okręgu

Cele
Rozwiązując ćwiczenia zawarte w tym rozdziale, będziesz umiał:
- wyznaczyć równanie okręgu
- opisać wzajemne położenie okręgu i prostej
- wyznaczyć równania stycznych do okręgu
- wyznaczyć równanie okręgu z różnych warunków
- opisać wzajemne położenie dwóch okręgów
- wyznaczyć równanie prostej potęgowej
- wyznaczyć równanie pęku okręgów
- określić punkty bazowe i oś potęgową
- zbadać pęk okręgów
PODSTAWOWE WIADOMOŚCI
1. Okrąg i jego równanie
Okrąg jako miejsce geometryczne punktów
Okrąg jest miejscem geometrycznym
wszystkich punktów na płaszczyźnie jednakowo oddalonych od ustalonego punktu
C zwanego środkiem okręgu.
|𝑃𝐶 | =const.
|𝐶𝑃| = |𝐶𝑃1 |
Rysunek 1
Stała odległość dowolnego punktu okręgu od środka C jest promieniem okręgu; będziemy ją oznaczać literą r.
Równanie okręgu
Niech 𝐶 = (𝛼, 𝛽 ) będzie środkiem okręgu 𝑜(𝐶, 𝑟) o promieniu r, a 𝑃 = (𝑥, 𝑦) dowolnym
punktem tego okręgu.
Rysunek 2
Punkt P jest punktem okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy
|𝑃𝐶 | = 𝑟 lub inaczej |𝑃𝐶 |2 = 𝑟 2 .
Korzystając ze wzoru na odległość dwóch punktów, otrzymujemy:
|𝑃𝐶 |2 = (𝑥 − 𝛼 )2 + (𝑦 − 𝛽 )2 .
Uwzględniając poprzednią zależność, możemy napisać równanie:
( 𝒙 − 𝜶 ) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝜷 ) 𝟐 = 𝒓𝟐 ,
które jest szukanym równaniem okręgu. Możemy je zapisać w innej postaci, a mianowicie:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝛼𝑥 − 2𝛽𝑦 + 𝛼 2 + 𝛽 2 − 𝑟 2 = 0.
Podstawiając
𝑎 = −2𝛼, 𝑏 = −2𝛽, 𝑐 = 𝛼 2 + 𝛽 2 − 𝑟 2
Otrzymujemy równanie o prostszej postaci
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎.
Otrzymane równanie jest równaniem drugiego stopnia o niewiadomych x i y. Zauważmy,
że nie jest to równanie kompletne, gdyż nie zawiera składnika z iloczynem xy, zaś
współczynniki przy 𝑥 2 i 𝑦 2 są równe 1. (Jeśli te współczynniki nie są równe 1, ale są
równe np. n, to dzieląc obie strony równania przez n taką postać otrzymamy. Np.:
1
3
4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 2𝑥 + 3𝑦 − 8 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2 𝑥 + 4 𝑦 − 2 = 0)
Przykład
Na płaszczyźnie xOy dany jest punkt 𝐶 = (2, −1). Napiszmy równanie okręgu 𝑜(𝐶, 3).
Podstawiając do uzyskanego wcześniej wzoru, mamy:
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9.
Przekształcając, otrzymujemy:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0.
Widać, że tu 𝑎 = −4, 𝑏 = 2, 𝑐 = −4, zatem
−2𝛼 = −4 → 𝛼 = 2, − 2𝛽 = 2 → 𝛽 = −1,
zaś
22 + (−1)2 − 𝑟 2 = −4 → 𝑟 = 3.
Warunek istnienia okręgu
Czy równanie typu
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
jest zawsze równaniem okręgu?
Przykład
Rozważmy równanie
𝑥 2 + 𝑦 2 + 4 = 0.
Równanie to nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż nie jest możliwe, by 𝑥 2 + 𝑦 2 = −4!
Oznacza to, że nie ma punktu płaszczyzny o współrzędnych (𝑥, 𝑦), które to równie spełniają. Równanie 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4 = 0 nie jest więc równaniem okręgu.
Ustalmy warunki, przy których równanie
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
jest równaniem okręgu.
Stosując wzór uproszczonego mnożenia, powyższe równanie zapisać możemy w postaci:
𝑎 2 𝑎2
𝑏 2 𝑏2
(𝑥 2 + 𝑎𝑥 ) + (𝑦 2 + 𝑏𝑦) + 𝑐 = 0 → (𝑥 + ) − + (𝑦 + ) − + 𝑐 = 0.
2
4
2
4
Dodając do obu stron
𝑎2
4
+
𝑏2
4
− 𝑐, otrzymujemy:
𝑎 2
𝑏 2 𝑎2 𝑏2
(𝑥 + ) + (𝑦 + ) =
+ − 𝑐.
2
2
4
4
𝑎
𝑏
Lewa strona jest odległością |𝑃𝐶 | punktu 𝑃 = (𝑥, 𝑦) od punktu 𝐶 = (− 2 , − 2), zatem po
stronie prawej musi być liczba nieujemna.
Zatem:
Równanie 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 jest równaniem okręgu wtedy i tyko wtedy, gdy
𝑎 2
𝑏 2
(− ) + (− ) − 𝑐 ≥ 0.
2
2
Współrzędnymi środka okręgu i jego promieniem są liczby:
𝑎 𝑏
𝑎 2
𝑏 2
√
𝐶 = (− , − ) , 𝑟 = (− ) + (− ) − 𝑐 = √1 + 4 + 11 = √16 = 4.
2 2
2
2
Szkicujemy okrąg w układzie współrzędnych:
Rysunek 3
Niektóre przypadki szczególne
Rysunek 4
a. Jeśli 𝛼 = 0, to 𝐶 = (0, 𝛽 ); środek okręgu leży na osi y.
b. Jeśli 𝛽 = 0, to 𝐶 = (𝛼, 0); środek okręgu leży na osi x.
c. Współrzędne punktu O spełniają równanie okręgu; okrąg przechodzi przez początek układu.
d. Jeśli 𝛼 = 𝛽 = 0, to 𝐶 = (0,0); środek okręgu pokrywa się z początkiem układu.
e. Środek okręgu leży na osi y i do okręgu należy początek układu; 𝑟 = √𝛽 2 = |𝛽 |.
f. Środek okręgu leży na osi x i do okręgu należy początek układu; 𝑟 = √𝛼 2 = |𝛼 |.
Uwaga
Zauważmy, że równanie 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 nie jest równaniem funkcji, gdyż
każdej wartości 𝑥 ∈ 𝑅odpowiadają dwie różne wartości y.
2. Prosta i okrąg
Położenie prostej względem okręgu zależy od odległości d prostej od środka okręgu.
Rozważając okrąg o promieniu r, rozpatrzymy możliwe położenia prostej względem
okręgu w zależności od jej odległości d od środka okręgu:
 𝒅 > 𝒓, prosta jest prostą zewnętrzną okręgu, tj. nie ma punktów wspólnych
z okręgiem (rys. a);
 𝒅 = 𝒓, prosta jest prostą styczną do okręgu, tj. ma tylko jeden punkt wspólny
z okręgiem (rys. b);
 𝒅 < 𝒓, prosta jest prostą sieczną, tj. ma dwa różne punkty z okręgiem.
a. Prosta jest prostą ze- b. Prosta jest styczna do c. Prosta jest prostą siecz-
wnętrzną; okrąg i prosta okręgu; prosta i okrąg mają ną; prosta i okrąg mają donie mają punktów wspól- dokładnie jeden punkt kładnie dwa różne punkty
nych.
wspólny.
wspólne.
Rysunek 5
Jeśli chcemy ustalić wzajemne położenie prostej o równaniu 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0 i okręgu
o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, to musimy rozwiązywać układ równań
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
{
𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0
Stosując metodę podstawiania i biorąc pod uwagę znak wyróżnika ∆ równania rozwiązującego, mamy trzy możliwe przypadki:
 ∆< 𝟎, co oznacza, że układ nie ma rozwiązań rzeczywistych, a więc prosta jest
prostą zewnętrzną okręgu;
 ∆= 𝟎, układ ma jedno podwójne rozwiązanie, a więc prosta jest prostą styczną
okręgu;
 ∆> 𝟎, układ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, a więc prosta jest prostą
sieczną okręgu.
Przykład
Ustalmy położenie prostej o równaniu 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 względem okręgu o równaniu
𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0.
Rozwiązujemy układ równań:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0
{
3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
Wyznaczając y z drugiego równania i podstawiając do pierwszego, otrzymujemy
równanie rozwiązujące:
13𝑥 2 − 13 = 0.
𝑥 2 − 1 = 0 → 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −1.
Odpowiednie wartości y są następujące:
𝑦1 = 2; 𝑦2 = −1.
Układ równań ma dwa różne rozwiązania,
zatem prosta jest prostą sieczną okręgu;
punktami
przecięcia
są
punkty:
𝐴 = (1,2) i 𝐵 = (−1, −1), co widać na rysunku obok.
Rysunek 6
3. Proste styczne
Dany jest punkt 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 ) oraz okrąg o równaniu
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
Może zachodzić jeden z trzech następujących przypadków:
1. Punkt P jest punktem zewnętrznym okręgu (rys. a);
2. Punkt P leży na okręgu (rys. b);
3. Punkt P jest punktem wewnętrznym okręgu (rys. c).
Rysunek 7
W pierwszym przypadku mamy dwie proste styczne przechodzące przez punkt P,
w drugim tylko jedną, a w trzecim – żadnej.
Aby znaleźć równania ewentualnych stycznych, na których leży punkt P, w przypadkach
1. i 2., możemy skorzystać z dwóch metod.
Metoda pierwsza: ∆= 𝟎
 Piszemy równanie pęku prostych o wierzchołku P: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ).
 Piszemy układ równań, złożony z równania pęku oraz równania okręgu:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
 { 2
𝑥 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
 Wyznaczamy y z równania pęku i podstawiamy do równania okręgu. Otrzymujemy równanie drugiego stopnia o zmiennej x, którego współczynniki są funkcjami
m.
 Korzystamy z warunku istnienia stycznej, tj. ∆= 0.
 Rozwiązujemy równanie drugiego stopnia względem m.
Jeśli punkt P jest punktem zewnętrznym, to 𝑚1 ≠ 𝑚2 i mamy dwie styczne. Jeśli punkt P
leży na okręgu, to 𝑚1 = 𝑚2 i mamy jedną styczną.
Metoda druga: odległość prostej od środka okręgu jest równa promieniowi
 Znajdujemy współrzędne środka C i promień okręgu.
 Piszemy równanie pęku prostych o wierzchołku P
w postaci ogólnej:
(
)
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 → 𝑚𝑥 − 𝑦 + 𝑦0 − 𝑚𝑥0 = 0.

Stosujemy wzór na odległość punktu od prostej: 𝑑 =
|𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +𝑐|
√𝑎 2 +𝑏2
.
 Obliczoną odległość przyrównujemy do długości promienia.
 Podstawiamy obliczone wartości m do równania pęku.
Przykład
9
Wyznaczmy równania ewentualnych stycznych przechodzących przez punkt 𝑃 = (4 , 0)
do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 = 0.
 Wyznaczamy współrzędne środka C okręgu i jego promień:
𝐶 = (1,0), 𝑟 = 1.
 Piszemy równanie pęku prostych o wierzchołku P:
9
𝑦 − 0 = 𝑚 (𝑥 − ) → 4𝑚𝑥 − 4𝑦 − 9𝑚 = 0.
4
 Obliczamy odległość prostych od punktu C:
|4𝑚 ∙ 1 − 4 ∙ 0 − 9𝑚|
|−5𝑚|
𝑑=
=
.
√16𝑚2 + 16
√16𝑚2 + 16
 Przyrównujemy tak obliczoną odległość do długości promienia:
|−5𝑚|
= 1 → |−5𝑚| = √16𝑚2 + 16.
√16𝑚2 + 16
Podnosimy obie strony do kwadratu:
16
4
25𝑚2 = 16𝑚2 = 16 → 9𝑚2 = 16 → 𝑚2 =
=± .
9
3
 Podstawiamy obliczone wartości m do równania pęku i otrzymujemy równania
stycznych:
4
4
𝑡1 : 𝑦 = 𝑥 − 3, 𝑡2 : 𝑦 = − 𝑥 + 3.
3
3
Rysunek 8
Jeśli punkt P jest punktem okręgu, to poza metodami zaprezentowanymi wyżej, możemy
zastosować również inną metodę.
Metoda trzecia: prosta styczna w punkcie P jako prostopadła do promienia PC
 Wyznaczamy współrzędne środka C okręgu.
 Wyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej r przechodzącej przez punkty
P i C.
1
 Wyznaczamy współczynnik 𝑚′ = − 𝑚 prostej prostopadłej do prostej r.
 Piszemy równanie stycznej: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚′ (𝑥 − 𝑥0 ).
Przykład
Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0
w jego punkcie 𝑃 = (5,5).
Środkiem tego okręgu jest 𝐶 = (1,3). Wyznaczmy jeszcze współczynnik kierunkowy m
prostej CP oraz współczynnik 𝑚⊥ prostej prostopadłej:
𝑦𝑃 − 𝑦𝐶 5 − 3 1
1
𝑚=
=
= , 𝑚⊥ = − = −2.
𝑥𝑃 − 𝑥𝐶 5 − 1 2
𝑚
Teraz możemy już napisać równanie stycznej:
𝑦 − 5 = −2(𝑥 − 5) → 𝑦 = −2𝑥 + 15.
Czwarta metoda: metoda „podwajania”
Wykażemy, że równaniem stycznej do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
w jego punkcie 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 ) jest równanie postaci:
𝑥 + 𝑥0
𝑦 + 𝑦0
𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 + 𝑎
+𝑏
+ 𝑐 = 0.
2
2
Jeśli do równania okręgu
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Podstawimy współrzędne punktu, to uzyskamy równość:
𝑥02 + 𝑦02 + 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 = 0.
Odejmując od pierwszego równania równanie drugie, otrzymujemy:
𝑥 2 − 𝑥02 + 𝑦 2 − 𝑦02 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦0 = 0.
Przekształcając to równanie, otrzymujemy:
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥0 ) + (𝑦 − 𝑦0 )(𝑦 + 𝑦0 ) + 𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) = 0.
Prosta przechodząca przez punkt P ma równanie:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ).
Podstawiając tę zależność do poprzedniego równania, otrzymujemy:
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥0 ) + 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )(𝑦 + 𝑦0 ) + 𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) = 0.
Dzieląc obie strony przez (𝑥 − 𝑥0 ), otrzymujemy:
(𝑥 + 𝑥0 ) + 𝑚(𝑦 + 𝑦0 ) + 𝑎 + 𝑏𝑚 = 0.
Ponieważ punkt P należy do tej krzywej, więc
(𝑥0 + 𝑥0 ) + 𝑚(𝑦0 + 𝑦0 ) + 𝑎 + 𝑏𝑚 = 0,
co po przekształceniach daje
2𝑥0 + 2𝑚𝑦0 + 𝑎 + 𝑏𝑚 = 0,
skąd
𝑎 + 2𝑥0
𝑚=−
.
𝑏 + 2𝑦0
Podstawiając taki współczynnik m do równania 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ), otrzymujemy:
𝑎 + 2𝑥0
(𝑥 − 𝑥 0 ),
𝑦 − 𝑦0 = −
𝑏 + 2𝑦0
a po przekształceniach, mamy
2𝑥𝑥0 + 2𝑦𝑦0 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦0 − 2(𝑥02 + 𝑦02 ) = 0.
Po wyznaczeniu z równania 𝑥02 + 𝑦02 + 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 = 0 𝑥02 + 𝑦02 = −𝑐 − 𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0
i podstawieniu do ostatnio uzyskanego, mamy:
2𝑥𝑥0 + 2𝑦𝑦0 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑦0 + 2𝑐 = 0.
Dzieląc obie strony tego równania przez 2, otrzymujemy ostatecznie:
𝑥 + 𝑥0
𝑦 + 𝑦0
𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 + 𝑎
+𝑏
+ 𝑐 = 0.
2
2
Zauważmy, że wynik ten otrzymamy, dokonując następujących podstawień do wzoru
określającego równanie okręgu:
𝑥 + 𝑥0
𝑦 + 𝑦0
𝑥 2 → 𝑥𝑥0 , 𝑦 2 → 𝑦𝑦0 , 𝑥 →
,𝑦 →
.
2
2
(Podstawienia te stosujemy do wszystkich krzywych stożkowych.)
Przykład
Równaniem stycznej do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0 w jego punkcie
𝑃 = (4,6) jest:
𝑥+4
𝑦+6
4𝑥 + 6𝑦 − 2 ∙
−4∙
− 20 = 0 → 3𝑥 + 4𝑦 − 36 = 0.
2
2
Uwaga
Zauważmy, że jeśli równanie okręgu ma postać 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0, tzn. okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych, to równaniem stycznej w punkcie O jest
równanie 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0.
Uwaga
Jeśli metodę podwajania zastosujemy do punktu P leżącego na zewnątrz okręgu, to
otrzymamy równanie prostej (biegunowa), która przecina okrąg w punktach styczności
𝑇1 i 𝑇2 , co również pozwala wyznaczyć równania stycznych.
4. Wyznaczanie równania okręgu
W równaniu okręgu
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
występują trzy współczynniki a, b i c, które możemy wyznaczyć z trzech warunków
geometrycznych, niezależnych od siebie.
Równanie okręgu możemy znaleźć, jeżeli:
 znamy współrzędne środka okręgu i jego promień;
 znamy współrzędne końców jego średnicy;
 znamy punkt leżący na okręgu oraz współrzędne jego środka;
 znamy trzy niewspółliniowe punkty leżące na okręgu;
 znamy dwa punkty leżące na okręgu oraz równanie prostej, na której leży środek
tego okręgu;
 znamy współrzędne środka okręgu oraz równanie prostej stycznej do tego okręgu.
Poniższy rysunek przedstawia poszczególne sytuacje.
a. Znane są współrzędne środka 𝐶 = (𝑥0 , 𝑦0 ) i promień r okręgu.
b. Znane są współrzędne końców średnicy 𝐴 = (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) i 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ). Środek odcinka AB jest środkiem okręgu, a jego promieniem jest połowa odległości punktów A i B.
c. Okrąg przechodzi przez punkt 𝑃 = (𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 )i znane są współrzędne środka okręgu
𝐶 = (𝑥0 , 𝑦0 ).
d. Okrąg przechodzi przez trzy niewspółliniowe punkty 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑄 =
(𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑅 = (𝑥3 , 𝑦3 ).
e. Okrąg przechodzi przez dwa punkty P i Q , a jego środek C leży na danej prostej s.
