Damian Strzelecki se..
Transkrypt
Damian Strzelecki se..
POLITECHNIKA ×ÓDZKA Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Kierunek: Specjalność: Matematyka Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Damian Strzelecki Seminarium 1 Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego ×ódź Styczeń 2010 1 1 Pojecie ¾ odwzorowań p-liniowych De…nicja 1 (Odwzorowanie p-liniowe) Niech E1 ; :::; Ep ; G bed ¾ a¾ przestrzeniami liniowymi. Odwzorowanie p-liniowe ' : E1 ::: Ep ! G to odwzorowanie liniowe wzgledem ¾ ka·zdej zmiennej. Ogó÷odwzorowa´n p-liniowych z E1 ; :::; Ep w G oznaczamy L (E1 ; :::; Ep ; G). Tworzy on przestrze´n liniowa. ¾ 2 Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych De…nicja 2 (Odwzorowanie identycznościowe) Niech F bedzie ¾ dowolna¾liniowa¾ przestrzenia¾ nad cia÷em . Odwzorowaniem identyczno´sciowym nazywany odwzorowanie idF : F ! F przeprowadzajace ¾ ka·zdy element x 2 F w ten sam element nale·zacy ¾ do F . De…nicja 3 (Odwzorowanie zanurzenie) Niech F1 bedzie ¾ dowolna¾podprzestrzenia¾ przestrzeni F . Odwzorowaniem zanurzenie j : F1 ! F nazywamy odwzorowanie dane wzorem j (x) = x. De…nicja 4 (Produkt tensorowy) Niech E; F; G bed ¾ a¾ dowolnymi przestrzeniami liniowymi i ' : E F ! G bedzie ¾ odwzorowaniem dwuliniowym. Pare¾ (G; ) nazywamy p produktem tensorowym przestrzeni E i F je´sli spe÷nione sa¾ warunki: 1. 2. 1 : Im ' = G; : E F ! H jest dwuliniowym odwzorowaniem w dowolna¾ 2 : Je´sli przestrze´n liniowa¾H, to istnieje odwzorowanie liniowe f : G ! H takie, ¾ acy ¾ diagram jest przemienny ·ze = f ', co znaczy, ·ze nastepuj E F ' G Lemat 5 Warunki 3. 1; 2 . f ! & . H sa¾ równowa·zne warunkowi Je´sli : E F ! H jest dwuliniowym odwzorowaniem w dowolna¾ przestrze´n liniowa¾ H, to istnieje dok÷adnie jedno odwzorowanie liniowe f : G ! H takie, ·ze = f '. Twierdzenie 6 Za÷ó·zmy, ·ze E; F sa¾ dowolnymi przestrzeniami liniowymi i niech a; a0 2 E oraz b:b0 2 F . Za÷ó·zmy, ·ze a b 6= 0. Równo´s´c a b = a0 b0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 0 6= 2 takie, ·ze a0 = a oraz 1 0 b = b. 2 1 Dowód. Oczywiście jeśli a0 = a oraz b0 = b dla 6= 0 to a0 b0 = 1 1 ( a) b = (a b) = a b. Za÷ óz·my teraz, z·e a b = a0 b0 . Przypuśćmy nie wprost, z·e a i a0 sa¾ liniowo zalez·ne, czyli 8 6=0 a0 6= a. Niech : E F ! E F bedzie ¾ odwzorowaniem dwuliniowym. Niech BE E bedzie ¾ baza¾ zawierajac ¾ a¾ a i a0 . De…niujemy odwzorowanie g1 : BE ! dane wzorem g1 (x) = 0 dla x 6= a : 1 dla x = a Odwzorowanie g1 moz·emy przed÷uz·yć jednoznacznie do odwzorowania liniowego ge1 : E ! . Analogicznie rozwaz·my baze¾ BF F zawierajac ¾ a¾ element b i de…niujemy odwzorowanie g2 : BF ! dane wzorem g2 (y) = 0 dla y = 6 b 1 dla y = b i analogicznie rozszerzamy je do odwzorowania liniowego g2 : F ! . De…niujemy odwzorowanie dwuliniowe : E F ! wzorem (x; y) = ge1 (x) ge2 (y). Z w÷ asności faktoryzacji istnieje odwzorowanie liniowe e : E F ! takie, z·e = e . Mamy (a; b) = e (a b) = e (a0 b0 ) = (a0 ; b0 ). Poniewaz· (a; b) = ge1 (a) ge2 (b) oraz (a0 ; b0 ) = ge1 (a0 ) ge2 (b0 ) to ge1 (a) ge2 (b) = ge1 (a0 ) ge2 (b0 ). Lewa strona jest równa 1 1, czyli 1, zaś prawa równa sie¾ 0 ge2 (b0 ) = 0, wiec ¾ otrzymujemy sprzeczność z za÷ oz·eniem, z·e 8 6=0 a0 6= a. Zatem a i a0 sa¾ liniowo zalez·ne, czyli istnieje taki, z·e a0 = a. Analogicznie stwierdzamy, z·e istnieje 1 takie, z·e b0 = 1 b. Pokaz·emy, z·e 1 . Rozwaz·my ciag ¾ nierówności a b = a0 b0 = ( a) ( 1 b) = 1 = 1 ( 1 ) (a b). Poniewaz· a b 6= 0, wiec ¾ : 1 = 1, zatem 1 = Literatura [WHG] W.H. Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag New York Inc., 1967. 3