zastosowanie iteracji seidla w metodzie elementów skończonych na

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
,. 3, 12 (1974)
ZASTOSOWANIE ITERACJI SEIDLA W METODZIE ELEMENTÓW SKOŃ CZONYC
H
NA PRZYKŁADZIE OBLICZEŃ STATYCZNYCH PŁYT
[JERZY G O Ł A Ś , Z YG M U N T K A S P E R S K I , AN N A P E E R - K A S P E R S K A ,
JERZY M A K O W S K I (OPOLE)
1. Wprowadzenie
W metodzie elementów skoń czonych, jak wiadomo, zasadniczymi czynnikami każ dego
programu są nastę pują ce podprogram y: podprogram do budowania macierzy sztywnoś ci
poszczególnych elementów, podprogram do budowania ukł adu algebraicznych równań
liniowych oraz podprogram do rozwią zywania ukł adu równań. Zbież ność wyników obliczeń numerycznych do rozwią zań dokł adnych zależy gł ównie od wyboru kształ tu elementu,
postaci funkcji przemieszczeń oraz gę stoś ci podział u ustroju cią gł ego na elementy. Zwię k"szenie liczby punktów wę zł owych co prawda lepiej aproksymuje ustrój cią gł y, jednak prowadzi do duż ego ukł adu równań i zasadniczo limituje moż liwość stosowania maszyn cyfrowych do obliczeń. Pojawia się zatem problem opracowywania programów wykorzystują cych jak najoptymalniej pojemność pamię ci maszyny cyfrowej. D użą efektywność daje
zastosowanie iteracji Seidla do rozwią zywania ukł adu równań. Pozwala ona na wielostopniowe budowanie ukł adu równań, bez pamię tania cał ej macierzy sztywnoś ci ukł adu,
oraz na etapowy charakter obliczeń, a ponadto pozwala na peł ne wykorzystanie wszystkich wł asnoś ci macierzy sztywnoś ci, takich jak: pasmowoś ć, symetria oraz regularny
rozkł ad wyrazów zerowych wystę pują cych w paś mie. A zatem, każ de równanie zapamię tywane jest w postaci zwartej, z pominię ciem wyrazów zerowych.
Zasadnicze procedury programu wykorzystują cego wyż je wymienione moż liwośi c
przedstawione zostaną na przykł adzie pł yt izotropowych, przyjmują c prostoką tny element
skoń czony o 12 param etrach wę zł owych [1], W przypadku przyjmowania wię kszej liczby
stopni swobody dla elementu prostoką tnego, np. 16, czy też jak dla pł yty z ż ebrami jednostronnymi i pł yty trójwarstwowej minimum 20, podstawowa istota budowania odpowiednich podprogramów nie ulegnie zmianie. Jedynie wymiary podmacierzy sztywnoś ci elementu, zamiast wymiarów (3 x 3), przyjmą odpowiednio wielkoś ci ( 4x4) i (5 x 5) oraz
wię ksza bę dzie liczba warunków brzegowych, [2], [3].
Przedstawiony algorytm obliczeń numerycznych swą ogólnoś cią obejmuje analizę
statyczną pł yt dowolnie obcią ż onych, pł yt o kształ tach zł oż onych z prostoką tów, pł yt o dowolnych warunkach brzegowych i podpartych w swoim obszarze oraz pł yt osł abionych
otworami prostoką tnymi. Sztywność gię tna pł yt może być zmienna, lecz stał a w obrę bie
elementu.
N iektóre elementy przedstawionego algorytmu mogą być rozszerzone n a inne zagadnienia metody elementów skoń czonych.
9*
342
J. G OŁ AŚ, Z. KASPERSKI, A. PEER- KASPERSKA, J. MAKOWSKI
2. Algorytm programu
2.1. Dyskretyzacja ukł adu. Rysunek 1 przedstawia prostoką tny obszar pł yty, który podzielono na z = (n — 1) (m—l) elementów skoń czonych o dowolnych wymiarach oraz
ilustruje przyję ą t numerację punktów wę zł owych i poszczególnych elementów. Przyję yt
na rysunku kształ t nie ogranicza zastosowań programu do pł yt prostoką tnych. W przypadku pł yt o innych kształ tach (ale dają cych się podzielić na elementy prostoką tne) odpowiednim elementom należy nadać bardzo mał ą grubość w porównaniu do gruboś ci
y
(1)
na- l mn
(m- l)n'l nrt)n>2
k
(m- i)n
j.
1
II
1 i
11
3 -
2n.1
GE£>
n*l
n*2
©
- ca
i
h,
„a
QmD
fl'4
ln- 1
3®
I
4
la,
!1
II
OfT)
(ED
n- l n
n- l
X
K,
Rys. 1
pł yty rzeczywistej. D opeł nienie obszaru pł yty do prostoką at pozwala zach ować cią gł ość
numeracji, a t ym sam ym moż liwe jest cał kowite zautom atyzowan ie obliczeń, przy prostym
sposobie przygotowywania danych. Jedynymi wielkoś ciami okreś lają cym
i podział pł yty n a
elementy są: liczby n, m (liczby pu n kt ów wę zł owych znajdują cych się odpowiedn io na
poziomej i pionowej krawę dzi), wym iary aubj (i = 1, 2, ...,n; j = 1, 2, ..., ni), szerokość
i wysokość i- tego pion owego i / - tego poziom ego pasa podział u pł yty, grubość tk (k =
= 1,2, ..., z) poszczególnych elementów.
2.2. Sposób tworzenia macierzy sztywnoś ic ukiadu. Warunki równowagi dla poszczególnych
punktów wę zł owych podział u konstrukcji prowadzą do ukł adu równań
(2- 2.1)
gdzie
[K] macierz sztywnoś ci ukł adu,
{<5} wektor uogólnionych przemieszczeń,
{F} wektor obcią ż eń
.
343
ZASTOSOWANIE ITERACJI SEIDLA
M acierz sztywnoś ci ukł adu [K] buduje się z odpowiednio skł adanych i sumowanych
podmacierzy k pq, bę dą cych elementami macierzy sztywnoś ci poszczególnych elementów.
D la pł yty izotropowej macierz sztywnoś ci elementu prostoką tnego (rys. 2) przyjmuje
postać
(2.2.2)
Rys. 2
gdzie elementy lciP są podmacierzami kwadratowymi o wymiarach (3 x 3). Podmacierze
te wyznaczono w postaci jawnej i przykł adowo wynoszą :
f
l- 2v I
Wab
(1 +4v)
b a
+
3
a3 b
10a
2
PP -
a
b
b
l+4v 1
106 1 a2
" (7- 2w) 1 b
10a6
1
(1- 0
m
10a
2a3
[
bz
46(1 - v)
4a
15a
36
k —
Ką ą
a
10a
106
2
b
b
106 + a2
>
4a(l -
v) , 46
156 ' 3a_
a b3 a
6(1 — v)
15a
(1 +4v)
a
b2
(1 —v)
10a
b2
a
6
a3 1 6 3
1+4 " +
b
10a
(1 +4iO
b
1
_ ,
2a
106
(2.2.3)
a
(1 +4v)
6 ~
2
106 ' 2a
la
36
o
4a{l- v)
r\
156
(1 +4v) a
10a ' b2
46(1 - 0 ť15a 26
3a
1+4J» - 6 ~
a2
106
Ą a
' 36
46
4 3(1 - 0
156
1
3a
gdzie 2a, 26, t oznaczają odpowiednio: dł ugoś ć, szerokość i grubość elementu prostoką tnego pł yty.
344
J. G OŁAŚ, Z. KASPERSKI, A. PEER- KASPERSKA, J. MAKOWSKI
W dalszym cią gu, gdziekolwiek bę dzie mowa o wierszu bą dź kolumnie macierzy [K\ ,
to bę dziemy rozumieli pod tym odpowiednią trójkę wierszy lub kolumn, jak to pokazano
na rys. 3. Przez i oznaczono numer pun ktu wę zł owego podział u pł yty, i = I, 2, ...,nxm.
• i- :-
-
_
- li
- —
•i —
-
i
-,
f
r:
4-
•
ii
~i
-
-
11
i
i ~
- li
—I i
—
-
- U:ih_
V
)
- i
:
f.
1
-
-
J-
-
::
_ h .
- 'i.
i
i I
T
i
- J+r
,i
1
- J l - ...
Rys. 3
Objaś nienie zapisu. Zapis
d- k pq- * (u,v) : (h)
(2.2.4)
bę dzie oznaczał : należy wzią ć wymiary a, b, t elementu skoń czoneg
o o numerze d, utworzyć macierz k M , dodać ją do wyrazów macierzy [K] leż ą cych w wierszu u i w kolumnie v.
Z uwagi n a symetrię macierzy [K], bę dziemy budowali tylko jej wyrazy leż ą ce n a i nad
przeką tną , dlatego u < v. Symbol (Ii) bę dzie wyjaś niony w dalszej czę ś ci pracy.
W zależ nośi c od poł oż enia punktów wę zł owych podział u pł yty rozróż nia się nastę pują ce przypadki :
Przypadek I
i — 1 (wę zeł leż ą cy w lewym dolnym naroż u)
1—fc w- >(l,l) :(1),
1 - * H - * ( 1 . « + 1) :( 4) ,
1 — k pr —y (1, n+2) : (5),
1- *:„ - > (1,2) :(2).
Przypadek II
i — 2,3, ...,rt— 1 (wę zł y leż ą ce n a dolnej poziomej krawę dzi pł yty, nie liczą c wę zł ów
naroż nych)
i- l
sq ^ (i > rt+i— O : (3),
i—l — k„ - »• (', n+i)
:(4),
K
. / , .
(l>i)
:( 1) ,
— pp ~*
(i, i)
:( 1) .
i- l
k
i
(i, rt + 1) :(4),
i
i
(i,
— kps - *•
(i, ; + i)
1) : (5),
:( 2) .
ZASTOSOWAN IE ITERACJI SEID LA 345
Przypadek III
i ~ n (wę zeł leż ą cy w prawym dolnym naroż u)
rt- 1— fc, s- > («, 2/ 7- 1) : ( 3 ) ,
n- \ — / cs, - > (n,2n) :( 4) ,
«—1 — k ss - >• (», ») : (1).
Przypadek IV
i = « + l , 2 « + l , ..., ( m —2) « + l (wę zł y leż ą ce n a lewej krawę dzi nie liczą c wę zł ów naroż nych).
Ogóln ie: i =jn + l, gdzie./ = 1, 2, 3, . . . , m —2
(. / - 1 )«- 7 + 2 — V - + (/, i +1) : (2),
y« - y + 1 — / < pg - > (f, i+ «) : (4),
jn- j+l - ,k pr - + (/ , J+ W+ l) : (5),
Przypadek V
jn+k, gdzie fc = 2, 3, ..., « — 1; y = 1, 2, ..., m - 2 (wę zły leż ą ce wewną trz obszaru
pł yty)
U- l) ( r t - 1) + / c ~ 1 — /c,.r - > (/, 0 : (1),
( j- 1 ) ( «- 1 ) +/c — / c,r - *• (/, j + 1) j(n- l)+k- l - k sq : (2),
- . (/, / + » - ! ) : (3),
, / («- 1) +k- 1 — /c.„. - > (z, / + «) : (4),
j(n- \ )+k- \ —k ss :( 1) ,
./ (« - 1 ) + A — fcpe - » (/ , i + «) - > ( / , / ) : (4),
: (5),
Przypadek VI
i = (j+l)n, gdziej = 1, 2, ..., m —2 (wę zły leż ą ce na prawej krawę dzi nie liczą c wę zł ów
naroż nych)
./ (rt- 1) — fcrr- * (/ ,;) - .(I).
C/ + \ )(n- 1) - / cs, - . 0\ i+tt- 1) • (3),
Przypadek VII
i = (m~l)n + l (wę zeł leż ą cy w lewym górnym naroż u)
: (2 ).
346
J. G OLAS, Z. KASPERSKI, A. PEER- KASPERSK:A, J. MAKOWSKI
Przypadek VIII
i= (m- l)n+k, gdzie k = 2, 3, ..., n—l (wę zł y leż ą ce na górnej krawę dzi, nie liczą c
wę zł ów naroż nych)
- l —*: „ - > {i, i) : (1),
: (2).
Przypadek IX
i — mxn (wę zeł leż ą cy w prawym górnym naroż u)
Macierz [AT] jest macierzą pasmową o duż ej liczbie wyrazów zerowych. P rzykł adowo:
/- ty wiersz macierzy [K] ma postać przedstawioną na rys. 4, gdzie pola zakreskowane
oznaczają wyrazy niezerowe. Przy duż ych n liczba wyrazów zerowych wzrasta bardzo szyb-
\
L+n- 1
• IS
w;
I \ 2 5 \
Rys. 5
Rys. 4
' •
4- S
ko. Łatwo zauważ yć, że maksymalna liczba wyrazów niezerowych w każ dym wierszu [K]
(po uwzglę dnieniu symetrii) wynosi 15. D latego też, każ dy wiersz zapamię tywany jest
w tablicach Wl, W2, W2> o wymiarach [1:15], [1:14] [1:13] (rys. 5), daje to oszczę dność
pamię ci maszyny cyfrowej, a ponadto skraca czas obliczeń, ponieważ na elementach zerowych nie wykonuje się ż adnych operacji arytmetycznych.
Zapamię tanie każ dego wiersza [K] w postaci zwartej powoduje zmianę indeksów
poszczególnych wyrazów. Ujmuje to liczba h (zob. 2.2.4), oznaczają ca numer pozycji, do
której ś cią gnię ot (przesunię to) odpowiedni wyraz / - tego wiersza. Wyrazem tym może być
jedna, bą dź suma dwóch i wię cej podmacierzy (2.2.2).
2.3. Algorytm rozwią zywania ukł adu równań liniowych z uwzglę dnieniem warunków brzegowych.
Rozwią zanie ukł adu równań (2.2.1), gdzie
Klt
Kit
K- rt
Kr,
d2
Fr
Ft
t m 3mxn jest liczbą stopni swobody ukł adu, otrzymuje się metodą iteracyjną Seidla z
czynnikiem nadrelaksacji co. Odpowiedni wiersz macierzy [K] umieszczony jest w tablicach Wl, W2, W3.
Z ASTOSOWAN IE ITERACII SEID LA 347
Proces iteracyjny w metodzie Seidla odbywa się cyklicznie. Wpierw obiera się dowolne
T
przybliż enie d0 = [<5£ ,6%, ..., <5Ó] , a nastę pnie w C/4- 1) kroku iteracyjnym oblicza się
wektor <5J+ 1 wedł ug wzoru
r- l (2.3.1) I
a5+ i- .a$- - j(
gdzie Jfy są wyrazami [K].
Czynnik nadrelaksacji przyś pieszają y c zbież ność rozwią zania powinien speł niać nierówność 1 < co < 2, [4].
Ze wzoru (2.3.1) wynika, że w przeciwień stwie do metod dokł adnych rozwią zywania
ukł adu równań, elementy macierzy sztywnoś ci ukł adu [K] nie zmieniają się. Pozwala to,
wykorzystać wszystkie wł asnoś ci tej macierzy, jak: symetrię, pasmowość oraz regularny
rozkł ad duż ej iloś ci elementów zerowych wystę pują cyc
h w paś mie. D o obliczenia przybliż ńe r- tej niewiadomej potrzebny jest tylko r- ty wiersz macierzy [K],
Tok postę powania poszczególnych etapów przedstawionej metody w programie na
maszynę cyfrową jest nastę pują y c (zob. schemat blokowy, rys. 6):
a) dla dowolnego punktu wę zł owego i tworzy się tablice W\ , W2, W3 wedł ug sposobu
podanego w punkcie 2.2,
b) wyznacza się odpowiednią trójkę prawych stron równania (2.2.1),
c) sprawdza się, czy dany wę zeł jest wę zł m
e brzegowym, jeś i l tak, to jakiego rodzaju
warunek brzegowy wystę puje tam. W przypadku n p. cienkich pł yt izotropowych rozróż nia
się nastę pują e cwarunki brzegowe:
r
r+ 1
p+2
I (<5 = 0, <5 = 0, <5 = = - O),
P
r+ 1
I I (0 = O, ó = 0, <Y +2 * 0),
r+1
r+ 2
( 13 2)
I I I (<T - 0, d * 0, <5 = 0),
' r
r+i
r+2
IV (<S = 0, d ± 0, ó jk 0),
r
r+ 1
r+z
t obrotów kolejno wzglę dem osi
gdzie: d oznacza ugię cie, zaś ó i d oznaczają ką y równoległ ych do osi x i y.
Warunki brzegowe do pamię ci maszyny cyfrowej wprowadza się podając na taś mie
kolejno: rodzaj warunku brzegowego, odpowiednią ich liczbę oraz numery wę zł ów,
w którym dany warunek wystę puje. Wówczas w każ dym kroku iteracyjnym za odpowiednią
niewiadomą podstawia się wartość zerową;
d) oblicza się <ST wedł ug wzoru (2.3.1) biorąc za k rq odpowiedni wyraz tablic W\ , W2,
W3>. Przy czym pamię tać należy równocześ nie o tym, że w tablicach W wyrazy nie oznaczają kolejnych wyrazów r- tego wiersza macierzy [K], lecz są to tylko niezerowe elementy
tego wiersza. W zwią zku z tym niewiadome <5j+1 oraz d] we wzorze (2.3.1) muszą występować w odpowiedniej kolejnoś ci.
Po wykonaniu iteracji dla wszystkich niewiadomych ukł adu bada się wartość wyraż enia
.
(2.3.3) Wielkość powyż szego wyraż enia charakteryzuje szybkość zbież nośi cdo rozwią zania
dokł adnego oraz okreś al w pewnym sensie wielkość bł ę du bezwzglę dnego, Jeś i l u ^ e,
gdzie e jest zadaną mał ą wielkoś cią, wówczas obliczanie przemieszczeń koń czy się, przy
348
J. GOLAS, Z. KASPERSKI, A. PEER- KASPERSKA, J. MAKOWSKI
czym przemieszczenia przyjmują takie wielkoś ci, jakie otrzymano w ostatnim kroku
iteracji. Jeś i l natomiast u > e, to zaczyna się tok postę powania od punktu a) do d), czyli
wykonuje się nastę pny krok iteracji aż do otrzymania u ^ s.
Po rozwią zaniu ukł adu równań (2.2.1), czyli po wyliczeniu przemieszczeń <5, oblicza
się wielkoś ci sił wewnę trznych, co nie przedstawia już wię kszych trudnoś ci i nie bę dzie
omówione w niniejszej pracy.
JTAHT 1
Czytanie
warunków brzegowych
Tworzenie uporzą dkowanego
zbioru Z,
którego elementu sq numerami nienia- domych równycti 0( warunki brzegowe)
Czytanie • • n,m,9,Ę ,Q
a; bj ł , (wymiary i gruboii elementu)
£,d, o(dokł .przijbl'.począ tkcme,ai/ miinak,
(nadanie m
UtNorzenie i- fego wiersza macierzy
ukł adu KO'Fdla odppw. wę zł a
i
podstawienie pod tablice wi wz W
Czu wezetiestorzeiiomii
tak
me
Nadanie wartoś ci zerowych
odpowiednim niewiadomym
tak
Uizz
keu (V ?
me
tak
Bruk na rn.ąnitorze njocz I
1 oraz
nie
tak
'ke<j[Q)\
nie
Obliczanie i wydruk
sił wewnę trznych
me
tak
1
STOP
Rys. 6. Ogólny schemat blokowy programu zrealizowanego na maszynie cyfrowej «ODRA 1204» Zapis
k e y (0 oznacza pytanie, czy został wciś nięy t klawisz o numerze i dla maszyny cyfrowej «ODRA 1204»
Z ASTOSOWAN IE ITERACJI SEID LA
349
3. U wagi koń cow
e
Autorzy są dzą , że przedstawiona metoda iteracji może być wykorzystana wszę dzie tam,
gdzie otrzymuje się dużą liczbę równań, których rozwią zanie metodą dokł adną np. metodą
eliminacji G aussa przekracza moż liwośi cpojemnoś ci pamię ci maszyny cyfrowej.
]27
28
29 j
50
52 155
Sl
120
126
115
116
119
106
109
112
99
102
105
02
95
W
85
86
83
8'
89
K 91
76
61
u
71
• li
77
54
57
70
57
50
53
50
53
50
43
ff
47
U 49
J6
39
44
29
32
35
22
Z5
n
15
78
21
B
11
U
1
1 ł
2
4
J
S i * ł ł ł
X
_»»_
7
' j ,
i
4
i
Rys. 7
Wadą metody jest to, że oblicza się wielokrotnie te same wielkoś ci tzn. powtarza się
zawsze tok postę powania od pun ktu a) aż do d). Jest to jednak konieczne ze wzglę du na
ograniczone pojemnoś ci maszyn cyfrowych. Czas obliczeń zależy od gę stoś ci podział u
350 J. GOŁAŚ, Z . KASPERSKI, A. PEER- KASPERSKA, J. MAKOWSKI
obszaru pł yty na elementy i od odpowiedniego doboru czynnika nadrelaksacji co. Przykł adowo dla okoł o 1000 stopni swobody i co = 1,8 czas obliczeń wynosił 2,5 godziny.
M oż na ponadto wysuną ć nastę pują ce wnioski:
1. M etody iteracyjne posiadają waż ną wł asność tzw. autokorekcji.
2. Przedstawiony program moż na rozszerzyć na zagadnienia statyki pł yt trójwarstwowych, pł yt z ż ebrami jednostronnymi itp.
3. Modyfikacja wektora obcią ż eń w każ dym kroku iteracyjnym, przez wprowadzenie
czynnika nadrelaksacji znacznie skraca czas obliczeń na maszynie cyfrowej.
4. Przykł ad liczbowy
Opracowany program sprawdzono na szeregu przykł adów liczbowych. D la pł yty trójpolowej, (rys. 7), przy podziale na 108 elementów skoń czonych otrzymane wyniki momentów zginają cych w porównaniu z wynikami znanymi z literatury [5] róż nią się o okoł o
0,5%- s- 1,5% (rys. 8).
Rys. 8. Wykres momentów zginają cych M w przekroju A •— A; O — wyniki znane z literatury, ... A • • • —
wyniki otrzymane
Literatura cytowana w tekś cie
1. O. C. ZtENKrEWicz, Metoda elementów skoń czonych, Arkady, Warszawa (1972).
2. R. GANOWICZ, J. GOŁAŚ, Pewne problemy teorii pł yt z ż ebrami jednostronnymi, Rozpr. Inż , . 3,15, (1967).
3. J. GOŁAŚ, Pewne rozwią zania dla koł owych pł yt trójwarstwowych obcią ż onych na krawę dzi, Rozpr. Inż.
19, 2, (1971).
4. A. RALSTON, Wstę p do analizy numerycznej, Warszawa 1971.
5. Poradnik inż yniera i technika budowlanego, Praca zbiorowa, Arkady, Warszawa 1968.
P e 3 IO M e
n P H M E H E H H E H TEPA1JH H 3EH,Ii;jL$I K M ETOD Y KOH E ^H LI X 3JI E M E H T 0B HA
ITPHMEPE CTATH *IECKH X P AC TETOB I U I H T
B pa6oie paccMOTpena nporpaiwiwa craTiraecKoro pac<jeia 3 MeTOflOM Kone^mbix 9JieMeHTOB3 npHMOyronBHbix rniiiT co CKatmoo6pa3HO iweiwnomeHCH JKCCTKOCTLMJ n p n npoH3BOJiŁHbix Harpy3Kax H npoH3BOJIŁHŁK KpaeBwx ycnoBHHX. PenienH e BŁiTeKaiomeii H3 nponeflypŁi flHCKpeiH3aiiHHj CHCTeiwbi ypaBHe-
ZASTOSOWAN IE I TER AC JI SEID LA 351
HHH noJiy^eHO c npHMeHeHHeM HTepau,noHHoro iweTofla 3eHflJiH co CBepxpejiaKcaqneii. ripHMeireHue
MeTofla 3eH,n;juł flano BO3MOWHOCTB MH ororayneH ^aToro nocTpoemiH cHCTeMM ypaBtieHHH n p n oflHOBpeMeHHOM ee peineHHH. TIpoi- paiwMa n posepeH a Ha pnfle iH CJiemn.ix npninepoB. PaccMaTpuBaeMbiii MeTOfl
MOJKeT HcnoJib3OBaTbcH fljiH n p yr u x sansn pemaeMLix meTOfloiw KOHe^HLix ajieMemoB.
S u m m a r y
APPLICATION OF SEID EL'S ITERATION TO TH E F IN ITE ELEMEN T METHOD, ON TH E
SAMPLE OF STATIC PLATE ANALYSIS
The paper presents a program of the finite element method applied to the static analysis of rectangular
plates with jumptype variable rigidity, under arbitrary boundary conditions and loads. The set of equations
resulting from the discretization process is solved by the iterational Seidel method with super- relaxation.
Application of the Seidel method enables the multi- step construction of the set of equations and its simultaneous solution. The program is verified on several numerical examples. The procedure discussed may
be applied to other finite element problems.
WYŻ SZ
A SZKOŁA IN Ż YN IERSKA
, O P O L E
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 23 stycznia 1974 r.