Znajdujemy oś symetrii a odcinka PQ; środek C okręgu jest punktem wspólnym
prostych s i a. Promieniem okręgu jest 𝑟 = |𝐶𝑃| = |𝐶𝑄|.
f. Znane są współrzędne środka 𝐶 = (𝑥0 , 𝑦0 )oraz wiadomo, że okrąg jest styczny do
prostej o równaniu 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞. Promień okręgu znajdujemy jako odległość
środka okręgu od prostej.
Rysunek 9
Przykład
Wyznaczmy równanie okręgu o środku 𝐶 = (4,3), który przechodzi przez punkt
𝑃 = (1,2).
Jest to przypadek c., zatem
𝑟 = |𝐶𝑃| = √(4 − 1)2 + (3 − 2)2 = √10,
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 10.
Równaniem szukanego okręgu jest:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 15 = 0.
Na rysunku wygląda to tak:
Rysunek 10
5. Wzajemne położenie dwóch okręgów
Dwa okręgi mogą przecinać się w dwóch punktach, mogą być styczne (zewnętrznie lub
wewnętrznie), jeden może leżeć wewnątrz drugiego (mogą być współśrodkowe lub nie)
oraz mogą być wzajemnie zewnętrzne.
Rysunek 11
By znaleźć ewentualne punkty przecięcia lub punkty styczności, trzeba rozwiązać układ
równań utworzony z równań dwóch okręgów:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
{ 2
𝑥 + 𝑦 2 + 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0
Jeżeli 𝑎 ≠ 𝑎′ i 𝑏 ≠ 𝑏′ , to odejmując stronami, otrzymujemy:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
⊖{ 2
𝑥 + 𝑦 2 + 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0
(𝑎 − 𝑎′)𝑥 + (𝑏 − 𝑏′)𝑦 + (𝑐 − 𝑐′) = 0
Otrzymane równanie jest równaniem liniowym względem x i y, czyli jest równaniem
prostej. Taka prosta nazywana jest osią potęgową dwóch okręgów.
Układ wyjściowy jest równoważny układowi złożonemu z jednego z równań okręgu oraz
z równania osi potęgowej:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
{
(𝑎 − 𝑎′)𝑥 + (𝑏 − 𝑏′)𝑦 + (𝑐 − 𝑐′) = 0
Jeśli dwa okręgi przecinają się w punktach A i B, to oś potęgowa je zawiera; jeśli okręgi
są styczne, to oś potęgowa przechodzi przez punkt styczności T.
Rysunek 12
a. Prosta r jest osią potęgową, na której leżą punkty A i B przecięcia się dwóch
okręgów.
b. Osią potęgową jest prosta t przechodząca przez punkt styczności T okręgów.
c. Oś potęgowa istnieje również dla okręgów, z których jeden leży na zewnątrz drugiego.
Prosta o równaniu (𝑎 − 𝑎′)𝑥 + (𝑏 − 𝑏′)𝑦 + (𝑐 − 𝑐′) = 0 jest osią potęgową dwóch okrę𝑎−𝑎 ′
gów. Ma ona współczynnik kierunkowy 𝑚𝑎 = − 𝑏−𝑏′ . Współczynnik kierunkowy 𝑚𝑐
𝑎
𝑏
𝑎′
2
2
2
prostej przechodzącej przez środki okręgów 𝐶 = (− , − ) i 𝐶 ′ = (−
𝑏′
, − ) wynosi:
2
𝑏 𝑏′
−2 + 2
−(𝑏 − 𝑏′) 𝑏 − 𝑏′
𝑚𝑐 =
=
=
.
′
𝑎 𝑎
(𝑎 − 𝑎′) 𝑎 − 𝑎′
−
−2 + 2
Mnożąc 𝑚𝑎 i 𝑚𝑐 , otrzymujemy:
𝑎 − 𝑎′ 𝑏 − 𝑏′
𝑚𝑎 ∙ 𝑚𝑐 = −
∙
= −1.
𝑏 − 𝑏′ 𝑎 − 𝑎′
Wynik ten oznacza, że oś potęgowa jest prostopadła do prostej, na której leżą środki
okręgów.
Rysunek 13
Jeśli znamy równanie osi potęgowej, to możemy znaleźć ewentualne punkty przecięcia
się okręgów.
Przykład
Wyznaczmy ewentualne punkty wspólne okręgów o równaniach:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 11 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 16𝑦 + 13 = 0.
Znajdźmy równanie osi potęgowej, odejmując stronami równania okręgów:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 11 = 0
⊖{ 2
𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 16𝑦 + 13 = 0
12𝑦 − 24 = 0 → 𝑦 = 2
Oś potęgowa jest zatem prostą równoległą do osi x o równaniu 𝑦 = 2.
Wyznaczmy teraz punkty przecięcia, rozwiązując układ:
−5
𝑥 = −1 ± 4 = {
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 11 = 0
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0
{
→{
→{
3
𝑦=2
𝑦=2
𝑦=2
Punktami przecięcia się okręgów są punkty: 𝐴 = (−5,2) i 𝐵 = (3,2).
Rysunek 14
6. Pęki okręgów
Niech będą dane dwa okręgi 𝜊 i 𝜊′ o równaniach:
𝜊: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0 oraz 𝜊′ : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 − 10 = 0.
Utworzymy teraz wszystkie możliwe kombinacje liniowe tych równań z parametrami p i
q, które nie są równocześnie równe zeru:
𝑝 ∙ (𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 − 10) + 𝑞 ∙ (𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 − 10) = 0.
Równanie to przedstawia nieskończenie wiele okręgów dla różnych p i q. Jest to więc
pęk okręgów generowanych przez okręgi 𝜊 i 𝜊′ .
Jeśli p = 0 i q ≠ 0, to otrzymujemy równanie okręgu 𝜊′ , jeśli natomiast p ≠ 0 i q = 0, to
otrzymujemy równanie okręgu 𝜊.
Ponieważ p i q nie są równocześnie równe zeru, więc zakładając, że p ≠ 0, możemy obie
𝑞
strony równania pęku podzielić przez p. Podstawiając k w miejsce 𝑝, otrzymujemy równanie z parametrem k:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 − 10 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 − 10) = 0.
Dla każdej wartości k otrzymujemy pewien szczególny okrąg, nie ma natomiast takiego
k, dla którego otrzymalibyśmy okrąg 𝜊′ .
Dla k = -1 otrzymujemy równanie prostej 𝑦 = 𝑥, która jest osią potęgową okręgów 𝜊 i 𝜊′ .
Utwórzmy teraz stosowny plik GG.
Rysunek 15
Mamy tu dwa okręgi tworzące o środkach 𝐶 = (3,1) i 𝐶 ′ = (0,4) i promieniach odpowiednio 𝑟 = 2√5 i 𝑟 ′ = √26. Przecinają się one w punktach 𝐴 = (−1, −1) i 𝐵 =
(5,5). Punkty te znajdziemy, rozwiązując układ równań złożony z równania okręgu tworzącego i równania osi potęgowej. Osią potęgową jest prosta będąca dwusieczną ćwiartki pierwszej i trzeciej. Zauważmy ponadto, że jeśli punkt D leży na osi potęgowej, to odcinki 𝐷𝐸 i 𝐷𝐹stycznych do okręgów tworzących mają jednakową długość.
Przejdźmy teraz do określenia.
Niech będą dane dwa okręgi 𝜊 i 𝜊′ o równaniach
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0.
Pękiem okręgów generowanym przez okręgi 𝜊 i 𝜊′ nazywamy rodzinę okręgów opisanych równaniem
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ ) = 0,
gdzie 𝑘 ∈ 𝑅.
Wykonując działania, możemy równanie pęku okręgów zapisać w postaci:
(1 + 𝑘)𝑥 2 + (1 + 𝑘)𝑦 2 + (𝑎 + 𝑘𝑎′)𝑥 + (𝑏 + 𝑘𝑏′)𝑦 + 𝑐 + 𝑘𝑐 ′ = 0.
Dla k ≠ -1 mamy równanie:
𝑎 + 𝑘𝑎′
𝑏 + 𝑘𝑏′
𝑐 + 𝑘𝑐′
𝑥2 + 𝑦2 +
𝑥+
𝑦+
= 0,
𝑘+1
𝑘+1
𝑘+1
zaś dla k = -1 otrzymujemy równanie
(𝑎 − 𝑎′)𝑥 + (𝑏 − 𝑏′)𝑦 + 𝑐 − 𝑐 ′ = 0,
które jest równaniem osi potęgowej.
Oś potęgowa może być rozpatrywana jako szczególny okrąg o nieskończenie długim
promieniu, czyli okrąg zdegenerowany.
Jeśli dwa okręgi 𝜊 i 𝜊′:
 przecinają się w punktach A i B, to wszystkie okręgi pęku przecinają się w tych
punktach, a same punkty A i B nazywamy punktami bazowymi pęku. Prosta AB
jest osią potęgową pęku okręgów;
 są styczne w punkcie A, to wszystkie okręgi pęku przechodzą przez ten punkt,
który jest jedynym punktem bazowym pęku. Oś potęgowa jest prostą styczną w
punkcie A do każdego okręgu pęku. W tym przypadku występuje okrąg zdegenerowany o środku A i promieniu równym zero: jeśli (𝑥0 , 𝑦0 ) są współrzędnymi
punktu A, to taki okrąg ma równanie (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 0. Jeśli ponadto
styczna ma równanie 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, to równanie takiego pęku jest następujące: (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + 𝑘(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ) = 0;
 nie przecinają się i nie są współśrodkowe, to oś potęgowa leży na zewnątrz okręgów;
 są współśrodkowe (𝑎 = 𝑎′ , 𝑏 = 𝑏′), to oś potęgowa nie istnieje.
Miejscem geometrycznym środków okręgów pęku jest prosta prostopadła do osi potęgowej.
Chcąc zbadać pęk okręgów, musimy znaleźć:
a) środek i promień w zależności od k;
b) równania okręgów tworzących;
c) ewentualne punkty bazowe;
d) oś potęgową pęku i prostą do niej prostopadłą;
e) ewentualne okręgi zdegenerowane.
Rysunek 16
ZADANIA
Okrąg i jego równanie
Równanie okręgu
1 Napisz równanie miejsca geometrycznego punktów płaszczyzny, których odległość od
punktu (−3,1) wynosi √5.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0]
2 Napisz równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu
równym
√6
.
2
[2𝑥 2 + 2𝑦 2 = 3]
3 Napisz równanie okręgu o środku w puncie 𝐶 = (2, −3) i promieniu 4.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0]
4 Napisz równanie okręgu o środku 𝐶 = (3,4), którego promień ma długość równą odle3
5
głości punktów (−2, 2) i (1, − 2).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0]
5 Napisz równanie okręgu o środku 𝐶 = (0,3), na którym leży punkt 𝑃 = (2, −1).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 − 11 = 0]
6.Napisz równanie okręgu o środku 𝐶 = (−1,1), na którym leży punkt 𝐴 = (0, −2).
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0]
7 Napisz równanie okręgu o promieniu 3, którego środek znajduje się w punkcie
4
1
𝑃 = (3 , − 2).
[36𝑥 2 + 36𝑦 2 − 96𝑥 + 36𝑦 − 251 = 0]
8 Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach (1,1) i (7,5).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 12 = 0]
9 Napisz równanie okręgu o promieniu 2√3, którego środkiem jest punkt przecięcia
prostej o równaniu 2𝑥 + 3𝑦 = 5 z dwusieczną pierwszej ćwiartki układu współrzędnych.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0]
10 Napisz równania okręgów przedstawionych na wykresach.
Rysunek 17
Od równania do wykresu
11 Wskaż, które z poniższych równań są równaniami okręgu:
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙 + 𝒚 + 𝟓 = 𝟎; 𝒃)𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐 = 𝟎; 𝒄)𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟎.
𝑎 2
𝑏 2
Ad. a) Obliczymy promień wg wzoru 𝑟 = √(− 2 ) + (− 2) − 𝑐, jeśli liczba podpierwiastkowa jest dodatnia.
W tym przypadku mamy: 𝑎 = −1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 5. Zatem:
1 1
18
+ −5 =−
< 0 → równanie nie jest rownaniem okręgu.
4 4
4
Ad. b) Dzieląc obie strony równania przez 2, otrzymujemy:
𝑥2 + 𝑦2 −
𝑥
− 2𝑦 + 1 = 0.
2
𝑎 2
1
𝑏 2
Podstawiamy 𝑎 = − 2 , 𝑏 = −2, 𝑐 = 1 do wyrażenia (− 2 ) + (− 2) − 𝑐:
1 2
1
( ) +1−1=
> 0.
4
16
1
Dane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4 , którego współrzędnymi środka
𝑎
1
2
4
są liczby: 𝑥𝐶 = − =
𝑏
i 𝑦𝐶 = − = 1 (rys.).
2
Rysunek 18
Ad. c) Równanie 𝑥 2 − 𝑦 2 + 5𝑥 = 0 nie jest równaniem okręgu, gdyż współczynniki przy
𝑥 2 i 𝑦 2 są różne.
Wskaż, które z poniższych równań są równaniami okręgu. W przypadku odpowiedzi
pozytywnej oblicz promień okręgu i jego środek oraz narysuj okrąg.
12 𝑎) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 + 3 = 0; 𝑏) 3𝑥 2 − 3𝑦 2 + 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0; 𝑐) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 12𝑦 + 1 = 0.
13 𝑎) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 = 0; 𝑏) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 = 0; 𝑐) 6𝑥 2 + 6𝑦 2 − 2 = 0.
14 𝑎) 5𝑥 2 + 5𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0; 𝑏) (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 4; 𝑐) 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 + 9 = 0.
15 𝑎) 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0; 𝑏) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0; 𝑐) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0.
16 𝑎) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 𝑥(4 + 𝑦); 𝑏) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 = 0; 𝑐) − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 𝑥 − 2𝑦.
17 𝑎) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 − 𝑦 = 0; 𝑏) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 14𝑥 + 8𝑦 + 16 = 0; 𝑐) 𝑥 2 = 𝑦(2 − 𝑦).
Dla jakich wartości parametru k każde z danych równań jest równaniem okręgu?
18 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
[dla każdego 𝑘 ∈ 𝑅]
2
2
19 𝑥 + 𝑦 + (𝑘 − 2)𝑥 + 𝑘𝑦 − 2 = 0
[dla każdego 𝑘 ∈ 𝑅]
20 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 + 3 = 0
21 𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 − 2𝑘𝑥 + 4𝑦 + 8 + 𝑘 = 0
7
[𝑘 ≤ − ]
4
[𝑘 ≤
22 (𝑘 + 1)𝑥 2 + (𝑘 + 1)𝑦 2 + 2𝑘𝑥 + 2𝑦 + 4𝑘 + 3 = 0
1
i 𝑘 ≠ 0]
2
1
[−2 ≤ 𝑘 ≤ − i 𝑘 ≠ −1]
3
1
23 Sprawdź, czy punkty 𝑃 = (−2, − 2) i 𝑄 = (−1, −1) są punktami okręgu o równaniu
𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0. Narysuj okrąg i zaznacz punkty P i Q.
[nie]
24 Sprawdź, że punkty 𝐴 = (3,1) i 𝐵 = (1, −5) nie są punktami okręgu o równaniu
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 = 0. Czy są to punkty wewnętrzne, czy zewnętrzne okręgu?
[𝐴 wewnętrzny, 𝐵 zewnętrzny]
1
3
25 Sprawdź położenie punktów 𝐴 = (1,0), 𝐵 = (2 − 4) , 𝐷 = (0, −1), 𝐸 = (−1,1) wzglę-
dem okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0.
[𝐴 zewnętrzny;𝐵 wewnętrzny; 𝐷 leży na okręgu; 𝐸 zewnętrzny]
26 Oblicz rzędną środka okręgu, na którym leżą punkty (−1,2), (3,2) i (5,4).
[ 6]
Krzywe związane z okręgiem
27 Narysuj krzywą określoną równaniem:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒|𝒙| − 𝟒 = 𝟎.
Ponieważ
|𝑥 | = { 𝑥 dla 𝑥 ≥ 0
−𝑥 dla 𝑥 < 0
więc dane równanie możemy zapisać jako alternatywę dwóch układów równań:
𝑥≥0
𝑥<0
{ 2
lub { 2
2
2
𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 − 4 = 0
𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 4 = 0
Pierwszy z układów spełniają współrzędne wszystkich punktów okręgu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 −
4 = 0, dla których 𝑥 ≥ 0. Okrąg ma środek 𝐶1 = (2,0), promień 𝑟 = 2√2 i należą do niego punkty (0, −2) i (0,2).
Rysunek 19
Drugi układ spełniają współrzędne punktów okręgu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 4 = 0, dla których
𝑥 < 0. Środkiem okręgu jest punkt 𝐶2 = (−2,0), a promień 𝑟 = 2√2.
Rysunek 20
Narysuj krzywe opisane następującymi równaniami:
28
29
30
31
32
33
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2 |𝑥 | − 4 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2|𝑥 | + 2𝑦=0
𝑥 2 + 𝑦 2 + |2𝑥 − 2| + 4𝑦=0
𝑥 2 + 𝑦 2 + |𝑦 + 1| − 9 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 2|𝑦| = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − |4𝑥 − 4| + 2𝑦 + 4 = 0
34
35
36
37
38
39
40
41
𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + |2𝑥 − 2𝑦 − 2| = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2 |𝑥 | + 2 |𝑦 | = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 |𝑥 + 1 | − 4 |𝑦 + 1 | = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 |𝑥 + 𝑦 | = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2 |𝑥 + 𝑦 | − 2 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2|𝑥 − 2𝑦| + 4 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2 |𝑥 − 𝑦 | − 4 |𝑥 + 𝑦 | = 0
42 Wyznacz dziedzinę funkcji 𝒚 = 𝟐 + √𝟒 − 𝒙𝟐 i narysuj jej wykres.
Aby wyznaczyć dziedzinę, należy rozwiązać nierówność
4 − 𝑥 2 ≥ 0 → −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.
Dziedziną funkcji jest zatem zbiór 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅: −2 ≤ 𝑥 ≤ 2}.
Na płaszczyźnie xOy prowadzimy proste o równaniach 𝑥 = −2 i 𝑥 = 2 i wykluczamy
wszystkie punkty, których odcięta jest mniejsza od -2 lub większa od 2.
Rysunek 21
Izolując pierwiastek, otrzymujemy równanie
𝑦 − 2 = √4 − 𝑥 2 ,
które jest równoważne układowi:
𝑦−2 ≥0
𝑦≥2
𝑦≥2
{
→{ 2
→{ 2
2
2
2
(𝑦 − 2) = 4 − 𝑥
𝑦 − 4𝑦 + 4 − 4 + 𝑥
𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 = 0
Na płaszczyźnie xOy rysujemy prostą o równaniu 𝑦 = 2 i odrzucamy wszystkie punkty,
których rzędna jest mniejsza od 2. Równanie 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 = 0 jest równaniem okręgu
o środku 𝐶 = (0,2) i promieniu 𝑟 = 2.
Rysujemy półokrąg w tej części płaszczyzny, której punkty nie zostały wyeliminowane.
Wykres jest następujący:
Rysunek 22
Narysuj wykresy następujących funkcji:
43 𝑦 = 2 + √9 − 𝑥 2
44 𝑦 = √1 − 𝑥 2
45 𝑦 = 3 − √4 − 𝑥 2
46 𝑦 = −√16 − 𝑥 2
47 𝑦 = 2 − √1 − 𝑥 2
48 𝑦 = 3 − √3 + 2𝑥 − 𝑥 2
49 𝑦 = 1 + √2𝑥 − 𝑥 2
50 𝑦 = 5 − √12 − 4𝑥 − 𝑥 2
51 𝑦 = 2 − √6|𝑥| − 𝑥 2
52 𝑦 = √4|𝑥 | − 𝑥 2
53 𝑦 = |−3 + √25 − 𝑥 2 |
54 𝑦 = 1 − √8 + 2|𝑥 | − 𝑥 2
Narysuj wykresy krzywych opisanych następującymi równaniami:
55 𝑥 = √4 − 𝑦 2
56 𝑥 = −√9 − 𝑦 2
57 𝑥 = 1 + √25 − 𝑦 2
58 −2 − √4𝑦 − 𝑦 2
59 𝑥 = −1 − √16 − 𝑦 2
60 𝑥 = 4 − √10𝑦 − 𝑦 2 − 21
61 √2𝑦 − 𝑦 2 = 𝑥 + 2
62 𝑥 = −3 + √6|𝑦| − 𝑦 2
63 𝑥 = |−2 + √4 − 𝑦 2 |
64 |𝑥 | = −2 + √8𝑦 − 𝑦 2
65 √|𝑦| − 𝑦 2 = 𝑥 − 1
66 𝑥 = √4|𝑦| − 𝑦 2
Z podanych równań wyznacz y w funkcji x. Czy otrzymałeś funkcję?
67 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 = 0
68 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
69 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 6𝑦 = 0
70 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 3 = 0
71 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 1
72 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
Od wykresu do równania
73 Korzystając z danych na rysunku, napisz równanie opisujące daną figurę.
Rysunek 23
Zauważmy, że dana figura składa się z półokręgu dla 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 i z półprostej dla 𝑥 > 2.
Półokrąg o rzędnych dodatnich jest częścią okręgu o środku 𝐶 = (1,0) i promieniu 1,
zatem ma on równanie:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 0)2 = 1 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 = 0.
Ponieważ 𝑦 ≥ 0, więc
𝑦 2 = 2𝑥 − 𝑥 2 → 𝑦 = ±√2𝑥 − 𝑥 2 → 𝑦 = √2𝑥 − 𝑥 2 .
Na półprostej leżą punkty (2,0) i (4,1), zatem ma ona równanie:
𝑦−0 𝑥−2
1
=
→ 𝑦 = 𝑥 − 1.
1−0 4−2
2
√2𝑥 − 𝑥 2 dla 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
Na wykresie przedstawiono zatem wykres funkcji 𝑓 (𝑥 ) = { 1
𝑥 − 1 dla 𝑥 > 2
2
Korzystając z danych na rysunkach, napisz równania opisujące dane figury.
74
Rysunek 24
75
Rysunek 25
76
Rysunek 26
77
Rysunek 27
78
Rysunek 28
79 Napisz równanie półokręgu o średnicy OB, gdzie O jest początkiem układu współrzędnych, 𝐵 = (0,4) i który leży w I ćwiartce układu współrzędnych.
[𝑥 = √4𝑦 − 𝑦 2 ]
3
80 Napisz równanie półokręgu o środku w punkcie 𝐶 = (2,0), o promieniu 2, który leży
w IV ćwiartce układu współrzędnych.
7
[𝑦 = −√−𝑥 2 + 4𝑥 − ]
4
Nierówności drugiego stopnia o dwóch zmiennych
81 Przedstaw na płaszczyźnie xOy rozwiązania następujących nierówności:
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 < 𝟐𝒙; 𝒃)𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 > 𝟒.
Ad. a) 𝑥 2 + 𝑦 2 < 2𝑥 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 < 0.
Krzywa o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 = 0 jest okręgiem o środku
𝑎
𝑏
𝑥𝐶 = − = 1, 𝑦𝐶 = − = 0
2
𝑎
i o promieniu
𝑎 2
𝑏 2
√
𝑟 = (− ) + (− ) − 𝑐 = 1.
2
2
Równaniem okręgu jest zatem równanie (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 1, zaś odpowiadająca mu nierówność ma postać
(𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 < 1.
Punkty, których współrzędne spełniają tę nierówność, leżą w odległości mniejszej niż
długość promienia okręgu, a zatem są to punkty wewnętrzne okręgu.
Rysunek 29
2
2
Ad. b) 𝑥 + 𝑦 > 4
Krzywa o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 jest okręgiem o środku 𝑂 = (0,0) i promieniu 2. Daną
nierówność spełniają więc współrzędne punktów, których odległość od środka okręgu
jest większa od długości jego promienia, tzn. punkty zewnętrzne okręgu.
Rysunek 30
Przedstaw na płaszczyźnie xOy rozwiązania następujących nierówności:
82 𝑥 2 + 𝑦 2 > 1
83 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 ≤ 0
84 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 > 0
85 𝑥 2 + 𝑦 2 < 8𝑥
86 |𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 | < 3
87 {
𝑥 2 + 𝑦 2 > 4𝑥
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9
Oblicz pola obszarów złożone z punktów, których współrzędne spełniają układy nierówności:
88 {
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9
𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1
[8𝜋]
89 {
2
2
2
2
𝑥 + 𝑦 ≥ 2𝑥
𝑦 < 9 − ( 𝑥 − 2)2
2
[8𝜋]
90 {
𝑥 + 𝑦 > 4𝑥
𝑥 + 𝑦 2 − 8𝑥 < 0
2
[12𝜋]
Prosta i okrąg
Dla podanych par równań określ położenie prostej względem okręgu. W przypadku, gdy
prosta jest sieczną okręgu lub styczną, znajdź współrzędne punktów wspólnych.
91. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 = 0,
𝑥 − 4 = 0.
[sieczna: (4,0), (4,2)]
2
2
2
2
2
2
2
2
92. 𝑥 + 𝑦 − 8𝑥 + 10𝑦 + 25 = 0,
𝑦 + 9 = 0.
[styczna: (4, −9)]
93. 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 2𝑥 = 0,
𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0.
[sieczna: (−4,0), (−1, −1)]
94. 𝑥 + 𝑦 − 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0,
𝑥 − 𝑦 − 4 = 0.
[sieczna: (3, −1), (6,2)]
95. 𝑥 + 𝑦 − 50 = 0,
3𝑥 + 4𝑦 + 40 = 0.
[zewnętrzna]
96. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 16𝑦 + 60 = 0,
3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0.
[styczna: (6,6)]
97 Oblicz długość cięciwy okręgu o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 12𝑥 + 2𝑦 − 37 = 0, której końcami są punkty wspólne okręgu i prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 + 4.
18
[ √5]
5
98 Dla jakiej wartości parametru k prosta o równaniu 𝑥 = 𝑘 przecina okrąg o równaniu
𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 7 = 0 w dwóch takich punktach A i B, że |𝐴𝐵| = 4.
[−6; 2]
99 Napisz równanie prostej równoległej do osi x, która jest sieczną okręgu o równaniu
2
2
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 8𝑦 = 0 i która wyznacza cięciwę o długości 4√2.
[𝑦 = −7; 𝑦 = −1]
100 Z pęku prostych o równaniu 𝑦 = −2𝑥 + 𝑘 wyznacz proste, które wyznaczają cięciwy
okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 o długości √5.
[𝑘 = −2; 𝑘 = 3]
Oblicz, dla jakich wartości k dana prosta przecina okrąg.
101 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 = 0,
𝑦 = 𝑘𝑥 − 1.
[𝑘 ≤ −√3 lub 𝑘 ≥ √3]
2
2
102 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0,
𝑦 = 𝑘𝑥 + 4.
[ 𝑘 ≥ 0]
103. Dany jest okrąg o równaniu 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0. Dwie proste l i m przecinają się w punkcie (2, −2). Odległość każdej prostej od środka okręgu wynosi 2√5.
Znajdź równania prostych. (Wskazówka: rysunek)
2
26
[𝑦 = 2𝑥 − 6; 𝑦 =
𝑥− ]
11
11
2
2
Rysunek 31
Graficzne rozwiązywanie równań i nierówności niewymiernych
104 Rozwiąż graficznie następującą nierówność niewymierną:
√−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖 + 𝟒 ≥ 𝟐𝒙
Izolujemy pierwiastek:
√−𝑥 2 + 2𝑥 + 8 ≥ 2𝑥 − 4.
Postać ta pozwala rozważać dwie funkcje:
𝑦 = √−𝑥 2 + 2𝑥 + 8 i 𝑦 = 2𝑥 − 4.
By narysować wykres funkcji 𝑦 = √−𝑥 2 + 2𝑥 + 8, wyznaczmy jej dziedzinę:
−𝑥 2 + 2𝑥 + 8 ≥ 0 → −2 ≤ 𝑥 ≤ 4.
Dziedziną tej funkcji jest zatem zbiór 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅: − 2 ≤ 𝑥 ≤ 4}.
Rysunek 32
Równanie funkcji 𝑦 =
+ 2𝑥 + 8 jest równoważne układowi
𝑦≥0
𝑦≥0
{ 2
→{ 2
2
2
𝑦 = −𝑥 + 2𝑥 + 8
𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 8 = 0,
który przedstawia półokrąg o środku (1,0) i promieniu 3.
√−𝑥 2
Rysunek 33
Druga funkcja jest równaniem prostej 𝑦 = 2𝑥 − 4, która przecina oś x w punkcie (2,0).
Rysunek 34
Nierówność √−𝑥 2 + 2𝑥 + 8 ≥ 2𝑥 − 4 jest spełniona przez wszystkie liczby 𝑥 ∈ [−2, 𝛼 ],
gdzie 𝛼 ≈ 3,1 (𝛼 =
√41+9
).
5
Rysunek 35
Rozwiąż graficznie następujące równania i nierówności niewymierne:
105 √−𝑥 2 + 9 = −𝑥 − 1
[𝑥 ≈ −2,6]
106 √4 − 𝑥 2 ≤ −2𝑥 + 2
[−2 ≤ 𝑥 ≤ 0]
107 √−𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 𝑥 + 3
[𝑥1 = −3; 𝑥2 = −1]
108 √−𝑥 2
+ 2𝑥 < 𝑥
[ 1 < 𝑥 ≤ 2]
2
109 −√−(𝑥 − 2)2 + 1 > 3 𝑥
[∅]
1
110 √−𝑥 2 + 25 ≥ 𝑥 + 2
[−5 ≤ 𝑥 ≤ 𝛼, 𝛼 ≈ 3,3]
1
111 −√1 − 𝑥 2 ≤ − 4 𝑥
3
[−1 ≤ 𝑥 ≤ 𝛼, 𝛼 ≈ 0,97]
1
112 −√−𝑥 2 + 2 𝑥 − 2 <
𝑥−1
4
[
9
< 𝑥 < 1]
17
113 √4𝑥 − 𝑥 2 + 12 > −2𝑥 + 5
[𝛼 < 𝑥 < 6, 𝛼 ≈ 0,6]
114 √16 − 𝑥 2 > 4 − 𝑥
[ 0 < 𝑥 < 4]
115 √4𝑥 −
𝑥2
< √3(𝑥 − 2)
[ 3 < 𝑥 ≤ 4]
116 𝑥 ≤ √8𝑥 − 𝑥 2
[ 0 ≤ 𝑥 ≤ 4]
117 √2 − 𝑥 2 > |𝑥 |
[−1 < 𝑥 < 1]
118 −√−𝑥 2 + 8𝑥 − 12 > −1
[2 ≤ 𝑥 < 𝛼1 ; 𝛼2 < 𝑥 ≤ 6, 𝛼1 ≈ 2,3, 𝛼2 ≈ 5,7]
𝑥
119 −√−𝑥 2 − 4𝑥 ≤ − 2 − 2
1
120 2 √1 − 16𝑥 2 ≥ −𝑥
1
4
[−4 ≤ 𝑥 ≤ − ]
5
1
[𝛼 ≤ 𝑥 ≤ , 𝛼 ≈ −0,2]
4
3
121 √4 − (𝑥 − 1)2 < 3𝑥 − 2
3
3
[ <𝑥≤ ]
5
2
122 √6𝑥 − 𝑥 2 + 1 ≥ 𝑥
[0 ≤ 𝑥 ≤ 𝛼, 𝛼 ≈ 3,9]
Rozwiąż graficznie następujące układy:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 1 ≤ 0
123 {
𝑦+𝑥−2 ≥0
2
𝑥 + 𝑦2 = 4
124 {
𝑦 − 2𝑥 + 2 ≤ 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 0
125 {
𝑦+𝑥 >0
𝑦<0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 ≤ 0
126 {
𝑦 + 2𝑥 − 8 ≤ 0
𝑥≥1
2
2
𝑥 + 𝑦 − 4𝑦 = 0
127 {
2𝑦 + 𝑥 − 2 ≥ 0
𝑥 2 + 𝑦 2 < 8𝑥
𝑦+𝑥 <4
128 {
𝑥≤4
𝑦≥0
Oblicz pola obszarów złożone z punktów, których współrzędne spełniają układy nierówności:
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4
2
2
129 𝑥 + 𝑦 − 1 ≥ 0
𝑥≥0
{
𝑦≥0
3
[ 𝜋]
4
𝑥 2 + 𝑦 2 < 2𝑥
130 {
𝑥+𝑦 >1
𝜋
[ ]
2
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 3 < 0
131 {
m
𝑦 − 2𝑥 + 2 > 0
2[2𝜋]
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 1 ≥ 0
3𝑦 + 4𝑥 − 12 ≤ 0
132 {
𝑥≥0
|𝑦 − 1| ≤ 1
9
[ − 𝜋]
2
Proste styczne
Proste styczne poprowadzone z punktu zewnętrznego okręgu
133 Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 − 𝟓 = 𝟎,
przechodzących przez punkt 𝑷 = (−𝟑, −𝟐).
Narysujmy okrąg i punkt P. Okrąg ma środek w punkcie (0,2) i promień 3. Punkt P jest
punktem zewnętrznym okręgu, więc szukane styczne są dwie.
Wybierzmy pierwszą metodę (∆=0). Prosta przechodząca przez punkt P ma równanie
𝑦 + 2 = 𝑚(𝑥 + 3) → 𝑦 = 𝑚𝑥 + 3𝑚 − 2 (wyłączamy prostą o równaniu 𝑥 = −3).
Tworzymy układ równań
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 − 5 = 0
{
𝑦 = 𝑚𝑥 + 3𝑚 − 2
Równaniem rozwiązującym jest równanie:
𝑥 2 (1 + 𝑚2 ) − 2𝑚(4 − 3𝑚)𝑥 + 9𝑚2 − 24𝑚 + 2 = 0.
∆
Wykorzystujemy warunek styczności = 0:
2(
4
𝑚 4 − 3𝑚)2 − (1 + 𝑚2 )(9𝑚2 − 24𝑚 + 7) = 0
7
.
24
Otrzymaliśmy jedną wartość m, której odpowiada równanie stycznej
7
7
9
(𝑥 + 3) → 𝑦 =
𝑦+2 =
𝑥− .
24
24
8
Druga styczna jest prostą równoległa do osi y i ma równanie 𝑥 = −3.
24𝑚 − 7 = 0 → 𝑚 =
Rysunek 36
Zastosujmy drugą metodę (odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi).
Rozważamy pęk prostych o wierzchołku w punkcie P: 𝑚𝑥 − 𝑦 + 3𝑚 − 2=0, z którego
wyłączamy prostą o równaniu 𝑥 = −3. Stosujemy wzór na odległość punktu C od prostej:
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 | |−2 + 3𝑚 − 2|
𝑑=
=
.
√𝑎2 + 𝑏2
√𝑚2 + 1
Odległość ta jest równa 3; rozwiązujemy równanie o niewiadomej m:
|3𝑚 − 4|
7
= 3 → (3𝑚 − 4)2 = 9(1 + 𝑚2 ) → 𝑚 = .
24
√1 + 𝑚2
Szukana prosta ma równanie:
7
9
𝑦=
𝑥− .
24
8
134 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 9 = 0
przechodzących przez punkt 𝑃 = (9,0).
[𝑦 = 0; 3𝑥 + 4𝑦 − 27 = 0]
2
135 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 16𝑦 + 37 = 0
równoległych do osi układu współrzędnych.
[𝑦 = 2; 𝑦 = −14; 𝑥 = −3; 𝑥 = 9]
136 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 18𝑥 − 8𝑦 + 72 = 0
2
przechodzących przez punkt 𝑃 = (3 , 4).
[3𝑥 − 4𝑦 + 14 = 0; 3𝑥 + 4𝑦 − 18 = 0]
137 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 3 = 0 przechodzących przez punkt 𝑃 = (−1,3).
5
31
[𝑥 = −1; 𝑦 = − 𝑥 + ]
12
12
2
2
138 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 6𝑦 − 6 = 0
przechodzących przez punkt 𝑃 = (−3,0).
7
[𝑥 = −3; 𝑦 = − (𝑥 + 3)]
24
Prosta styczna w punkcie należącym do okręgu
139 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟎 w jego
punkcie 𝑷 = (𝟏, 𝟑).
Zastosujemy metodę III: prosta styczna w punkcie P jako prostopadła do promienia PC.
Współrzędnymi środka C okręgu są: (2,1), zaś współczynnik kierunkowy prostej PC jest
równy:
3−1
𝑚=
= −2.
1−2
Rysunek 37
Z warunku prostopadłości prostych wynika, że prosta prostopadła do prostej PC ma
1
współczynnik kierunkowy równy 2:
1
1
5
(𝑥 − 1) → 𝑦 = 𝑥 + .
2
2
2
Zastosujmy metodę IV (podwajania):
𝑥 + 𝑥0
𝑦 + 𝑦0
𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 + 𝑎
+𝑏
+ 𝑐 = 0,
2
2
Gdzie 𝑥0 i 𝑦0 są współrzędnymi punktu styczności, zaś a, b, c są współczynnikami równania okręgu. Otrzymujemy:
𝑥+1
𝑦+3
𝑥 5
3 + 3𝑦 − 4 ∙
−2∙
= 0 → 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑥 − 2 − 𝑦 − 3 = 0 → 𝑦 = + .
2
2
2 2
𝑦−3=
140 Dany jest okrąg o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 4 = 0.
a) sprawdź, że jest on styczny do osi x;
b) napisz równanie stycznej do tego okręgu przechodzącą przez punkt 𝐴 = (2, −6).
[𝑦 = −6]
2
2
141 Dany jest okrąg o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0; sprawdź, że punkt
𝑃 = (2, −3) jest punktem tego okręgu i napisz równanie stycznej przechodzącej przez
punkt P.
[𝑦 = −3]
2
2
142 Napisz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 + 𝑦 + 8𝑥 − 6𝑦 = 0 w jego
punktach przecięcia się z osią y.
[4𝑥 − 3𝑦 = 0; 4𝑥 + 3𝑦 − 18 = 0]
143 Napisz równanie i przedstaw graficznie okrąg o środku 𝐶 = (3, −1), przechodzący
przez punkt 𝑃 = (4,3) oraz równanie stycznej w punkcie P.
1
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0; 𝑦 = − 𝑥 + 4]
4
Proste styczne – ćwiczenia różne
144 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 3 = 0 przechodzących przez punkt 𝑃 = (2,3).
[𝑦 = 3; 3𝑦 − 4𝑥 − 1 = 0]
145 Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑥 −
75
4
= 0 prze-
5
chodzących przez punkt 𝑃 = (2 , −4).
5
9
73
[𝑥 = ; 𝑦 =
𝑥− ]
2
40
16
146 Dla jakich wartości k prosta o równaniu 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 4) jest styczna do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 3 = 0?
2
𝑘 = [± √5]
5
147 Dla jakich wartości k prosta o równaniu 𝑦 + 2𝑥 + 𝑘 = 0 jest styczna do okręgu o
równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 = 0?
[𝑘 = −1 ± √5]
148 Znajdź równania wspólnych stycznych do okręgów o równaniach 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 =
0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 = 0.
Dane okręgi mają środki 𝐶1 = (3,0) i 𝐶2 = (−1,0) oraz promienie 𝑟1 = 3 i 𝑟2 = 1 odpowiednio. Jeśli prosta o równaniu 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 jest wspólną styczną, to jej odległość
od środka pierwszego okręgu wynosi 3, zaś od drugiego wynosi 1. Mamy zatem układ:
{
|3𝑎 + 𝑐 | = 3√𝑎2 + 𝑏2
|−𝑎 + 𝑐 | = √𝑎2 + 𝑏2
Mnożąc obie strony drugiego równania przez 3, otrzymujemy:
|3𝑎 + 𝑐 | = |−𝑎 + 𝑐 |,
czyli
3𝑎 + 𝑐 = ±3(𝑐 − 𝑎).
Stąd 𝑐 = 0 lub 3𝑎 = 0. Jeśli 𝑐 = 0, to każde z równań układu redukuje się do równania
|𝑎| = √𝑎2 + 𝑏2 . Oznacza to, że 𝑏 = 0, czyli prosta styczna ma równanie 𝑥 = 0. Jeśli
𝑐 = 3𝑎, to każde z równań układu redukuje się do postaci |2𝑎| = √𝑎2 + 𝑏2 . Oznacz to, że
𝑏 = ±√3𝑎. Wówczas dla dowolnego 𝑎 ≠ 0 otrzymujemy równania dwóch wspólnych
stycznych:
𝑥 + √3𝑦 + 3 = 0 i 𝑥 − √3𝑦 + 3 = 0,
które przecinają się w punkcie 𝐴 = (−3,0).
Rysunek 38
149 Znajdź równania wspólnych stycznych do okręgów o równaniach 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 −
4𝑦 + 9 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0.
[𝑦 = 0; 2√2𝑥 + 𝑦 − 6√2 + 4 = 0; 2√2𝑥 − 𝑦 − 6√2 − 4 = 0]
150
Spośród równań prostych pęku o wierzchołku 𝑃 = (0,2) wyznacz proste, które są siecznymi, stycznymi bądź zewnętrznymi okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 12 = 0.
4
4
styczne dla 𝑚 = 0 i 𝑚 = − ; sieczne dla − < 𝑚 < 0;
3
3
[
]
4
zewnętrzne dla 𝑚 < − ∨ 𝑚 > 0, 𝑥 = 0
3
151 Napisz równanie stycznej, na której leży początek układu współrzędnych, do okręgu
o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 6𝑦 = 0.
2
[𝑦 = 𝑥]
3
2
2
152 Znajdź punkty wspólne okręgu o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 − 2𝑦 = 0 i prostej o równaniu 𝑦 = 𝑥 − 2, a następnie napisz równania stycznych do tego okręgu w znalezionych
punktach.
[(4,2), (1, −1); 2𝑥 + 𝑦 − 10 = 0; 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0]
153 Narysuj okrąg o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0, znajdź równania stycznych
do tego okręgu w punktach A i B przecięcia z osią y oraz oblicz pole czworokąta CABT,
gdzie C jest środkiem okręgu, zaś punkt T jest punktem przecięcia się stycznych.
1
1
[𝑦 = − 𝑥 + 5, 𝑦 = 𝑥 − 1; [𝐶𝐴𝐵𝑇] = 30]
3
3
2
2
154 Wyznacz środek i promień okręgu o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 − 6𝑦 + 3 = 0. Sprawdź,
że styczne do tego okręgu w punktach o rzędnej 4 przecinają się w punkcie 𝐴 = (2,13).
[(2,3), √10]
Wyznaczanie równania okręgu
Wyznaczanie równania okręgu, gdy dany jest środek i punkt leżący na okręgu
3 1
155 Wyznacz równanie okręgu o środku 𝐶 = (− 2 , 2), na którym leży punkt 𝑃 = (6, −1).
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 𝑦 − 56 = 0]
156 Napisz równanie okręgu, na którym leży początek układu współrzędnych i którego
środkiem jest punkt o rzędnej 2, leżący na prostej o równaniu 𝑦 = 3𝑥 − 4.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 4𝑦 = 0]
157 Napisz równanie okręgu współśrodkowego z okręgiem o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 +
4𝑦 = 0, na którym leży punkt 𝐴 = (1, −8).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 31 = 0]
158 Napisz równanie okręgu, którego środkiem jest punkt przecięcia się prostych r i s,
o równaniach odpowiednio 𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 i 2𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0, na którym leży punkt
wspólny prostej r i osi x.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 3𝑦 − 8 = 0]
159 Dwa okręgi są współśrodkowe; jeden z nich ma równanie 4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 −
7
23 = 0, zaś na drugim leży punkt 𝑃 = (4 , −2). Wyznacz równanie drugiego okręgu.
[16𝑥 2 + 16𝑦 2 − 24𝑥 + 32𝑦 − 7 = 0]
Wyznaczanie równania okręgu, gdy dana jest jego średnica
160 Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach (−3,1) i (2,5).
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0]
161 Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB, gdzie A i B są punktami
przecięcia prostej o równaniu 3𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 z prostymi o równaniach 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
i 2𝑥 + 𝑦 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0]
162 Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek łączący środki boków AB
i AC trójkąta ABC, gdzie 𝐴 = (3,5), 𝐵 = (−5, −1), 𝐶 = (4,3).
[2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 5𝑥 − 12𝑦 + 9 = 0]
163 Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach będących punktami wspólnymi osi układu współrzędnych i prostej o równaniu 5𝑥 − 𝑦 + 6 =
0. Sprawdź, że początek układu leży na tym okręgu.
[5𝑥 2 + 5𝑦 2 + 6𝑥 − 30𝑦 = 0]
164 Punkty 𝐴 = (2,1), 𝐵 = (5,2), 𝐶 = (3,0) są trzema kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz czwarty wierzchołek D równoległoboku i napisz równanie
okręgu, którego średnicą jest odcinek CD.
[𝐷 = (0, −1); 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 + 𝑦 = 0]
Wyznaczanie równania okręgu, gdy dane są trzy jego punkty
165 Dla jakiej wartości parametru c okrąg o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑐𝑥 − 𝑦 + 𝑐 − 1 = 0
przechodzi przez punkt 𝑃 = (−1,2)?
2
[ ]
3
(
)
166 Dla jakiej wartości parametru k punkt 𝑃 = 𝑘 − 1, 2𝑘 leży na okręgu o równaniu
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0?
7
[±√ ]
5
167 Dala jakiej wartości parametru h punkt 𝑃 = (6,8) leży na okręgu o równaniu
𝑥 2 + 𝑦 2 − (ℎ + 3)𝑥 + (−3ℎ + 1)𝑦 + ℎ − 3 = 0? Narysu okrąg i znajdź równanie stycznej
w punkcie P.
[3; 3𝑥 + 4𝑦 − 50 = 0]
168 Napisz równanie okręgu opisanego
na trójkącie o wierzchołkach: (0,0),
(3, √3), (4,0).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 = 0]
169 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty: (3,4), (0, −5), (−2, −1).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0]
170 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty: (9, −1), (1,5), (10,2).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0]
171 Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach:
(−3,4), (1,1), (−3,1).
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0]
Wyznaczanie równania okręgu, gdy znamy dwa jego punkty oraz równanie prostej, na
której leży środek okręgu
172 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty 𝑨 = (𝟏, 𝟐) i 𝑩 = (𝟑, 𝟒), zaś środek
okręgu leży na prostej o równaniu 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏 = 𝟎.
Ponieważ AB jest cięciwą okręgu, więc jej symetralna przechodzi przez środek okręgu.
Wyznaczymy równanie symetralnej odcinka AB wiedząc, że jest to prosta do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek 𝑀 = (2,3). Współczynnik kierunkowy prostej
4−2
AB wynosi 𝑚 = 3−1 = 1, Zatem współczynnik 𝑚⊥ = −1. Równaniem symetralnej jest
zatem równanie: 𝑦 − 𝑦𝑀 = 𝑚⊥ (𝑥 − 𝑥𝑀 ), czyli
𝑦 − 3 = −1(𝑥 − 2) → 𝑦 + 𝑥 − 5 = 0.
Współrzędne środka okręgu obliczymy, rozwiązując układ równań:
𝑥+𝑦−5 =0
𝑥 = −𝑦 + 5
𝑥=4
{
→{
→{
𝑦=1
𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
−4𝑦 = −4
Środek ma współrzędne: 𝐶 = (4,1).
Obliczy teraz długość promienia:
𝑟 = √(4 − 1)2 + (1 − 2)2 = √10.
Szukanym równaniem okręgu jest zatem równanie:
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 1)2 = 10 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0.
Rysunek 39
173 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty 𝐴 = (−1,2) i 𝐵 = (2,5), zaś środek
okręgu leży na prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 2.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0]
174 173 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty 𝐴 = (−1,3) i 𝐵 = (3,1), zaś
środek okręgu leży na prostej o równaniu 3𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 12𝑦 + 20 = 0]
175 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty o odciętych 2 i 5, należące do prostej o równaniu 𝑥 + 3𝑦 − 11 = 0, zaś środek okręgu należy do prostej o równaniu
2𝑥 − 5𝑦 − 1 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0]
176 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty przecięcia się prostej z osiami
układu współrzędnych, zaś środek okręgu należy do prostej będącej dwusieczną II i IV
ćwiartki układu współrzędnych.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0]
177 Wyznacz punkty A i B przecięcia prostej o równaniu 𝑥 − 3𝑦 − 10 = 0 z prostymi
o równaniach: 𝑦 = −2𝑥 − 1 i 𝑦 = −2𝑥 + 6. Napisz równanie okręgu, na którym leżą
punkty A i B, zaś jego środek ma rzędną równą −1.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 = 0]
Wyznaczanie równania okręgu z warunku styczności
178 Napisz równanie okręgu o środku 𝑪 = (−𝟐, −𝟑) i stycznego do prostej o równaniu
𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏.
Ponieważ dana prosta jest styczna do okręgu, wiec jej odległość od środka C okręgu jest
równa promieniowi.
Napiszmy równanie prostej w postaci ogólnej: −3𝑥 + 𝑦 + 1 = 0.
Obliczmy teraz odległość punktu C od tej prostej:
|−3 ∙ (−2) + 1 ∙ (−3) + 1| |6 − 3 + 1|
4
𝑟=
=
=
.
√10
√9 + 1
√(−3)2 + 12
Równaniem okręgu jest zatem:
4 2
57
2
2
(𝑥 + 2) + (𝑦 + 3) = (
) → 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 6𝑦 +
= 0.
5
√10
Rysunek 40
179 Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie 𝐶 = (−2, −5) i stycznego do osi x.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 10𝑦 + 4 = 0]
180 Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie 𝐶 = (2, −2) i stycznego do prostej
o równaniu 𝑦 = 2𝑥 + 3.
41
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 4𝑦 −
= 0]
5
181 Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie 𝐶 = (3,2), stycznego do prostej
przechodzącej przez punkty: 𝐴 = (−1,0), 𝐵 = (−5,3).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0]
182 Dane są proste o równaniach: 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0, 𝑠: 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0, 𝑡: 𝑥 − 𝑦 − 3 =
0. Wyznacz równanie okręgu, którego środkiem jest przecięcia prostych r i s i który jest
styczny do prostej t.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 13 = 0]
183 Napisz równanie okręgu o promieniu 3, leżącego w czwartej ćwiartce układu
współrzędnych, stycznego do osi układu.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0]
184 Napisz równanie okręgu stycznego do osi układu współrzędnych, którego środkiem
jest punkt (−5, −5).
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 + 10𝑦 + 25 = 0]
185 Wyznacz równanie okręgu leżącego w drugiej ćwiartce układu współrzędnych,
stycznego do osi układu, którego środek leży na prostej o równaniu 3𝑥 − 7𝑦 + 20 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0]
186 Wyznacz równania okręgów stycznych do osi układu współrzędnych, których środki są punktami prostej o równaniu 𝑥 − 5𝑦 + 12 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0]
187 Wyznacz równania okręgów stycznych do osi układu współrzędnych, na których
2
leży punkt (3, 3).
[9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 30𝑥 − 30𝑦 + 25 = 0; 9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 102𝑥 − 102𝑦 + 289 = 0]
188 Wyznacz równanie okręgu, na którym leżą punkty 𝑷 = (𝟏, 𝟐) i 𝑸 = (𝟑, 𝟒), stycznego
do prostej o równaniu 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟑.
Do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 należą punkty P i Q, zatem:
𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = −5
{
3𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = −25
Wyraźmy dwie niewiadome w funkcji trzeciej. Odejmując stronami, otrzymujemy:
2𝑎 + 2𝑏 = −20 → 𝑎 + 𝑏 = −10.
Podstawiając 𝑏 = −𝑎 − 10 do równania do równania pierwszego, otrzymujemy:
𝑐 = 𝑎 + 15.
Otrzymaliśmy równanie:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 − (𝑎 + 10)𝑦 + 𝑎 + 15 = 0.
Teraz wykorzystamy fakt, że prosta o równaniu 𝑦 = −3𝑥 + 3 jest styczna do okręgu:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 − (𝑎 + 10)𝑦 + 𝑎 + 15 = 0
{
𝑦 = −3𝑥 + 3
Równaniem rozwiązującym jest równanie: 5𝑥 2 + 2(𝑎 + 3)𝑥 − (𝑎 + 3) = 0.
Warunkiem styczności jest ∆= 0:
(𝑎 + 3)2 + 5(𝑎 + 3) = 0,
skąd
𝑎 = −3, 𝑎 = −8.
Obliczy teraz b i c:
𝑏 = −𝑎 − 10
𝑏 = −7
{
→{
𝑐 = 𝑎 + 15
𝑐 = 12
lub
𝑏 = −𝑎 − 10
𝑏 = −2
{
→{
𝑐 = 𝑎 + 15
𝑐=7
Okręgi spełniające warunki zadania mają więc następujące równania:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 7𝑦 + 120 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0.
Rysunek 41
W poniższych zadaniach dane są dwa punkty P i Q oraz równanie prostej r. Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty P i Q , stycznego do podanej prostej.
189 𝑃 = (5,1); 𝑄 = (0,2); 𝑟: 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0]
190 𝑃 = (−5,1); 𝑄 = (−1,3); 𝑟: 𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0; 4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 39𝑥 − 46𝑦 + 137 = 0]
191 𝑃 = (5, −1); 𝑄 = (3,1); 𝑟: 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 14 = 0]
192 𝑃 = (1, −4); 𝑄 = (3,0); 𝑟: 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0; 4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 46𝑥 + 31𝑦 + 102 = 0]
Wyznaczanie równania okręgu – ćwiczenia różne
193 Wyznacz równanie okręgu, którego środek ma rzędną 3 i na którym leżą punkty
𝐴 = (8,9) i 𝐵 = (12,1).
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0]
194 Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0, przechodzącej przez środek okręgu, na którym leżą punkty (0,2), (1,1), (1,3). Oblicz pole
trójkąta, jaki ta prosta tworzy z osiami układu współrzędnych.
25
[𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0; ]
6
195 Oblicz długość cięciwy okręgu stycznego do osi y, którego środek o rzędnej 3 leży na
prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 5, jeśli jest ona odcinkiem prostej o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 3 =
0.
[4√2]
196 Napisz równania okręgów, których odcięta środka wynosi – 3, zaś promień ma dłu5
1
gość 3√2, stycznych do prostej o równaniu 𝑦 = − 3 𝑥 + 2.
[2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 12𝑥 − 32𝑦 + 101 = 0; 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 12𝑥 + 8𝑦 − 19 = 0 ]
197 Napisz równanie okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu 2𝑥 − 𝑦 = 0
i który przechodzi przez punkty A i B, które są punktami przecięcia prostej o równaniu
𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 z osiami układu współrzędnych.
[3𝑥 2 + 3𝑦 2 − 10𝑥 + 10𝑦 − 32 = 0]
198 Napisz równanie okręgu o środku 𝑂 = (0,0) i promieniu √10, a następnie wyznacz
równania stycznych do tego okręgu, równoległych do prostej o równaniu 𝑥 + 3𝑦 + 5 =
0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 = 10; 𝑥 + 3𝑦 + 10 = 0; 𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0]
199 Okrąg o promieniu √5 ma środek leżący na prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 3, przechodzi przez punkt 𝐴 = (3, −1) i przecina prostą o równaniu 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0. Wyznacz
współrzędne punktów przecięcia.
[(0,2), (4,0)]
200 Wierzchołkami trójkąta są punkty 𝐴 = (1, −3), 𝐵 = (3, −5) i 𝐶 = (4,4). Wyznacz
równanie okręgu o środku w punkcie C i promieniu długości równej wysokości trójkąta,
opuszczonej na AB.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 − 18 = 0]
201 Wyznacz równanie okręgu o środku 𝐶 = (−2, −4) przechodzącego przez punkt
𝐴 = (1,2). Dla jakiej wartości parametru k punkt 𝐵 = (2𝑘 + 1, 𝑘 + 5) leży na tym okręgu?
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 8𝑦 − 25 = 0; 𝑘 = −3]
202 Środek okręgu, który przecina oś x w punktach o odciętych −1 i 2, leży na prostej
7
o równaniu 𝑦 = 6. Oblicz długość cięciwy tego okręgu, która jest odcinkiem prostej
o równaniu 𝑦 = 3𝑥.
6
[ √10]
5
203 Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie 𝐶 = (6, −1), na którym leży punkt
𝑃 = (9,3). Napisz równanie stycznej do tego okręgu w punkcie o odciętej 3 leżącym
w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 2𝑦 + 12 = 0; 3𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0]
204 Sprawdź, że trójkąt o wierzchołkach 𝐴 = (14,2), 𝐵 = (6, −2) i 𝐶 = (10,10) jest trójkątem prostokątnym i napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 16𝑥 − 8𝑦 + 40 = 0]
205 Okrąg przecina oś x w punktach o odciętych −1 i 4 i leży na nim punkt 𝐴 = (3,2).
Napisz równanie tego okręgu oraz równanie stycznej w punkcie A.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 4 = 0; 3𝑥 + 4𝑦 − 17 = 0]
206 Napisz równanie okręgu na którym leży początek układu współrzędnych oraz punkty przecięcia prostej o równaniu 𝑦 = −2𝑥 + 2 z prostą będącą dwusieczną II i IV ćwiartki układu współrzędnych.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 = 0]
207 Wyznacz równania okręgów przechodzących przez punkty 𝐴 = (1,3) i 𝐵 = (5, −3)
mających promień 𝑟 = √26.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 4𝑦 + 14 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑦 − 22 = 0]
208 Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty 𝐴 = (0,10) i 𝐵 = (4,8)
i stycznego do osi odciętych.
[𝑥 2 + (𝑦 − 5)2 = 25; (𝑥 − 40)2 + (𝑦 − 85)2 = 7225]
209 Boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach: 𝑥 = 0, √3𝑥 − 3𝑦 = 0 i 𝑦 =
−
√3
𝑥
3
+ 6. Sprawdź, że trójkąt ten jest ten jest trójkątem równobocznym i napisz rów-
nania okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2√3𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2√3𝑥 − 6𝑦 = 0]
210 Spośród okręgów o środku w punkcie 𝐶 = (−2,3) wyznacz taki, który:
a) przechodzi przez punkt 𝑃 = (1,1);
b) ma styczną, będącą dwusieczną pierwszej i trzeciej ćwiartki;
c) ma promień o długości 5.
1
[𝑐 = 0; 𝑐 = ; 𝑐 = −12]
2
211 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty 𝐴 = (−3,2), 𝐵 = (1, −2) i 𝐶 =
(1,2). Następnie oblicz odległość środka okręgu od prostej r przechodzącej przez punkt
(3,4) i równoległej do prostej o równaniu 𝑦 = −𝑥 + 1.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 7 = 0; 4√2]
212 Wyznacz równanie okręgu, na którym leżą punkty 𝐴 = (4, −2) i 𝐵 = (−2,1) i który
ma środek na prostej o równaniu 6𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0. Następnie napisz równania stycznych do okręgu, równoległych do AB, po uprzednim stwierdzeniu, że A i B są końcami
średnicy okręgu.
1
15
1
15
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 − 10 = 0; 𝑦 = − 𝑥 + , 𝑦 = − 𝑥 − ]
2
4
2
4
213 Wyznacz równanie okręgu o promieniu 5, przechodzącego przez początek układu
współrzędnych i punkt 𝑃 = (7,7). Znajdź przecięcia A i B z osią x, różne od początku
układu, otrzymanych okręgów. Napisz równania stycznych do tych okręgów w punktach
A i B.
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 = 0; 𝐴 = (6,0); 𝐵 = (8,0);
[
3
9
4
32
]
𝑦 = 𝑥 − ;𝑦 = 𝑥 −
4
2
3
3
214 Dla jakich wartości parametru k równanie
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2(𝑘 − 3)𝑥 + 4𝑘𝑦 + 9 = 0
Przedstawia okrąg, a następnie oblicz wartości k, dla których okrąg:
a) ma środek leżący na prostej o równaniu 𝑦 + 4 = 0;
b) przechodzi przez punkt (2, −1);
c) ma promień równy 2√2;
d) ma środek leżący na prostej o równaniu 𝑦 = −𝑥 + 1.
6
13
4
[𝑘 ≤ 0 ∨ 𝑘 ≥ ; 𝑘 = 2; 𝑘 =
; 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = − ; 𝑘 = −4]
5
4
5
215 Napisz równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych,
którego środek leży na prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥, zaś promień ma długość 𝑟 = 3√5.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 12𝑦 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 + 12𝑦 = 0]
216 Napisz równania okręgów, których środki leżą na prostej o równaniu 𝑦 = 2, przechodzą przez punkt 𝐴 = (5, −2), zaś oś x odcina na każdym z nich cięciwę o długości 8.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 14𝑥 − 4𝑦 + 33 = 0]
217 Napisz równania okręgów, z których każdy ma cięciwę o długości 6, odciętą przez oś
y i które mają styczne w punkcie A o rzędnej równej – 4 prostej o równaniu 𝑥 − 3𝑦 −
12 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 14𝑦 + 40 = 0]
218 Napisz równanie okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu 𝑥 − 3𝑦 + 10 =
1
0 i który w punkcie O ma styczną o równaniu 𝑦 = − 2 𝑥.
219 Napisz równania prostych siecznych do okręgu o środku 𝐶 = (2,1) i promieniu
𝑟 = 1, wiedząc, że proste te są równoległe do osi y i odcinają cięciwy o długości √3.
3
5
[𝑥 = ; 𝑥 = ]
2
2
Wzajemne położenie dwóch okręgów
220 Wyznacz ewentualne punkty przecięcia się okręgów o równaniach:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟗 = 𝟎 i 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟎.
Znajdźmy równanie osi potęgowej, odejmując stronami równania układu:
𝑥2 + 𝑦2
+ 2𝑦 − 9 = 0
⊖{ 2
2
𝑥 + 𝑦 − 8𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
8𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0
Oś potęgowa ma zatem równanie 𝑦 = −2𝑥 + 4.
Rozwiązujemy układ równań:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑦 − 9 = 0
{
𝑦 = −2𝑥 + 4
Okręgi przecinają się w punktach: 𝐴 = (1,2) i 𝐵 = (3, −2).
Rysunek 42
Wyznacz ewentualne punkty przecięcia się danych okręgów.
221 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 14𝑦 − 20 = 0.
[𝐴 = (2,2), 𝐵 = (−3, −1)]
2
2
2
2
222 𝑥 + 𝑦 + 8𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0, 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0.
[brak]
2
2
2
2
223 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 3𝑦 + 30 =.
21 3
[𝐴 = (−1,0), 𝐵 = (− , )]
25 25
224 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 16 = 0.
[𝐴 = (2,0)]
2
2
2
2
225 4𝑥 + 4𝑦 + 16𝑥 − 9𝑦 − 43 = 0, 3𝑥 + 3𝑦 + 14𝑥 − 79 = 0.
[brak]
226 Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest wspólna cięciwa okręgów o równaniach 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 4𝑦 + 6 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0]
227 Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez oś y , prostą przechodzącą przez środki
okręgów o równaniach 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 1 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0 oraz ich oś
potęgową.
[15]
228 Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki okręgów o równaniach
𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 6𝑦 − 16 = 0 oraz ich punkty wspólne.
[6√13]
2
2
2
2
229 Sprawdź, że okręgi o równaniach 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 9 = 0 i 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦 − 35 =
0 są styczne wewnętrznie i oblicz współrzędne punktu styczności.
[(4, −1)]
230 Sprawdź, że okręgi o równaniach 𝑥 + 𝑦 − 6𝑥 − 12𝑦 + 40 = 0 i 𝑥 + 𝑦 2 − 9𝑥 −
18𝑦 + 100 = 0 są styczne zewnętrznie i oblicz współrzędne punktu styczności.
[(4,8)]
231 Wyznacz współrzędne punktów A i B przecięcia się okręgów o równaniach
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 20𝑥 + 10𝑦 + 25 = 0 i oznacz przez C punkt (−2,2). Oblicz pole trójkąta ABC.
[[𝐴𝐵𝐶] = 22]
232 Jaki jest promień najmniejszego okręgu, zawierającego okręgi o równaniach
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 i (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 4?
3 + √5
[
]
2
2
2
2
Pęki okręgów
233 Wyznacz równanie pęku okręgów zdefiniowanego przez okręgi o równaniach
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐𝟒 = 𝟎 i 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎.
Napisz równanie osi potęgowej pęku oraz równanie prostej zawierającej środki okręgów.
Utwórzmy kombinację liniową danych okręgów z parametrem k:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 24 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 ) = 0.
Otrzymane równanie jest równaniem pęku generowanym przez dwa okręgi, ale stosując
jeden parametr wyeliminowaliśmy z niego okrąg o równaniu 𝑥 2 +𝑦 2 − 4𝑥 = 0.
Zapiszmy równanie pęku w postaci ogólnej:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 24 + 𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 − 4𝑘𝑥 = 0 →
→ (1 + 𝑘 )𝑥 2 + (1 + 𝑘)𝑦 2 − (4𝑘 + 10)𝑥 − 6𝑦 + 24 = 0.
Równanie osi potęgowej otrzymamy, podstawiając 𝑘 = −1:
−6𝑥 − 6𝑦 + 24 = 0 → 𝑦 = −𝑥 + 4.
Prosta, na których leżą środki okręgów jest prostopadła do osi potęgowej, a zatem jej
współczynnik kierunkowy 𝑚 = 1. Środkiem okrąg o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 = 0 jest
punkt 𝐶 = (2,0), zatem równaniem szukanej prostej jest równanie:
𝑦 = 1 ∙ (𝑥 − 2) → 𝑦 = 𝑥 − 2.
Rysunek 43
Dla każdej pary okręgów zapisz równanie pęku generowanego przez te okręgi. Wyznacz,
jeśli istnieje, równanie osi potęgowej i przedstaw graficznie kilka okręgów pęku.
234 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 2𝑦 = 0.
[−5𝑥 − 3𝑦 = 0]
2
2
2
2
2
2
2
2
235 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 = 0, 𝑥 + 𝑦 − 42𝑥 + 𝑦 − 8 = 0.
[𝑦 = 40𝑥 + 8]
2
2
236 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 3 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 8𝑥 + 7 = 0.
[𝑥 = −1]
2
2
237 𝑥 + 𝑦 − 6𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0, 𝑥 + 𝑦 − 6𝑥 − 6𝑦 = 6 = 0.
[nie istnieje]
238 Dane są okręgi o równaniach: 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 i 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦 = 0. Napisz równanie pęku generowanego przez te okręgi. Napisz równanie osi potęgowej oraz
równanie prostej przechodzącej przez środki okręgów.
[(1 + 𝑘)𝑥 2 + (1 + 𝑘)𝑦 2 − 2𝑥 + (2𝑘 − 2)𝑦 + 1 = 0; 2𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0; 𝑦 = 2𝑥 − 1]
239 Dla pęku okręgów, generowanego przez okręgi o równaniach: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 =
0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 3 = 0, wyznacz:
a) równanie osi potęgowej;
b) równanie prostej, na której leżą środki okręgów;
c) równanie okręgu, na którym leży punkt 𝑃 = (−1,0).
[6𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0; 𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0; 9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 − 15 = 0]
2
2
2
2
7
240 Dwa okręgi ośrodkach 𝐶1 = (2,3) i 𝐶2 = (2 , 6) są styczne zewnętrznie. Wyznacz ich
równania wiedząc, że do pierwszego z nich należy punkt (0,2). Napisz równanie pęku
generowanego przez te okręgi i równanie ich wspólnej stycznej.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 8 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 7𝑥 − 12𝑦 + 47 = 0; 𝑥 + 2𝑦 − 13 = 0]
241 Napisz równanie pęku okręgów generowanego przez okręgi 𝑜1 i 𝑜2 , mające taki sam
promień równy √10 wiedząc, że ich środki leżą na prostej o równaniu 𝑦 = 2 i że środek
𝑜1 ma odciętą – 3, zaś 𝑜2 leży na dwusiecznej I i III ćwiartki układu współrzędnych. Narysuj okręgi 𝑜1 i 𝑜2 i wyznacz:
a) równanie osi potęgowej;
b) równanie okręgu , na którym leży punkt (0,4);
c) równania okręgów stycznych do osi x.
1
[𝑥 = − ; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 ]
2
242 Narysuj okręgi o równaniach 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 18 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 1 = 0,
a następnie napisz równanie pęku okręgów generowanego przez te okręgi. Wyznacz:
a) równanie osi potęgowej;
b) równanie prostej, na której leżą środki okręgów;
c) równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych.
[4𝑥 − 2𝑦 − 9 = 0; 𝑥 + 2𝑦 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 = 0]
Wyznaczanie równań szczególnych pęków okręgów
243 Wyznacz równanie pęku okręgów, przechodzących przez punkty A = (-1, 2) i B = (3,
0).
Aby wyznaczyć równanie pęku okręgów, trzeba utworzyć kombinację liniową równań
dwóch okręgów przechodzących przez punkty A i B.
Jako pierwszy okrąg weźmy okrąg o średnicy AB. Środkiem odcinka AB jest punkt
𝑀 = (1,1), zaś promieniem okręgu jest:
𝑟=
1
1
1
|𝐴𝐵| = √(3 + 1)2 + (−2)2 = √20 = √5.
2
2
2
Równaniem szukanego okręgu jest zatem:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 5 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0.
Jako drugi okrąg może wziąć prostą AB, tj. okrąg zdegenerowany, który jest osią potęgową. Korzystając z równania prostej przechodzącej przez dwa punkty, mamy:
𝑦 − 𝑦𝐴
𝑥 − 𝑥𝐴
𝑦−2 𝑥+1
=
→
=
→ 2𝑦 = −𝑥 + 3 → 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0.
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
−2
4
Kombinacja liniowa otrzymanych równań z parametrem k jest następująca:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 3 + 𝑘(𝑥 + 2𝑦 − 3) = 0.
Równaniem pęku jest zatem:
𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑘 − 2)𝑥 + (2𝑘 − 2)𝑦 − 3𝑘 − 3 = 0.
Wyznacz równania pęków okręgów, na których leżą dane pary punktów.
244 𝐴 = (−2,1), 𝐵 = (2,1).
[ 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑘 − 2)𝑦 − 𝑘 − 3 = 0]
245 𝐴 = (2,3), 𝐵 = (2,7).
[𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑘 − 4)𝑥 − 10𝑦 − 2𝑘 + 25 = 0]
246 𝐴 = (0,0), 𝐵 = (4,4).
[ 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑘 − 4)𝑥 − (𝑘 + 4)𝑦 = 0]
247 𝐴 = (1,0), 𝐵 = (3, −4).
[𝑥 2 + 𝑦 2 + (2𝑘 − 4)𝑥 + (𝑘 + 4)𝑦 − 2𝑘 + 3 = 0]
248 Z pęku okręgów, na których leżą punkty 𝐴 = (−2, −2) i 𝐵 = (2,2), wyznacz okrąg:
a) na którym leży punkt 𝑃 = (1,2);
b) o promieniu √10.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 + 3𝑦 − 8 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0]
249 Spośród okręgów przechodzących przez punkty 𝐴 = (−1, −2) i 𝐵 = (−1,4) wyznacz
taki, który:
a) przechodzi przez początek układu współrzędnych;
b) przechodzi przez punkt 𝑃 = (−1,6);
c) jest styczny do prostej o równaniu 𝑥 = 2.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 9𝑥 − 2𝑦 = 0; nie istnieje; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0]
250 Z pęku okręgów, na których leżą punkty 𝐴 = (−2,2) i 𝐵 = (4,2), wyznacz okrąg:
a) przechodzący przez punkt 𝑃 = (−4,0);
b) o promieniu √10;
c) styczny do osi x.
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 6𝑦 − 24 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 = 0;
[
13
]
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
2
251 Spośród okręgów przechodzących przez punkty 𝐴 = (1,2) i 𝐵 = (3,6) wyznacz taki,
który:
a) ma środek w punkcie 𝐶 = (0,5);
b) jest styczny do prostej o równaniu 𝑦 = −3𝑥 + 5;
c) ma promień o długości 5√2.
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 15 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 15 = 0;
[ 2
]
𝑥 + 𝑦 2 − 16𝑥 − 2𝑦 + 15 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 14𝑦 + 15 = 0
252 Wyznacz równanie pęku okręgów stycznych w punkcie S o odciętej równej 1 do prostej t o równaniu 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟐 = 𝟎.
Aby wyznaczyć równanie pęku okręgów, trzeba utworzyć kombinację liniową równań
dwóch okręgów stycznych w punkcie S do prostej t.
Obliczmy rzędną punktu S:
𝑦 = 3 ∙ 1 − 2 = 1.
Jako pierwszy okrąg weźmy okrąg zdegenerowany o środku S = (1, 1) i zerowym promieniu:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0.
Jako drugi okrąg wybierzemy prostą t, traktując ją jako okrąg zdegenerowany.
Kombinacja liniowa otrzymanych równań z parametrem k jest następująca:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 + 𝑘(3𝑥 − 𝑦 − 2) = 0.
Równaniem pęku jest zatem:
𝑥 2 + 𝑦 2 + (3𝑘 − 2)𝑥 − (𝑘 + 2)𝑦 − 2𝑘 + 2 = 0.
Rysunek 44
Wyznacz równanie pęku okręgów stycznych w danym punkcie do danej prostej.
253 𝑆 = (1,2), 𝑦 = 2𝑥.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + (2𝑘 − 2)𝑥 − (𝑘 + 4)𝑦 + 5 = 0]
254 𝑆 = (0,3), 𝑦 = −5𝑥 + 3.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑘𝑥 + (𝑘 − 6)𝑦 − 3𝑘 + 9 = 0]
255 𝑆 = (1,4), 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + (2𝑘 − 2)𝑥 − (𝑘 + 8)𝑦 + 17 = 2𝑘 = 0]
256 𝑆 = (−2,1), 2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + (2𝑘 + 4)𝑥 + (3𝑘 − 2)𝑦 + 5 + 𝑘 = 0]
257 Spośród wszystkich okręgów stycznych w punkcie 𝑺 = (𝟏, 𝟏) dwusiecznej I i III
ćwiartki układu współrzędnych wskaż te, które są styczne do dwusiecznej II i IV ćwiartki
układu współrzędnych.
Szukane równania okręgu mają postać:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
Okręgi są styczne w punkcie 𝑆 = (1,1):
a) Przechodzą przez punkt 𝑆 = (1,1), czyli
1 + 1 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0.
b)Dwusieczna ma równanie 𝑦 = 𝑥, więc
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
{
𝑦=𝑥
Równaniem rozwiązującym jest zatem równanie:
2𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑐 = 0.
Wykorzystując warunek styczności, otrzymujemy:
∆= (𝑎 + 𝑏)2 − 8𝑐 = 0.
Rozwiązując układ równań
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −2
{
(𝑎 + 𝑏)2 − 8𝑐 = 0,
otrzymujemy:
{𝑏 = −𝑎 − 4
𝑐=2
Równania pęku okręgów stycznych w punkcie 𝑆 = (1,1) dwusiecznej I i III ćwiartki są
więc następujące:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 − (𝑎 + 4)𝑦 + 2 = 0.
Dwusieczna II i IV ćwiartki ma równanie 𝑦 = −𝑥, mamy więc układ:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 − (𝑎 + 4)𝑦 + 2 = 0
{
𝑦 = −𝑥
Z warunku styczności wyróżnik równania rozwiązującego
2𝑥 2 + (2𝑎 + 4)𝑥 + 2 = 0
∆ = 0, czyli 𝑎 (𝑎 + 4) = 0, skąd 𝑎 = 0 lub 𝑎 = −4.
1) Jeżeli 𝑎 = 0, to 𝑥² + 𝑦² − 4𝑦 + 2 = 0.
2) Jeżeli 𝑎 = −4, to 𝑥² + 𝑦² − 4𝑥 + 2 = 0.
258 Z pęku okręgów stycznych do prostej o równaniu 𝑦 = 2 w punkcie o odciętej – 1,
wyznaczyć okrąg:
a) przechodzący przez punkt 𝑃 = (1, −4);
b) o środku w punkcie o rzędnej – 5;
c) o promieniu długości 4.
3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 6𝑥 + 8𝑦 − 25 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 10𝑦 − 23 = 0;
[ 2
]
𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 12𝑦 + 21 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0
259 Z pęku okręgów stycznych do prostej o równaniu 𝑦 = 𝑥 + 3 w punkcie o odciętej
równej 0, wyznaczyć okrąg:
a) przechodzący przez początek układu współrzędnych;
b) o środku w punkcie o odciętej 4;
c) który na osi y odcina cięciwę o długości 3 i nie przechodzi przez początek układu
współrzędnych.
[𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 − 3𝑦 = 0; 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0; 𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥 − 9𝑦 + 18 = 0]
Badanie pęku okręgów
260 Zbadaj pęk okręgów o równaniu
(𝟏 + 𝒌)𝒙𝟐 + (𝟏 + 𝒌)𝒚𝟐 + (𝟐 − 𝟒𝒌)𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏 + 𝟐𝒌 = 𝟎.
Zapiszmy równanie pęku w postaci (𝑘 ≠ −1):
2 − 4𝑘
6
2𝑘 − 1
𝑥2 + 𝑦2 +
𝑥−
𝑦+
= 0.
1+𝑘
1+𝑘
1+𝑘
𝑎
𝑏
Ponieważ
środek
okręgu
ma
współrzędne
𝐶 = (− 2 , − 2), zaś
𝑎 2
promień
𝑏 2
𝑟 = √(− 2 ) + (− 2) − 𝑐, zatem
𝐶=(
2𝑘 − 1 3
,
),
1+𝑘 1+𝑘
i
(2𝑘 − 1)2
9
2𝑘 − 1 √2𝑘 2 − 5𝑘 + 11
𝑟=√
+
−
=
.
(1 + 𝑘 )2
(1 + 𝑘 )2
|𝑘 + 1 |
1+𝑘
Ponieważ wyróżnik wyrażenia 2𝑘 2 − 5𝑘 + 11 jest ujemny, więc trójmian ten jest dodatni dla każdego 𝑘 ∈R.
Wyznaczmy teraz okręgi tworzące pęku oraz ewentualne punkty bazowe.
Przekształcając równanie pęku do postaci
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 1 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2) = 0
stwierdzamy, że równania okręgów tworzących pęku są następujące:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2 = 0.
Odejmując stronami równania układu
{
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2 = 0
otrzymujemy równanie 2𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0, które jest też równaniem osi potęgowej pęku
danych okręgów (możemy je też otrzymać, podstawiając do równania pęku k = - 1).
Rozwiązując układ równań
{
otrzymujemy: 𝑥 =
10±√28
8
=
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2 = 0
2𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
5±√7
.
4
Punktami bazowymi są więc punkty: 𝐴 = (
5+√7 3+√7
, 4 )
4
i𝐵 =(
5−√7 3−√7
4
,
4
).
Ponieważ okręgi tworzące pęku mają środki w punktach (−1,3) i (2,0), więc prosta prostopadła do osi potęgowej ma równanie: 𝑦 = −𝑥 + 2.
Zbadaj następujące pęki okręgów.
261 𝑥 2 + 𝑦 2 − (4𝑘 + 3)𝑦 = 0
[okręgi styczne w punkcie 𝑂 = (0,0)]
262 𝑥 2 + 𝑦 2 + (2𝑘 − 3)𝑥 + (2𝑘 − 7)𝑦 = 0
[okręgi przecinające się w punktach 𝑂 = (0,0) i 𝐴 = (−2,2)]
2
2
263 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 + 2𝑘 − 1 = 0
[okręgi współśrodkowe]
2
2
264 𝑥 + 𝑦 − 4𝑘𝑥 + (𝑘 − 4)𝑦 + 4 − 2𝑘 = 0
[okręgi styczne w punkcie 𝑆 = (0,2)]
2
2
265 (1 + 𝑘)𝑥 + (1 + 𝑘)𝑦 − (𝑘 + 9)𝑥 − 2(5𝑘 − 1)𝑦 + 9𝑘 + 5 = 0
[okręgi przecinające się w punktach 𝐴 = (1,1) i 𝐵 = (4,3)]
2
2
266 (1 + 𝑘)𝑥 + (1 + 𝑘)𝑦 + 2(1 − 4𝑘)𝑥 − 2𝑦 + 15𝑘 = 0
[okręgi nie przecinają się]
2
2
267 (1 + 𝑘)𝑥 + (1 + 𝑘)𝑦 − 4𝑘𝑦 = 4(𝑦 + 3𝑥 )
[kręgi przecinają się w punktach 𝑂 = (0,0) i 𝐴 = (0,4)]
2
2
268 𝑥 + 𝑦 + 2(1 + 𝑘)𝑥 + 2(2 − 𝑘)𝑦 + 2 + 𝑘 = 0
[okręgi styczne w punkcie 𝑆 = (−1, −1)]
2
2
269 (1 + 𝑘)𝑥 + (1 + 𝑘)𝑦 + 2(1 + 𝑘)𝑥 − 4(1 + 𝑘)𝑦 − 1 + 2𝑘 = 0
[okręgi współśrodkowe]
270 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑘𝑥 + (𝑘 − 2)𝑦 − 7 − 𝑘 = 0
[okręgi przecinające się w punktach 𝐴 = (2, −1) i 𝐵 = (−2,3)]
Pęki okręgów – ćwiczenia różne
271 Zbadaj pęk okręgów wyznaczony przez okręgi o równaniach 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 −
2 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 8 = 0. Oblicz, dla jakiej wartości parametru k środek okręgu należy do prostej o równaniu 𝑦 = −8𝑥. Napisz równanie prostej, na której leżą środki danych okręgów. Oblicz promień okręgu, którego środek ma odciętą równą 2.
[okręgi nie przecinają się; 𝑘 = −2; 𝑦 = −5𝑥 + 3; 𝑟 = √65]
272 Zbadaj pęk okręgów o równaniu 𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 − (2𝑘 + 1)𝑥 + (2𝑘 + 1)𝑦 + 𝑘 + 1 = 0.
Wyznacz punkty bazowe, równanie osi potęgowej oraz równanie prostej przechodzącej
przez środki okręgów. Dla jakiej wartości parametru k okrąg:
a) ma środek leżący na prostej o równaniu 𝑦 = −2𝑥 + 3;
b) jest styczny do prostej o równaniu 𝑦 − 𝑥 = 0;
c) który odcina na osi x cięciwę o długości 4.
1
1
[okręgi przecinają się w punktach (0, −1) i (1,0); 𝑘 = ; 𝑘 = −1; 𝑘 = ± ]
4
4
2
2
273 Zbadaj pęk okręgów o równaniu 𝑥 + 𝑦 + 4𝑘𝑥 − (4 + 𝑘)𝑦 + 4 + 2𝑘 = 0. Dla jakiej
wartości parametru k okrąg:
a) ma środek o odciętej równej 4?
b) przecina oś y w punkcie o rzędnej równej – 1?
c) odcina na prostej o równaniu 𝑦 = 1 cięciwę o długości 8√2?
11
[okręgi są styczne w punkcie 𝑆 = (0,2); 𝑘 = −2; 𝑘 = −3; 𝑘 = − , 𝑘 = 3]
2
2
2
274 Zbadaj pęk okręgów o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 + 2𝑘𝑦 − 2 = 0. Oblicz, dla jakiej wartości parametru k okrąg pęku:
a) przechodzi przez punkt 𝑂 = (0,0);
b) przechodzi przez punkt 𝑃 = (−3,4);
c) ma promień o długości 6;
d) ma środek leżący na prostej o równaniu 𝑥 − 𝑦 = 0.
35
[okręgi przecinają się; 𝑘 nie istnieje; 𝑘 = − ; 𝑘 = ±√30; 𝑘 = −2]
8
(
)
275 Dany jest punkt 𝐶 = −1,1 i prosta s o równaniu 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0.
a) Wyznacz punkty przecięcia okręgu ośrodku C i promieniu 𝑟 = √10 z prostą s
i oznacz je A i B.
b) Napisz równanie pęku okręgów przechodzących przez punkty A i B.
c) Wyznacz okrąg pęku, na którym leży punkt C.
d) Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B o promieniu √50.
𝐴 = (0,4), 𝐵 = (2,0); 𝑥 2 + 𝑦 2 + (2𝑘 + 2)𝑥 + (𝑘 − 2)𝑦 − 4𝑘 − 8 = 0;
[ 2
]
𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 + 2𝑦 − 24 = 0 i 𝑥 2 + 𝑦 2 − 14𝑥 − 10𝑦 + 24 = 0
276 Po zbadaniu pęku okręgów o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + (𝑘 − 2)𝑦 + 6 − 2𝑘 = 0, oblicz, dla jakich wartości k otrzymujemy okrąg:
a) o promieniu równym 2;
b) który ogranicz obszar o polu 7𝜋;
c) ma środek, którego odległość od prostej o równaniu 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 jest mniejsza
od 2√5.
[okręgi się przecinają; 𝑘 = 0 i 𝑘 = −4; 𝑘 = −6 i 𝑘 = 2; −6 < 𝑘 < 14]
277 Zbadaj pęk okręgów o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑘 = 0. Dla jakiej wartości k
otrzymujemy okrąg, który:
a) ma minimalny promień?
b) przechodzi przez punkt 𝑃 = (−2,1)?
c) ma promień równy 5?
d) jest styczny do prostej o równaniu 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0?
okręgi współśrodkowe; 𝑘 = 5; 𝑘 = 3; 𝑘 = −20; 𝑘 =
24
5
278 Dany jest pęk okręgów o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑘𝑥 − 2(𝑘 − 1)𝑦 + 2 = 0. Oblicz:
a) środek C okręgów pęku i znajdź miejsce geometryczne tych środków;
b) dla jakich wartości k okręgi mają promień 𝑟 = √6;
c) dla jakich wartości k środek C należy do dwusiecznej I i III ćwiartki układu
współrzędnych.
7
[𝐶 = (2𝑘, 𝑘 − 1), 2𝑦 − 𝑥 + 2 = 0; 𝑘 = , 𝑘 = −1; 𝑘 = −1]
5
279 Zbadaj pęk okręgów o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑘 (𝑥 + 𝑦 − 20) = 0. Jaki okrąg
pęku ma środek w początku układu współrzędnych? Napisz równanie pęku okręgów
symetrycznych do pęku danego względem osi x. Dla jakich wartości parametru k w obu
pękach jest okrąg mający środek na osi y i na osi x?
okręgi nie mają punktów wspólnych; żaden; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑘(𝑥 − 𝑦 − 20) = 0;
[
]
𝑘 = 2, 𝑘 = −4
280 Zbadaj pęk okręgów o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − (2 + 𝑘)𝑥 + (𝑘 − 2)𝑦 + 2 = 0. Wyznacz
okrąg pęku:
a) styczny do osi x;
b) który ogranicza obszar o polu 8𝜋;
c) który jest styczny do prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 5;
d) jest styczny do prostej o równaniu 𝑦 = 𝑥 − 4.
8
[okręgi styczne; 𝑘 = 2(−1 ± √2); 𝑘 = ±4; 𝑘 = ; 𝑘 = 2]
3
2
2
281 Zbadaj pęk okręgów o równaniu 𝑥 + 𝑦 + (2 − 𝑘)𝑥 + (𝑘 − 8)𝑦 − 3 + 𝑘 = 0. Dla
jakich wartości k okrąg pęku:
a) przechodzi przez początek układu współrzędnych;
b) ma promień długości √3;
c) jest styczny do osi y;
5
d) odległość środka okręgu od początku układu jest mniejsza od 2 √2.
[okręgi się przecinają; 𝑘 = 3; 𝑘 = 6 ± √2; 𝑘 = 10 ± 2√6; 1 < 𝑘 < 9]
282 Z wszystkich okręgów stycznych w punkcie 𝑂 = (0,0) do prostej t o równaniu
2𝑥 − 𝑦 = 0 wyznacz te, które są styczne do prostej s o równaniu 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0. Narysuj
te okręgi i wyznacz równanie drugiej stycznej do tych okręgów. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się stycznych.
20
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 4𝑦 = 0; 2𝑥 − 11𝑦 − 20 = 0; ]
3
283 napisz równanie okręgu 𝛾, stycznego do prostej t , na której leżą punkty
𝐴 = (0,3) i B=(6,1), którego środek leży na symetralnej odcinka AB ma odciętą równą 2.
Następnie wyznacz równanie pęku okręgów wyznaczonych przez okrąg 𝛾, których osią
potęgową jest prosta t. Spośród okręgów pęku wyznacz ten, który odcina na osi x cięciwę o długości 3 i nie przecina osi y.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 5𝑥 − 𝑦 + 4 = 0]
284 Z pęku okręgów przechodzących przez punkty 𝐴 = (−2,1) i 𝐵 = (0,5) wyznacz
okręgi:
a) mający najmniejszy promień;
b) jest opisany na kwadracie o boku AB;
c) styczne do osi x. Wyznacz punkty styczności;
d) mający środek o odciętej równej 4.
2
𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 = 5 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 8𝑦 + 15 = 0;
[
]
𝑥 2 + 𝑦 2 − 5𝑦 = 0, 𝑆 = (0,0), 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 − 10𝑦 + 25 = 0, 𝑆 = (−5,0);
2
2
𝑥 + 𝑦 − 8𝑥 − 𝑦 − 20 = 0
Okrąg – ćwiczenia różne
285 Każdy z punktów 𝑃 = (4,1), 𝑄 = (7, −8) i 𝑅 = (10,1) jest środkiem promienia okręgu 𝛾. Oblicz promień tego okręgu.
[𝑟 = 10]
286 Narysuj trójkąta o wierzchołkach 𝐴 = (1,3), 𝐵 = (−3,3), 𝐶, gdzie C jest punktem
wspólnym dwusiecznej II i IV ćwiartki układu współrzędnych i prostej o równaniu
𝑥 − 𝑦 − 2 = 0. Napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznacz styczne do
okręgu w punktach A, B, C i oznacz przez D, E ich punkty przecięcia , gdzie D jest punktem leżącym w I ćwiartce układu współrzędnych. Oblicz pole czworokąta BCDE. Na
przekątnej BD czworokąta znajdź taki punkt P , by |𝐵𝑃| = 2|𝑃𝐷|.
5
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0; [𝐵𝐶𝐷𝐸 ] = 16; 𝑃 = (1, ) ]
3
287 Wyznacz równanie okręgu 𝛾 przechodzącego przez punkty 𝐴 = (−3,4), 𝐵 =
(1,0), 𝐶 = (1,4) i równanie okręgu 𝛾′, którego średnicą jest odcinek o końcach
(−4,2) i (2,6). Po stwierdzeniu, że są to okręgi współśrodkowe, oblicz pole pierścienia
kołowego.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0; 17𝜋]
288 Napisz równanie okręgu o środku w punkcie C , leżącym na osi x i przechodzącego
1
3
przez punkty 𝐴 = (0,2) i 𝐵 = (− 2 , − 2). Oblicz odciętą punktu D przecięcia okręgu
z dodatnią półosią osi x. Znajdź równanie prostych stycznych do okręgu w punktach A i
D oraz ich punkt przecięcia 𝑃. Oblicz pole czworokąta APDC. Spośród prostych równoległych do dwusiecznej II i IV ćwiartki układu współrzędnych wybierz te, które odcinają
5
na okręgu cięciwy o długości 2 √2.
3
𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 4 = 0; 𝐷 = (4,0); 𝑥 = 4, 𝑦 = 𝑥 + 2; 𝑃 = (4,5);
4
[
]
25
[𝐴𝑃𝐷𝐶 ] =
; 𝑦 = −𝑥 + 4, 𝑦 = −𝑥 − 1
2
289 Dany jest trójkąt o wierzchołkach: 𝐴 = (−4,3), 𝐵 = (−6, −3) i 𝐶 = (0, −5). Wyznacz:
a) równanie okręgu opisanego na tym trójkącie;
b) równania stycznych do okręgu prostopadłych do prostej o równaniu
𝑥 − 2𝑦 − 9 = 0;
c) pole równoległoboku wyznaczonego przez styczne i proste o równaniach
𝑦 = 3 i 𝑦 = −7.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0; 2𝑥 + 𝑦 + 15 = 0 i 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0; 100]
290 Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty 𝐴 = (5,1), 𝐵 = (6,4) i mającego środek C leżący na prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 5. Napisz równania prostych
𝑡1 i 𝑡2 , stycznych do okręgu w punktach A i B. Oznaczając przez D punkt przecięcia prostych 𝑡1 i 𝑡2 , oblicz pole czworokąta ADBC.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 20 = 0; 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0; 2𝑥 + 𝑦 − 16 = 0; 𝐷 = (7,2); [𝐴𝐷𝐵𝐶 ] = 5]
291 Znajdź równanie okręgu 𝛾1 o środku w punkcie (2,1) i stycznego do prostej o równaniu 4𝑥 − 3𝑦 = 0 oraz równanie okręgu 𝛾2 przechodzącego przez początek układu
współrzędnych i punkt (√3, 1), którego średnica zawiera się w prostej o równaniu
𝑦 = 𝑥 + 2. Oblicz pole trójkąta PQR, gdzie 𝑃 = (−1,3), zaś Q i R są punktami przecięcia
prostych 𝛾1 i 𝛾2 .
14
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 = 0; [𝑃𝑄𝑅] = ]
5
292 Wyznacz równania dwóch okręgów, których środki leżą na dwusiecznej I i III
ćwiartki układu współrzędnych, są styczne do prostej o równaniu 𝑦 = 3𝑥 + 1 i mają
promień równy
√10
.
20
Sprawdź, że środek odcinka łączącego środki okręgów jest punktem
1
3
przecięcia się prostych o równaniach 𝑦 = 2𝑥 + 2 i 𝑦 = 4𝑥 + 2.
1 2
1 2
1
3 2
3 2
1
[(𝑥 + ) + (𝑦 + ) =
; (𝑥 + ) + (𝑦 + ) = ]
4
4
40
4
4
40
293 Dany jest trójkąt prostokątny z katem prostym w wierzchołku C. Bok AB zawiera się
w prostej o równaniu 𝑦 = 3𝑥 − 14 i ma długość 4√10 , zaś bok CB zawiera się w prostej
o równaniu 𝑥 − 5𝑦 + 14 = 0. Napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie wiedząc, że rzędna punktu A jest ujemna.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0]
294
a) Narysuj krzywą 𝛾 o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4|𝑥| − 4|𝑦| = 0.
b) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą 𝛾.
c) Napisz równanie okręgu opisanego na 𝛾.
[32 + 16𝜋; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 32]
295 Rozważ okrąg o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 20 = 0 i jego obraz w symetrii względem
osi y. W część wspólną tych okręgów wpisz prostokąt o obwodzie 4(1 + √11) i oblicz
współrzędne jego wierzchołków.
[𝐴 = (1, √11), 𝐵 = (1, −√11), 𝐶 = (−1, √11), 𝐷 = (−1, −√11)]
296 Napisz równania stycznych do okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 9𝑦 − 9 = 0, poprowa3
dzone z punktu (2 , 3) i sprawdź, że są one prostopadłe. Wyznacz współrzędne punktów
styczności i oblicz długość cięciwy, która je łączy.
9 3 3√26
[2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0; 6𝑥 + 4𝑦 − 21 = 0; (−3,0), ( , − ) ;
]
2 2
2
297 Rozważ okręgi o równaniach: 𝛾1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2 i 𝛾2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. Sprawdź, że styczne
do okręgu 𝛾1 poprowadzone z dowolnego punktu okręgu 𝛾2 są prostopadłe.
298 Napisz równanie okręgu, na którym leżą punkty 𝐴 = (0, −1) i 𝐵 = (−3,0), zaś środek C jest punktem prostej równaniu 6𝑥 − 𝑦 + 4 = 0. Przez punkt D przecięcia okręgu z
dodatnią częścią osi x poprowadź cięciwę DE, równoległą do osi y i znajdź równania
stycznych do okręgu w punktach D i E , które przecinają się w punkcie F. Oblicz pole
czworokąta CDFE i znajdź równanie okręgu opisanego na tym czworokącie.
3
41
3
9
100
𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 − 9 = 0; 𝑦 = − 𝑥 + ; 𝑦 = 𝑥 − ; [𝐶𝐷𝐹𝐸 ] =
;
[
4
4
4
4
3 ]
3𝑥 2 + 3𝑦 2 − 25𝑥 − 24𝑦 + 48 = 0
299 Napisz równanie okręgu stycznego w początku układu współrzędnych do dwusiecznej II i IV ćwiartki, którego środek leży na prostej o równaniu 𝑦 = 5𝑥 − 8.
Rozważ następnie dwa trójkąty równoboczne OAB i OAC, których jednym z boków jest
średnica OA okręgu. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C (𝑥𝐵 < 𝑥𝐶 ), obwód i pole
czworokąta OCAB.
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 4𝑦 = 0; 𝐵 = (2 − 2√3, 2 + 2√3), 𝐶 = (2 + 2√3, 2 − 2√3);
[
]
2𝑝 = 16√2; [𝑂𝐶𝐴𝐵] = 16√3
300
a) Napisz równania okręgów 𝛾1 i 𝛾2 o środku 𝐴 = (4,0), przechodzących przez
punkty odpowiednio 𝐵 = (7,0) i 𝐶 = (1, −4).
b) Wyznacz równania stycznych do okręgu 𝛾1 , na których leży punkt D przecięcia
okręgu 𝛾2 z dodatnią częścią osi odciętych. Niech E i F będą punktami styczności.
c) Oblicz pole czworokąta AFDE.
3
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 7 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 9 = 0; 𝑦 = ± (𝑥 − 9); [𝐴𝐹𝐷𝐸 ] = 12]
4
301 Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: 𝐴 = (9, −1), 𝐵 =
(1,5) i 𝐶 = (10,2). Poprowadź styczne do okręgu w punktach A, B, C i oznacz ich punkty
przecięcia przez D i E. Oblicz obwód i pole czworokąta ABDE utworzonego przez te
styczne i przez odcinek AB.
130
250
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0; 2𝑝 =
; [𝐴𝐵𝐷𝐸 ] =
]
3
3
302 Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi y w punkcie (0,3), którego środek leży
na prostek o równaniu 𝑦 = 𝑥 − 1. Oblicz długość cięciwy AB, którą na okręgu odcina
prosta o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 oraz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0; 4√2; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0]
303
a) Z pęku okręgów, stycznych do prostej o równaniu 4𝑥 + 3𝑦 − 23 = 0 w jej punkcie o odciętej 2, wybierz okręgi 𝛾1 i 𝛾2 o promieniach 5 i 10 mające środki leżące
odpowiednio w drugiej i pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.
b) Wyznacz równanie okręgu 𝛾3 , który jest obrazem symetrycznym okręgu
𝛾2 w symetrii środkowej względem punktu (2,5).
c) Oblicz pole obszaru ograniczonego okręgiem 𝛾3 , z którego usunięto obszar ograniczony okręgiem 𝛾1 .
𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 − 17 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 20𝑥 − 22𝑦 + 121 = 0;
[
]
𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 + 2𝑦 − 63 = 0; 75𝜋
304
a) Napisz równanie okręgu o promieniu 5, którego środek C leży na dwusiecznej
ćwiartki I i III (𝑥𝐶 > 0) i który odcina na osi x cięciwę AB o długości 8 (𝑥𝐴 < 𝑥𝐵 ).
b) Po wyznaczeniu współrzędnych punktów A i B, znajdź równanie stycznej do
okręgu równoległej do prostej AC, która przechodzi przez punkt styczności D
o dodatniej rzędnej.
c) Oblicz pole czworokąta ACDE, gdzie E jest punktem wspólnym wyznaczonej
stycznej i osi x.
d) Dla jakich wartości h punkt 𝑃 = (ℎ − 1, ℎ) jest punktem wewnętrznym okręgu?
125
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 − 7 = 0; 4𝑦 − 3𝑥 − 28 = 0; 𝐷 = (0,7); [𝐴𝐶𝐷𝐸 ] =
; 0 < ℎ < 7]
3
305 Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie, którego boki zawierają się
w prostych o równaniach: 𝑦 = 3𝑥 − 7, 𝑦 = 𝑥 + 1 i 𝑦 = −2𝑥 − 2. Oznaczając przez A
wierzchołek trójkąta, który leży w I ćwiartce, a przez B wierzchołek leżący na osi x, wŷ taki punkt P , by pole trójkąta PBC stanowiło 8 pola trójkąznacz na mniejszym łuku 𝐴𝐵
ta ABC.
15
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 9 = 0; 𝑃 = (1,4)]
306 Dany jest trójkąt o wierzchołkach 𝐴 = (1,2), 𝐵 = (−7,6) i 𝐶 = (−1,0). Napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie oraz równanie okręgu o środku C i stycznego
do prostej AB.
[𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 8𝑦 + 5 = 0; 5𝑥 2 + 5𝑦 2 + 10𝑥 − 31 = 0]
307 Sprawdź, że trójkąt o wierzchołkach 𝐴 = (0,2), 𝐵 = (4, −6) i 𝐶 = (6,0) jest trójkątem równoramiennym. Napisz równanie okręgu:
a) opisanego na trójkącie ABC;
b) o środku C , na którym leżą A i B;
c) o środku C i stycznego do prostej AB.
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 4 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 16 = 0]
308 Punkt przecięcia prostych o równaniach 𝑦 = −𝑥 + 5 i 2𝑥 − 𝑦 − 7 = 0 jest środkiem
okręgu o promieniu 𝑟 = √10.
Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie A i B są punktami przecięcia okręgu z osią x, zaś punkt C
jest punktem przecięcia stycznych w punktach A i B.
[[𝐴𝐵𝐶] = 27]
309 Okrąg o środku 𝐶 = (1,2) i średnicy 𝑑 = 2√10 przecina oś y w punktach P i Q. Oblicz pole czworokąta PCQR, gdzie R jest punktem przecięcia stycznych, poprowadzonych
w punktach P i Q okręgu.
[[𝑃𝐶𝑄𝑅] = 30]
310 Dane są okręgi 𝛾1 i 𝛾2 o środkach odpowiednio 𝐶1 = (−2,0) i 𝐶2 = (2,0) i promieniach 𝑟1 = 𝑡 i 𝑟2 = 2𝑡, gdzie 𝑡 > 0.
a) Wyznacz, dla jakich wartości t dane okręgi są styczne zewnętrznie i napisz równania wspólnych stycznych.
b) Wyznacz, dla jakich wartości t dane okręgi się przecinają i wyznacz w funkcji t
długość cięciwy, której końcami są punkty przecięcia.
c) Wyznacz wartość t, dla której cięciwa ma długość √15.
4
4
√−9𝑡 4 + 160𝑡 2 − 256
𝑡 = , 3𝑥 + 2 = 0, √2𝑥 ± 4𝑦 + 6√2 = 0; < 𝑡 < 4,
;
3
3
4
2
𝑡
=
2,
𝑡
=
√31
[
]
3
311 Dane są punkty 𝐴 = (0,4), 𝐵 = (0, −2), 𝐶 = (5,0) oraz punkt 𝑃 = (ℎ, 𝑘), gdzie
ℎ, 𝑘 ∈ 𝑅; niech punkty 𝐴′ , 𝐵′ i 𝐶′ będą rzutami prostokątnymi punktu P na proste BC, AC
i AB.
a) Napisz równanie okręgu 𝛾, na którym leżą punkty A, B, C.
b) Sprawdź, że punkt P należy do okręgu 𝛾 wtedy i tylko wtedy, gdy punkty A, B, C
są współliniowe.
̂ ; znajdź takie
c) Oblicz pole trójkąta ABP, jeśli punkt P należy do mniejszego łuku 𝐴𝐵
położenie punktu P, w którym to pole jest maksymalne.
17 − √1189
[5𝑥 2 + 5𝑦 2 − 17𝑥 − 10𝑦 − 40 = 0; [𝐴𝐵𝑃] = 3|ℎ|, 𝑃 = (
, 1)]
10
312 Dane są punkty 𝐴 = (0,0), 𝐵 = (2,0), 𝐶 = (4,0) oraz punkt 𝑃 = (0,2𝑡). Oznacz przez
D środek odcinka AP, zaś przez E punkt przecięcia prostej CD z prostą PB.
a) Napisz równania okręgów, na których leżą punkty P, A, B i C, A, D.
b) Znajdź punkt 𝑄 ≠ 𝐴 przecięcia się tych okręgów oraz jego miejsca geometrycznego w zależności od położenia punktu P na osi rzędnych.
c) Wyznacz takie położenie punktu P, różne od położenia punktu A, dla którego
punkt Q leży na prostej 𝑦 = 𝑥.
6𝑡 2
12𝑡
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑡𝑦 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 𝑡𝑦 = 0; 𝑄 = ( 2
, 2
),
[
𝑡 +4 𝑡 +4 ]
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 = 0; 𝑃 = (0,4)
313 Dane są punkty 𝑃 = (0,3), 𝐵 = (−2,1) i prosta r o równaniu 11𝑥 − 3𝑦 + 25 = 0.
a) Sprawdź, że punkt B leży na prostej r i napisz równanie okręgu 𝛾 przechodzącego
przez punkt P i stycznego w punkcie B do prostej r.
b) Znajdź równanie prostej s stycznej do 𝛾 w jego punkcie D o odciętej 3 i dodatniej
rzędnej.
c) Oznacz przez C środek okręgu 𝛾, a przez A punkt przecięcia prostych r i s .
Sprawdź, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg i napisz równanie tego
okręgu.
d) Oblicz pole czworokąta ABCD.
2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 3𝑥 − 𝑦 − 15 = 0; 9𝑥 + 7𝑦 − 41 = 0; 4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 𝑥 − 27𝑦 + 5 = 0;
[
]
65
[𝐴𝐵𝐶𝐷 ] =
4
314 Dane są punkty 𝐴 = (−2,2) i 𝐵 = (1,4) oaz dowolny punkt C prostej r o równaniu
𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0.
a) Znajdź miejsce geometrycznego środków okręgów przechodzących przez punkty
A i B.
b) Znajdź taki punkt C , że BC będzie średnicą okręgu i oznacz go 𝐶1 .
c) Znajdź taki punkt C , że AC będzie średnicą okręgu i oznacz go 𝐶2 .
d) Oblicz pole czworokąta 𝐴𝐶1 𝐶2 𝐵.
1 11
7 1
247
[6𝑥 + 4𝑦 − 9 = 0; 𝐶1 = ( , − ) ; 𝐶2 = ( , ) ; [𝐴𝐶1 𝐶2 𝐵] =
]
4
8
2 4
16
1−𝑘 2
2𝑘
315 Dany jest punkt 𝑃 = (1+𝑘 2 , 1+𝑘 2 ), gdzie 𝑘 ∈ 𝑅.
a) Wykaż, że przy zmianie k punkt P zakreśla okrąg jednostkowy o środku
𝑂 = (0,0).
b) Zapisz, w funkcji k, równanie stycznej t w punkcie P.
c) Niech punkty A i B będą punktami wspólnymi okręgu i osi układu o dodatniej
rzędnej i odciętej, zaś punkty C i D punktami przecięcia prostej t z osiami układu
pierwszej ćwiartki. Dla jakiej wartości k czworokąt ABCD jest trapezem?
d) Oblicz pole trapezu ABCD.
1
[(1 − 𝑘 2 )𝑥 + 2𝑘𝑦 − (1 + 𝑘 2 ) = 0; 𝑘 = √2 − 1; [𝐴𝐵𝐶𝐷] = ]
2
(
)
316 Na płaszczyźnie kartezjańskiej xOy dany jest punkt 𝐴 = 0,4 .
a) Znajdź miejsce geometryczne punktów P , które spełniają zależność |𝑃𝑂|2 +
2|𝑃𝐴|2 = 32. Narysuj wykres tego miejsca geometrycznego.
b)
Niech T będzie punktem okręgu o takiej samej rzędnej jak punkt A, leżącym w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Napisz równanie stycznej t do okręgu w punkcie T.
c)
Niech B będzie punktem przecięcia prostej t z osią x. Wyznacz miarę kata
BTO i oblicz współrzędne ortocentrum trójkąta OBT.
16
4
4
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑦 = 0; 𝑦 = −√3𝑥 + 8; 60°; ( √3, )]
3
3
3
317 Dane są punkty: 𝐴 = (3,3) i 𝐵 = (1, −1). Wyznacz:
a) równanie okręgu 𝛾 przechodzącego przez punkty A i B, którego środek leży na
prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 3;
b) równanie stycznej do 𝛾 w punkcie A;
c) równanie okręgu stycznego w punkcie A di 𝛾, którego środek leży na prostej
o równaniu 4𝑥 + 𝑦 − 18 = 0;
d) równanie prostej PQ, gdzie P i Q są wierzchołkami trójkąta równobocznego APQ,
wpisanego w 𝛾.
2
[𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 = 0; 𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 7𝑥 − 8𝑦 + 27 = 0; 4𝑦 + 2𝑥 − 3 = 0]
318 Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty 𝐴 = (3, −4) i 𝐵 =
(−4, −3), którego środek leży na prostej o równaniu 2𝑥 − 3𝑦 = 0. Niech C będzie punktem półokręgu leżącego powyżej osi x. Znajdź miejsce geometryczne barycentrum trójkąta ABC, gdy zmienia się położenie punktu C.
7
[𝑥 2 + 𝑦 2 = 25; 9𝑥 2 + 9𝑦 2 + 6𝑥 + 42𝑦 + 25 = 0, gdy 𝑦 > − ]
3
319 Napisz równanie okręgu 𝛾 przechodzącego przez punkt O i stycznego do prostej
o równaniu −3𝑥 + 2𝑦 − 13 = 0 w jej punkcie o odciętej równej – 1. Niech punkty A i B
będą punktami przecięcia 𝛾 z osiami układu współrzędnych. Wyznacz punkt P półokręgu, który nie zawiera punktu O tak, by pole czworokąta OAPB było równe 17.
17 85
[𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 = 0; 𝑃1 = (5,1), 𝑃2 = ( , )]
13 13
320
a) Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt 𝐴 = (0, −1), którego środek o dodatniej rzędnej leży na prostej o równaniu 4𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0, zaś promień
5
ma długość 2.
b) Spośród pęku prostych o wierzchołku A wyznacz tę, która odcina na okręgu cięciwę o długości 2√5.
5
c) Z punktu 𝐵 = (2 , −6) poprowadź styczne do okręgu, znajdź ich równania i punkty styczności C i D. Oblicz obwód i pole trójkąta BCD.
𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑦 − 4 = 0; 𝑦 = −2𝑥 − 2, 𝑦 = 2𝑥 − 1;
[
5 3
3
135]
2𝑥 − 5 = 0,4𝑥 + 3𝑦 + 8 = 0; 𝐶 = (−2,0), 𝐷 = ( , ) , 2𝑝 = 15 + √10, [𝐵𝐶𝐷] =
2 2
2
8
Okrąg i układy z parametrem
321 Rozwiąż graficznie układ z parametrem k:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎
{ 𝒚 = 𝒌𝒙 − 𝟑𝒌 − 𝟏
𝒚≥𝟎
Pierwsze równanie jest równaniem okręgu o środku 𝐶 = (−1,0) i promieniu 𝑟 = 3.
Równanie drugie jest równaniem pęku prostych, które możemy zapisać w postaci
𝑦 + 1 + 𝑘(−𝑥 + 3) = 0. Prostymi tworzącymi tego pęku są proste o równaniach
𝑦 = −1 i 𝑥 = 3, zaś wierzchołkiem pęku jest punkt 𝑃 = (3, −1).
Rozwiązaniami danego układu są współrzędne punktów przecięcia prostych pęku z półokręgiem leżącym w górnej półpłaszczyźnie układu współrzędnych.
Wyznaczmy, dla jakich k proste pęku przecinają półokrąg, którego średnicą jest odcinek
o końcach 𝐴 = (−4,0) i 𝐵 = (2,0).
Proste pęku przecinające półokrąg zawarte są między prostą s przechodzącą przez
punkt A i prostą t, styczną do okręgu.


Rysunek 45
Prosta t przechodząca przez punkt A odpowiada parametrowi, który uzyskamy podstawiając współrzędne (−4,0) do równania pęku:
1
1 + 𝑘 (4 + 3) = 0 → 𝑘 = − .
7
Prosta styczna t odpowiada parametrowi, który otrzymamy obliczając odległość prostej o równaniu 𝑦 = 𝑘𝑥 − 3𝑘 − 1 od środka 𝐶 = (−1,0) okręgu o promieniu 3:
|1 + 𝑘 + 3𝑘|
−4 ± 6√2
=3→𝑘=
.
7
√1 + 𝑘 2
Są dwie proste styczne, ale warunki zadania spełnia prosta o ujemnym współczynniku
kierunkowym, czyli
−4 − 6√2
𝑘=
.
7
 Niech prosta w pęku przechodzi przez punkt 𝐵 = (2,0). Odpowiadająca jej wartość k
wynosi:
1 + 𝑘(−2 + 3) = 0 → 𝑘 = −1.
Proste zawarte między prostymi t i w mają z półokręgiem dwa punkty wspólne, zatem
dla
−4 − 6√2
≤ 𝑘 ≤ −1
7
układ ma dwa rozwiązania.
Proste zawarte między w i s przecinają okrąg w jednym punkcie, zatem dla −1 < 𝑘 ≤
1
− 7 układ ma jedno rozwiązanie.
Zmieniając k, mamy następujące wyniki:
−4 − 6√2
7
−4 − 6√2
dla 𝑘 =
7
−4 − 6√2
dla
< 𝑘 < −1
7
dla 𝑘 = −1
1
dla − 1 < 𝑘 < −
7
1
dla 𝑘 = −
7
1
dla k > −
7
Krótko, układ ma:
brak rozwiązań
dla 𝑘 <
1) 2 rozwiązania dla
−4−6√2
7
2 rozwiązania (jednakowe)
2 rozwiązania
2 rozwiązania ( w tym krańcowe 𝑥 = 2)
1 rozwiązanie
1 rozwiązanie (krańcowe 𝑥 = − 4 )
brak rozwiązań
≤ 𝑘 ≤ −1;
1
2) 1 rozwiązanie dla −1 < 𝑘 ≤ − 7.
Rozwiąż następujące układy parametryczne (𝑘 ∈ 𝑅):
𝑥2 + 𝑦2 = 4
322 {𝑦 + 2𝑥 + 𝑘 = 0
𝑥 ≥ 0, 𝑦 > 0
[1 rozwiązanie dla − 4 ≤ 𝑘 ≤ −2; 2 rozwiązania dla − 2√5 ≤ 𝑘 < −4]
𝑥 + 𝑦 − 4𝑦 = 0
323 { 𝑦 − 𝑥 + 2𝑘 = 0
𝑥>0
[1 rozwiązanie dla − 2 < 𝑘 ≤ 0; 2 rozwiązania dla 0 < 𝑘 ≤ √2 − 1]
2
2
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8 = 0
324 { 3𝑥 + 𝑦 + 𝑘 = 0
𝑥 ≥ 0, 𝑦 > 0
[1 rozwiązanie dla − 12 ≤ 𝑘 ≤ −2√2; 2 rozwiązania dla − 3(1 + √10 ≤ 𝑘 < −12)]
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 5 = 0
325 { 𝑦 = 𝑘𝑥 + 2𝑘 + 2
𝑦<0
[1 rozwiązanie dla 1 ≤ 𝑘 < 4; 2 rozwiązania dla 𝑘 ≤
−6√5
− 2 lub 𝑘 ≥ 4]
5
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 5 = 0
326 {(2𝑘 − 1)𝑥 − 𝑦 + 8𝑘 − 1 = 0
1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑦 ≥ 0
[1 rozwiązanie dla
1
1
1
−10 + √390
]
≤ 𝑘 < ; 2 rozwiązania dla
≤𝑘≤
5
3
3
29
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0
327 {
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑘 + 6
0≤𝑥≤3
[1 rozwiązanie dla −
3
27
3
< 𝑘 ≤ 0; 2 rozwiązania dla −
≤𝑘≤− ]
2
4
2
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 = 0
328 {(𝑘 + 1)𝑥 + 8𝑘𝑦 − 6𝑘 + 2 = 0
𝑥 > 0, 𝑦 ≤ 4
[1 rozwiązanie dla 𝑘 ≤ −
1
1
3
1
lub 𝑘 ≥ ; 2 rozwiązania dla
≤𝑘< ]
4
3
13
3
𝑦 = √9 − 𝑥 2
329 {𝑥 + 𝑘𝑦 − 4𝑘 = 0
−√5 ≤ 𝑥 ≤ 3
3
√5
<𝑘< ;
2
4
3
3
3
√5
[ 2 rozwiązania dla − 7 √7 ≤ 𝑘 ≤ − 2 lub 4 ≤ 𝑘 ≤ 7 √7 ]
1 rozwiązanie dla −
𝑦 = √4𝑥 − 𝑥 2
330 {𝑥 − 𝑘𝑦 − 𝑘 + 1 = 0
0<𝑥≤3
[1 rozwiązanie dla 1 ≤ 𝑘 ≤ 2(√3 − 1); 2 rozwiązania dla
2
√6 − 1 ≤ 𝑘 < 1]
3
𝑦 = √16 − 𝑥 2
331 { 𝑦 + 3𝑥 = 𝑘
𝑥≥0
[1 rozwiązanie dla 4 ≤ 𝑘 < 12; 2 rozwiązania dla 12 ≤ 𝑘 ≤ 4√10]
𝑥 = √2𝑦 − 𝑦 2
332 {(𝑘 − 1)𝑥 − 𝑦 + 𝑘 − 1 = 0
𝑦≥1
[1 rozwiązanie dla
3
≤ 𝑘 ≤ 3]
2
𝑦 = 3 − √−𝑥 2 + 6𝑥 − 5
333 {𝑦 + 𝑥(𝑘 − 1) + 𝑘 − 5 = 0
1≤𝑥≤5
[1 rozwiązanie dla
7
3
3
8 + √13
]
≤ 𝑘 < ; 2 rozwiązania dla ≤ 𝑘 ≤
6
2
2
6
ĆWICZENIA PODSUMOWUJĄCE
334
a) Dany jest okrąg o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 = 0. Niech C jest środkiem tego
okręgu, zaś punkty A i B są punktami przecięcia z osią x (o odciętej różnej od zera) i z osią y (o rzędnej różnej od zera). Sprawdź, że punkty A, B, C są współliniowe.
b) Wykaż, że w każdym okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 prosta przechodząca przez punkty przecięcia okręgu z osiami układu współrzędnych, różne od
punktu 𝑂 = (0,0), przechodzi przez środek okręgu.
335 Ustal procedurę wyznaczania punktu P danego okręgu, którego odległość od danej
prostej jest najmniejsza, a następnie znajdź punkt okręgu o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 −
6𝑦 + 12 = 0, który leży najbliżej prostej o równaniu 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0.
2
√5
[𝑃 = (2 −
, 3 − √5)]
5
5
336
a) Wyznacz równanie okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu
𝑥 − 2𝑦 − 12 = 0 i który jest styczny do prostej o równaniu 2𝑥 + 3𝑦 − 16 = 0
w jej punkcie o dodatniej rzędnej.
b) Dany jest pęk prostych o równaniu 𝑚𝑥 − 𝑦 − 3 = 0. Wyznacz jego wierzchołek D
i dwie proste pęku przechodzące przez punkty A i B okręgu o odciętej 3.
c) Wyznacz czwarty wierzchołek C rombu ADBC i oblicz jego obwód oraz pole.
d) Znajdź równanie okręgu wpisanego w romb.
𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 6𝑦 + 32 = 0; 𝐷 = (0, −3), 2𝑥 − 3𝑦 − 9 = 0, 2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0;
[
198
]
𝐶 = (6, −3); 2𝑝 = 4√13, [𝐴𝐷𝐵𝐶 ] = 12; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 6𝑦 +
=0
13
337
a) Dany jest pęk okręgów o równaniu 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑘 − 10)𝑥 + (𝑘 − 4)𝑦 + 4(6 − 𝑘) =
0. Wyznacz jego punkty bazowe A i B (𝑥𝐴 < 𝑥𝐵 ).
b) Po sprawdzeniu, że pęk jest generowany przez okrąg 𝛾 i prostą r, wyznacz równanie okręgu 𝛾1 , symetrycznego do okręgu 𝛾 względem prostej r.
c) Napisz równania prostych stycznych s i t do okręgu 𝛾1 z punktu 𝑃 = (−3,4).
d) Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez proste s i t oraz prostą przechodzącą
przez punkty styczności.
27
[𝐴 = (3,1), 𝐵 = (4,0); 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 = 0; 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0,2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0; ]
2
338
a) Napisz równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych, którego
średnicą jest odcinek o końcach A i B, gdzie A, B są punktami osi x (𝑥𝐴 < 𝑥𝐵 ), których odcięte są rozwiązaniami równania 𝑥 4 − 8𝑥 2 − 9 = 0.
b) Niech punkt C osi x (𝑥𝐶 < 0) będzie takim punktem, że |𝐴𝑂| = 3|𝐶𝑂|, zaś punkt D
jego obrazem w symetrii względem osi y. Napisz równania półokręgów o średnicach AC i AD, których punkty leżą w półpłaszczyźnie o dodatnich rzędnych oraz
równania półokręgów o średnicach DB i CB, których punkty leżą w półpłaszczyźnie o rzędnych ujemnych.
c) Oblicz pole ograniczone tymi półokręgami i wykaż, że jest ono równe trzeciej
części pola okręgu o średnicy AB.
[
𝑥 2 + 𝑦 2 = 9; 𝑦 = √−4𝑥 − 𝑥 2 − 3, 𝑦 = √3 − 2𝑥 − 𝑥 2 ,
𝑦 = −√4𝑥 − 𝑥 2 − 3, 𝑦 = −√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ; 3𝜋
]
339
a) Napisz równanie pęku okręgów, których punkty bazowe są punktami przecięcia
z osiami układu współrzędnych prostej równoległej do dwusiecznej I i III
ćwiartki układu i która ogranicza w IV ćwiartce trójkąt o polu
25
2
.
b) Wyznacz równanie okręgu 𝛾1 pęku, na którym leży punkt 𝐴 = (1,0).
c) Napisz równanie pęku okręgów współśrodkowych z okręgiem 𝛾1 i wyznacz okrąg
𝛾2 tego pęku, który jest styczny do prostej o równaniu 2𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0.
d) Oblicz pole pierścienia kołowego, ograniczonego okręgami 𝛾1 i 𝛾2 .
𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 + 𝑘(𝑥 − 𝑦 − 5) = 0; 𝛾1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0;
[ 2
]
𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 6𝑦 + 𝑘 = 0, 𝛾2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 6𝑦 − 34 = 0; 39𝜋
340
a) Napisz i przedstaw graficznie równanie okręgu 𝛾1 , przechodzącego przez punkty
𝐴 = (1,3), 𝐵 = (5,5) i 𝐶 = (8, −4).
b) Napisz i przedstaw graficznie, w tym samym układzie współrzędnych, równanie
okręgu 𝛾2 , którego środkiem jest punkt (5,0), zaś promień ma długość 3.
c) Oblicz pole czworokąta ABCD, gdzie D jest punktem przecięcia mniejszego okręgu
𝛾2 z osią odciętych.
[𝛾1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 = 0; 𝛾2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 16 = 0; [𝐴𝐵𝐶𝐷 ] = 28 ]
341
a) Napisz równanie okręgu 𝜸𝟏 o środku 𝑷 = (−𝟑, 𝟐), przechodzącego przez punkt
𝑨 = (𝟎, 𝟏).
b) Napisz równanie okręgu 𝜸𝟐 , symetrycznego do okręgu 𝜸𝟏 względem prostej o równaniu 𝒚 = 𝒙 + 𝟏i przedstaw graficznie oba okręgi.
c) Wyznacz równania stycznych r i s do okręgów 𝜸𝟏 i 𝜸𝟐 poprowadzonych z punktu
𝑺 = (−𝟏𝟎, −𝟗), które nie przecinają odpowiednio 𝜸𝟐 i 𝜸𝟏 . Niech Q i R będą punktami
styczności okręgów 𝜸𝟏 i 𝜸𝟐 .
d) Oblicz pole trapezu równoramiennego wyznaczonego przez punkty PQR i środek
okręgu 𝜸𝟐 .
Ad. a) Współrzędnymi środka okręgu są liczby – 3 i 2, zatem
𝑎
𝑏
− = −3 → 𝑎 = 6 i − = 2 → 𝑏 = −4.
2
2
Podstawiając a i b do równania 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, otrzymujemy:
02 + 12 + 6 ∙ 0 − 4 ∙ 1 + 𝑐 = 0 → 𝑐 = 3.
Okrąg 𝛾1 ma zatem równanie:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 lub (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 10.
Ad. b) Obrazem symetrycznym punktu 𝑃 = (−3,2) względem prostej o równaniu
𝑦 = 𝑥 + 1 jest punkt 𝑃′ = (1, −2) (Wykonaj stosowne obliczenia!). Okrąg 𝛾2 ma taki sam
promień, jak okręg 𝛾1 , zatem
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 10 lub 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0.
Ad. c) Prosta styczna r jest prostą pęku o wierzchołku S, zatem
𝑦 + 9 = 𝑚(𝑥 + 10) → 𝑚𝑥 − 𝑦 + 10𝑚 − 9 = 0.
Jej odległość od środka okręgu 𝛾1 wynosi √10, zatem
|𝑚 ∙ (−3) − 2 + 10𝑚 − 9|
√1 + 𝑚2
= √10,
czyli
39𝑚2 − 154𝑚 + 111 = 0 → 𝑚 = 3 lub 𝑚 =
Wykonajmy teraz rysunek.
37
.
39
Rysunek 46
Przyjmujemy m = 3, gdyż drugi współczynnik jest współczynnikiem prostej stycznej,
która przecina okrąg 𝛾2 . Zatem
𝑟: 𝑦 = 3(𝑥 + 10) − 9 → 3𝑥 − 𝑦 + 21 = 0.
Aby wyznaczyć współrzędne punktu Q wystarczy znaleźć punkt przecięcia prostej r
z prostą zawierającą promień PQ:
1
1
prosta 𝑃𝑄: 𝑦 − 2 = − (𝑥 + 3) → 𝑦 = − 𝑥 + 1.
3
3
𝑦 = 3𝑥 + 21
𝑥 = −6
1
𝑄: {
→{
𝑦=3
𝑦 = − 𝑥+1
3
Zauważmy, że punkt S leży na prostej o równaniu 𝑦 = 𝑥 + 1, która jest osią symetrii figury. Styczna s do 𝛾2 i punkt styczności R są więc symetryczne odpowiednio do r i Q.
Łatwo obliczamy, że 𝑅 = (2, −5).
Styczna s jest więc prostą, na której leżą punkty R i S, zatem
𝑦 − 𝑦𝐵
𝑥 − 𝑥𝑅
𝑦+5
𝑥−2
=
→
=
→ 𝑥 − 3𝑦 − 17 = 0.
𝑦𝑆 − 𝑦𝑅 𝑥𝑆 − 𝑥𝑅 −9 + 5 −10 − 2
(Oczywiście, równanie prostej s możemy wyznaczyć inaczej. Jak?)
Ad. d) Pole trapezu możemy wyznaczyć, stosując wzór Picka: [𝑃𝑄𝑅𝑃′] = 6 +
12 lub tradycyjnie, stosując wzór
(𝑎+𝑏)∙ℎ
2
2
−1=
, gdzie 𝑎 = |𝑄𝑅| = 8√2, 𝑏 = |𝑃𝑃′| = 4√2, ℎ =
√2. Podstawiając, otrzymujemy
[𝑃𝑄𝑅𝑃′] = 12.
342
14
a) Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej o równaniu 3𝑥 − 4𝑦 + 8 =
0 w punkcie 𝐴 = (0,2), zaś jego środek jest punktem prostej o równaniu
𝑦 = −2𝑥 + 3.
b) Spośród prostych równoległych do dwusiecznej II i IV ćwiartki układu współ5
rzędnych wybierz te, które na okręgu odcinają cięciwę o długości 2 √2.
c) Oblicz obwód prostokąta o wierzchołkach będących punktami przecięcia prostych z punktu b) z okręgiem.
d) Z punktu 𝑃 = (4, −5) poprowadź proste styczne do okręgu, wyznacz ich równania, współrzędne punktów styczności E i F oraz oblicz obwód trójkąta EFP.
𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 4 = 0; 𝑦 = −𝑥 + 4, 𝑦 = −𝑥 − 1; 2𝑝 = 10√2;
[
]
3
𝑦 = − 𝑥 − 2, 𝑥 = 4, 𝐸 = (0, −2), 𝐹 = (4,0), 2𝑝 = 2(5 + √5)
4
343
a) Z pęku prostych stycznych do prostej r o równaniu 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 w jej punkcie
A o odciętej 2, wyznacz równanie okręgu 𝛾1 , na którym leży punkt 𝐵 = (8, −2).
b) Napisz równanie okręgu 𝛾2 symetrycznego do okręgu z punktu a) względem prostej s o równaniu 𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0.
c) Sprawdź, że okrąg 𝛾2 jest też styczny do prostej r i znajdź współrzędne punktu
styczności C.
d) Oblicz pole obszaru ograniczonego okręgami i prostą r.
[
𝛾1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0; 𝛾2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 20𝑦 + 84 = 0;
]
𝐶 = (−2,8); 10(4 − 𝜋)
7
9
7 16
344 Dane są punkty: 𝐴 = (−1,0), 𝐵 = (5 , − 5) i 𝐶 = (5 , 5 ).
a) Wyznacz równania trzech okręgów 𝛾𝐴 , 𝛾𝐵 i 𝛾𝐶 wzajemnie stycznych o środkach A,
B, C.
b) Oznaczając przez D, E i F punkty styczności tych okręgów, napisz równanie okręgu przechodzącego przez te punkty.
c) Napisz równania wspólnych stycznych do tych okręgów (przechodzących przez
punkty styczności) i sprawdź, że przecinają się one w jednym punkcie T.
𝛾𝐴 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 = 0, 𝛾𝐵 : 5𝑥 2 + 5𝑦 2 − 14𝑥 + 18𝑦 + 6 = 0,
𝛾𝐶 : 5𝑥 2 + 5𝑦 2 − 14𝑥 − 32𝑦 + 16 = 0; 5𝑥 2 + 5𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0;
2 1
3𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0,4𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0,5𝑦 − 1 = 0, 𝑇 = ( , )
[
]
5 5