć macierz endomorfizmu f ∗ w bazie
złożonej z form R2 3 (x, y) → 2x + y ∈ R i R2 3 (x, y) → 3x + y ∈ R.
Zadanie 14. Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem liniowym. Wtedy
ALGEBRA LINIOWA
3
(1) odwzorowanie transponowane f ∗ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy f jest monomorfizmem,
(2) odwzorowanie transponowane f ∗ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy f jest epimorfizmem.
Zadanie 15. Niech X będzie przestrzenią wektorową wymiaru n oraz niech l : X −→ X będzie odwzorowaniem liniowym takim, że l2 = l. Dowieść, że istnieje k ¬ n oraz istnieje baza e1 , . . . , en przestrzeni X taka,
że
ei , jeśli 1 ¬ i ¬ k,
l(ei ) =
0,
jeśli k < i ¬ n.
Zadanie 16. Niech X będzie przestrzenią wektorową wymiaru n oraz niech l : X −→ X będzie odwzorowaniem liniowym takim, że l2 = idX . Dowieść, że istnieje k ¬ n oraz istnieje baza e1 , . . . , en przestrzeni X
taka, że
ei ,
jeśli 1 ¬ i ¬ k,
l(ei ) =
−ei , jeśli k < i ¬ n.
Zadanie 17. Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową wymiaru n oraz niech l : X −→ X będzie
odwzorowaniem liniowym takim, że l2 = −idX . Dowieść, że n = 2k jest liczbą parzystą oraz istnieje baza
e1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , e2k przestrzeni X taka, że
ei+k ,
jeśli 1 ¬ i ¬ k,
l(ei ) =
−ei−k , jeśli k < i ¬ 2k.
Udowodnić, że jeśli X jest zespoloną przestrzenią wektorową, to powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe.