3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI
Transkrypt
3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI
Forecasting is the art of saying what will happen, and then explaining why it didn’t. Ch. Chatfield (1986) PROGNOZY I SYMULACJE Katarzyna Chudy – Laskowska konsultacje: p. 400A środa czwartek strona internetowa: http://kc.sd.prz.edu.pl/ 12-14 12-14 1 WYKŁAD VIII Szeregi czasowe III 1. 2. 3. Metoda wskaźnikowa Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi Metoda jednoimiennych okresów 2 3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI Trend pełzający jest modelem adaptacyjnym – służy do budowy prognoz krótkookresowych. Dane: 37; 41; 40; 41; 45; 42; 46 KONSTRUKCJA TRENDU PEŁZAJĄCEGO (k=3) ETAP 1 ETAP 2 Ustalenie wartości stałej wygładzania k<n, Wyższa wartość stałej wygładzania powoduje większe wygładzanie szeregu czyli słabsze reagowanie na zmiany zachodzące w szeregu. Oszacowanie na podstawie kolejnych fragmentów szeregu o długości k, liniowych funkcji trendu f1 (t ) a1t b i Y Przedział czasu Fragment szeregu Wartości Y f i (t) 1 37 1-3 y1 , y2 , y3 37+41+40 f 1 (t)=1,5t+36,33 2 41 2-4 y2 , y3, y4 41+40+41 f 2 (t)=1,5t+40,67 3 40 3-5 y3 , y4 , y5 40+41+45 f 3 (t)=1,5t+32,00 4 41 4-6 y4 , y5 , y6 41+45+42 f 4 (t)=1,5t+40,17 5 45 5-7 y5 , y6 , y7 45+42+46 f 5 (t)=1,5t+41,33 liniowe funkcje trendu 3 3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI Obliczenie wartości wygładzonych zmiennej yˆ t (i ) tzn. wartości teoretycznych wynikających z i-tej funkcji trendu. Z danej funkcji trendu f1 wyznacza się wartości teoretyczne dla tych okresów t, na podstawie których funkcja była oszacowana. ETAP 3 f 1 (1)=1,5 *1+36,33=37,83 f 1 (2)=1,5 *2+36,33=39,33 Wartości teoretyczne funkcji trendu fi t f(1) 1 37,83 f(2) f(3) f(4) f(5) yt wartości wygładzone 37,83 47 45 43 41 39 37 2 39,33 40,67 3 40,67 39,5 40,67 42,00 42,17 44,50 42,67 43,83 (44,5+42,67+43,83)/3=43,76 43,17 44,33 (43,17+44,33)/2=43,75 44,83 44,83 4 35 1 2 3 Y 4 5 6 7 5 (40,83+40,67+39,5)/3=40,33 (40,67+42+42,17)/3=41,61 trend pełzający 6 7 ETAP 4 40,83 (37,83+40,67)/2=40 Obliczenie średniej wartości wygładzonej yt dla każdego okresu t jako średniej arytmetycznej wartości wygładzonych obliczonych dla tego okresu w etapie 3. Wykres wartości wygładzonych w postaci segmentowej (trend pełzający) można przedstawić na wykresie 4 3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI EKSTRAPOLACJA MODELU TRENDU PEŁZAJĄCEGO (k=3) ETAP 5 Obliczenie przyrostów funkcji trendu dla wartości wygładzonych wt 1 t+1(od 2 do n) yt yt 1 1 yt t 1...,n 1 t (od 1 do n-1) yt wt 1 yt 1 2 40 1 37,83 2,17 3 40,33 2 40 0,33 4 41,61 3 40,33 1,28 5 43,76 4 41,61 2,06 6 43,75 5 43,76 -0,01 7 44,83 6 43,75 1,08 yt 5 3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI ETAP 6 Nadanie wag poszczególnym przyrostom Realizują one efekt postarzania informacji, nadawane są tak, aby najnowsze przyrosty miały największe znaczenie. Suma wag wynosi 1. Są to wagi harmoniczne. Ctn 1 t 1 C17 1 C27 t 2 C17 2 C37 t 3 C17 3 C47 t 4 C17 4 C57 t 5 C17 5 C67 t 6 C17 6 C77 1 1 7 1 7 1 1 1 1 1 1 7 1 7 1 7 2 1 1 1 7 1 7 1 7 2 1 1 1 7 1 7 1 7 2 1 1 t 1 n 1i1n i t 1,...,n 1 0,027 7 1 7 1 7 2 1 1 1 7 1 7 1 7 2 0,075 1 7 3 1 0,103 1 7 3 7 4 1 1 7 3 7 4 1 1 7 3 7 4 0,159 1 7 5 0,242 1 1 7 4 7 6 0,409 6 3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI ETAP 7 Określenie średniego przyrostu trendu jako średniej ważonej (wagami harmonicznymi) wszystkich obliczonych w 5 etapie przyrostów: n 1 Ctn 1 wt w 1 t 1 w 2,17 0,027 0,43 0,075 1,28 0,103 2,06 0,159 ( 0,01) 0,242 1,08 0,409 0,98 ETAP 8 yT* Wyznaczenie prognozy punktowej na moment/okres T yn (T n) w y8* 44,83 (8 7) 0,98 45,81 y9* 44,83 (9 7) 0,98 46,79 y10* 44,83 (10 7) 0,98 47,77 49 47 45 43 41 39 37 35 1 2 3 4 Y 5 6 7 8 9 10 trend pełzający Podobnie jak dla modelu Holta, wszystkie kolejne prognozy leżą na prostej. Dla trendu pełzającego jest to prosta przechodząca przez punkt (n, yn ), której tangens kąta nachylenia do osi czasu wynosi w . 7 4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW Jeśli szereg czasowy charakteryzuje się tendencją rozwojową, wahaniami okresowymi oraz przypadkowymi to do konstrukcji krótkookresowych prognoz można zastosować metodę trendów jednoimiennych okresów. Metoda polega na oszacowaniu parametrów analitycznej funkcji trendu oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu. Prognoza wyznaczana jest za pomocą ekstrapolacji oszacowanej funkcji trendu dla każdej fazy cyklu. Stosowanie tej metody wymusza przyjęcie zasady „status quo”, tzn., że utrzyma się zaobserwowana tendencja dla każdej z faz cyklu. yij t 0i 1i ji ij , j 1...k , i 1...r yij - wielkość zmiennej prognozowanej dla i-tej fazy w j-tym cyklu tij - zmienna czasowa, t ji 0i , ji 1i i r ( j 1) - parametry strukturalne i-tego modelu, - składnik losowy, 4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW Na podstawie danych dotyczących kwartalnej wielkości zapasów samochodów u producentów (w tys. szt.) wyznaczyć prognozy zapasów samochodów na rok 2010 oraz dokonać oceny ich * dokładności, przyjmując, że krytyczna wielkość względnego błędu ex ante wynosi 4%. Kwartał I II III IV Zapasy samochodów u producentów (tys) 2004 2005 2006 2007 2008 2009 4,2 4,4 4,8 5 5,1 5,7 5,1 5,4 5,7 6 6,2 6,4 4,9 5,2 5,3 5,6 5,9 6,3 5,3 5,6 5,9 6,1 6,4 6,7 Ocena wzrokowa pozwala na zidentyfikowanie składowej systematycznej w postaci trendu rosnącego oraz wahań systematycznych a także wahań przypadkowych. Zapasy samochodów u producentów (tys) 6,8 Składowe pozwalają na zastosowanie metody trendów jednoimiennych okresów. 6,6 6,4 6,2 6,0 5,8 Szereg charakteryzuje się regularnością, nie obserwuje znaczących zmian w zidentyfikowanych Składowych. 5,6 5,4 5,2 5,0 4,8 4,6 4,4 4,2 4,0 I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV Zakłada się że zarówno tendencja rozwojowa jak i wahania systematyczne nie ulegną istotnej zmianie w okresie prognozowanym. 9 4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW Metoda polega na oszacowaniu parametrów trendu oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu. Każdy szereg czasowy odnoszący się do określonej fazy cyklu opisany jest modelem liniowym. yij t 0i 1i ji ij , j 1...k , i 1...r 6,8 6,6 6,4 Kwartał 6,2 6,0 Zapasy samochodów u producentów (tys) Równanie modelu R2 s I yˆ j1 0,28t 3,88 0,95 0,12 II yˆ j1 0,26t 4,88 0,99 0,05 5,2 III yˆ j1 0,26t 4,59 0,97 0,08 5,0 IV yˆ j1 0,27t 5,04 0,99 0,02 5,8 5,6 5,4 4,8 4,6 I II III IV 4,4 4,2 4,0 0 1 2 3 4 5 6 7 Prognozy wyznacza się przez ekstrapolację oszacowanych linii trendów dla poszczególnych faz cyklów. 10 4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW Zapasy samochodów u producentów (tys) Kwartał Prognoza I 0,28 7 3,88 5,77 0,16 2,92 * 7, 2 y II 0,26 7 4,88 6,7 0,23 3,45 III * 7,3 y 0,26 7 4,59 6,41 0,13 2,02 IV y7*, 4 0,27 7 5,04 6,93 0,04 0,7 y n 1 yt n m 1t 1 s Bezwzględny błąd ex ante vt Względny błąd ex ante * 7 ,1 yˆ t 2 1 2 1 0,0616 6 1 1 T t VT n t t 2 1 1 n 8 0,124 t 6 4 s 7 3,5 17,5 2 1 1 6 1 2 0 0,124 0,169 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Obliczenia dla I kwartałów t 1 Vt 100% yt* (w %) 2 1 2 2 1 2 t 0,169 100% 2,92% 5,77 t 1 2 3 4 5 6 21 3,50 (t-tśr)^2 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 17,5 2,92 y 4,2 4,4 4,8 5 5,1 5,7 yt 4,16 4,44 4,72 5 5,28 5,56 (y-y)^2 0,0016 0,0016 0,0064 0 0,0324 0,0196 0,0616 11 5. METODA WSKAŹNIKÓW Jest to jedna z częściej używanych metod w analizie wahań sezonowych. Polega ona na wyznaczeniu wskaźników sezonowości poszczególnych faz cyklu. Gdy amplitudy wahań W analogicznych fazach cyklu są w przybliżeniu takie same, mówi się o wahaniach bezwzględnie stałych. Gdy zaś wielkości amplitud wahań zmieniają się w mniej więcej tym samym stosunku, mówi się o wahaniach względnie stałych. W pierwszym przypadku można użyć do opisu kształtowania się zjawiska modelu addytywnego a w drugim multiplikatywnego: yti yti yˆ ti si yˆ ti si t t W analizie wahań sezonowych można wyodrębnić cztery etapy: -wyodrębnienie trendu, -eliminację trendu z szeregu czasowego, -eliminację wahań przypadkowych, -obliczenie wskaźników sezonowości. Wyodrębnienie trendu polega na wygładzeniu szeregu czasowego za pomocą r-wyrazowej centrowanej lub niecentrowanej średniej ruchomej, lub funkcji analitycznej. Celem agregacji danych jest uzyskanie szeregu czasowego, w którym nie występują wahania sezonowe. Przeprowadza się ją przez sumowanie danych w okresach przyjętych w badaniu w dane odpowiadające okresom równym długości cyklu sezonowego. 12 5. METODA WSKAŹNIKÓW Eliminacji trendu w w przypadku szeregu czasowego z wahaniami addytywnymi dokonuje się obliczając różnicę rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej i wartości wygładzonych, otrzymanych z modelu trendu. W przypadku wahań multiplikatywnych wyznacza się ilorazy rzeczywistych wartości prognozowanej zmiennej przez odpowiadające im wartości wygładzone. zti yˆ ti , yti yti yˆ ti zti Obliczone wartości uwzględniają wahania sezonowe. Eliminację działania składnika losowego przeprowadza się obliczając tzw. surowe wskaźniki sezonowości. Stanowią je wielkości średnie wyznaczone na podstawie wielkości zti, dotyczących tej samej fazy wahań. 1 k zi k 1 zi j r ,i j 0 Wskaźniki sezonowości (czyste) wyznacza się ze wzorów: si zi q, si zi , q q 1 r r zi , r liczba faz cyklu i 1 Prognozę wyznacza się następująco: yti* yti*(t ) si , yti* yti*(t ) si 13 5. METODA WSKAŹNIKÓW - przykład Liczba awarii maszyn z powodu spadku mocy zasilania w pewnym przedsiębiorstwie produkcyjnym w poszczególnych półroczach lat 2003-2007 przedstawiała się następująco: 32; 21; 27; 19; 22; 16; 18; 11; 17; 8. Liczba awarii = 30,200 - 2,018 * t Wyznaczyć przewidywaną liczbę awarii w 2008 roku. Korelacja: r = -,8691 34 32 Cykl składa się z 2 faz. W pierwszej (I półrocze) rzeczywista wartość znajduje się powyżej linii trendu a w drugiej wartości są poniżej linii trendu. t=10 (obserwacji) i=2 (cykle) Liczba awarii Korzystamy z modelu multiplikatywnego: 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 * ti y *( w) ti y ci 8 6 0 2 4 6 8 10 12 Czas y * ti yti*( w) ci prognoza na okres t w i-tej fazie cyklu prognoza wstępna na okres t w i-tej fazie cyklu czysty wskaźnik sezonowości w i-tej fazie cyklu Prognozę wstępną wyznacza się przez ekstrapolację zaobserwowanej tendencji rozwojowej. Yˆti 30 2 t 14 5. METODA WSKAŹNIKÓW - przykład Yˆti 30 2 t t 1...10 i 1,2 Aby wyznaczyć wartości czystych wskaźników sezonowości ci należy: a) obliczyć wartości zti jako ilorazy wartości rzeczywistych i teoretycznych: t Yt ŷti 1 32 28 2 21 26 3 27 24 4 19 22 5 22 20 6 16 18 7 18 16 8 11 14 9 17 12 10 8 10 z1,1 z6, 2 32 1,14 28 16 0,89 18 z 2, 2 z7,1 21 0,82 26 18 1,13 16 z3,1 z8, 2 27 1,13 24 11 0,79 14 z 4, 2 z9,1 zti yti yˆti 19 0,86 22 17 1,42 12 t 1...10 i 1,2 z5,1 z10, 2 22 1,10 20 8 0,80 10 b) wartości zti zawierają efekt oddziaływania wahań sezonowych jak i przypadkowych, w celu ich wyeliminowania oblicza się surowe wskaźniki sezonowości zi (i=1,2) przez wyznaczenie średniej tych wartości zti, które odpowiadają jednoimiennym fazom: z1 z2 1 1,14 1,13 1,10 1,13 1,42 1,182 5 1 0,81 0,86 0,89 0,79 0,80 0,829 5 c) oblicza się średnią arytmetyczną surowych wskaźników sezonowości q q 1 1,182 0,829 2 q 1 r r zi i 1 1,006 15 5. METODA WSKAŹNIKÓW - przykład Czyste wskaźniki sezonowości wyznacza się jako ilorazy surowych wskaźników sezonowości zi i wielkości q. ci c1 c2 zi q 1,182 1,175 (117,2%) 1,006 0,829 0,825 (82,5%) 1,006 i 1,2 r ci dla I półrocza r i 1 suma wskaźników musi być równa liczbie faz dla II półrocza Czysty wskaźnik sezonowości ci=1,175 oznacza, że w pierwszej fazie cyklu czyli w I półroczu liczba awarii jest przeciętnie o 17,5% wyższa od wartości wynikającej z linii trendu, c2=0,825 oznacza że w drugiej fazie cyklu (II półroczu) liczba awarii jest przeciętnie o 17,5% mniejsza od wartości wynikającej z linii trendu. Prognoza wyznaczona na kolejne kwartały ma postać: y11* ,1 y11*(,w1 ) c1 30 2 11 1,175 9 awarii y12* , 2 y12*( ,w2) c2 30 2 12 0,825 5 awarii 16