Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π

Krzywe stożkowe
Lekcja III: Okrąg i liczba π
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b
względem okręgu o równaniu (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 :
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b
względem okręgu o równaniu (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 :
prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b
względem okręgu o równaniu (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 :
prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
prosta i okrąg są styczne
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b
względem okręgu o równaniu (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 :
prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
prosta i okrąg są styczne
prosta przecina okrąg w dwóch punktach.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Prosta czerwona: y = x, prosta zielona y = x +
y = x + 25 oraz okrąg o równaniu x 2 + y 2 = 1.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
√
2, prosta cyjan:
Prosta styczna do okręgu
Niech dany będzie okrąg o równaniu (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 . Wtedy
równanie prostej stycznej do niego w punkcie P(x1 , y1 ) ma postać
(x1 − x0 )(x − x0 ) (y1 − y0 )(y − y0 )
+
=1
r2
r2
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Istnieje kilka możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Istnieje kilka możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów.
Okręgi przecinające się mają dwa punkty wspólne. Występuje to w
przypadku gdy
|r1 − r2 | < d(A, B) < r1 + r2
gdzie r1 , r2 to odpowiednio długości promieni poszczególnych okręgów, a
d(A, B) oznacza odległość pomiędzy punktem A i B (tutaj: środków
okręgu.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi
styczne:
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi
styczne:
zewnętrznie: d(A, B) = r1 + r2
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi
styczne:
zewnętrznie: d(A, B) = r1 + r2
wewnętrznie: d(A, B) = |r1 − r2 |
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to
okręgi rozłączne:
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to
okręgi rozłączne:
zewnętrznie: d(A, B) > r1 + r2
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to
okręgi rozłączne:
zewnętrznie: d(A, B) > r1 + r2
wewnętrznie: d(A, B) < |r1 − r2 |
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to
okręgi rozłączne:
zewnętrznie: d(A, B) > r1 + r2
wewnętrznie: d(A, B) < |r1 − r2 |
Szczególnym przypadkiem okręgów rozłącznych wewnętrznie są okręgi
współśrodkowe, gdy d(A, B) = 0, r1 6= r2 .
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Liczba π
W wielu obliczeniach pojawia się liczba π.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Liczba π
W wielu obliczeniach pojawia się liczba π.
π=
S
2r
gdzie S oznacza długość obwodu okręgu.
π ≈ 3, 14159265358979323846264338327950288
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Krótka historia liczby π
Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama
Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν,
co oznacza obwód.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Krótka historia liczby π
Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama
Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν,
co oznacza obwód.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Krótka historia liczby π
Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama
Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν,
co oznacza obwód.
W starożytnej Babilonii stosowano przybliżenie π ≈ 3. Potem
wyznaczono dokładniejszą wartość: π ≈ 3.125.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Archimedes
Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości
liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych
wpisanych i opisanych na okręgu. Niech Sn będzie obwodem n-kąta
opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś sn obwodem n-kąta
wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n −→ ∞ to wtedy obie wartości
dążą do tej samej liczby:
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Archimedes
Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości
liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych
wpisanych i opisanych na okręgu. Niech Sn będzie obwodem n-kąta
opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś sn obwodem n-kąta
wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n −→ ∞ to wtedy obie wartości
dążą do tej samej liczby:
lim Sn = lim sn = π.
n→∞
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
n→∞
Archimedes
Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości
liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych
wpisanych i opisanych na okręgu. Niech Sn będzie obwodem n-kąta
opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś sn obwodem n-kąta
wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n −→ ∞ to wtedy obie wartości
dążą do tej samej liczby:
lim Sn = lim sn = π.
n→∞
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
n→∞
Archimedes
Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Archimedes
Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96
Żyjący w III w n.e. chiński matematyk Liu Hui wyznaczył przybliżenie dla
n = 3072. Dostał on wartość 3.1415, która do dziś jest często używana
przy obliczeniach ręcznych.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Archimedes
Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96
Żyjący w III w n.e. chiński matematyk Liu Hui wyznaczył przybliżenie dla
n = 3072. Dostał on wartość 3.1415, która do dziś jest często używana
przy obliczeniach ręcznych.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności
Gottfried Wilhelm Leibnitz:
∞
π X (−1)n
=
4
2n + 1
n=0
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności
Gottfried Wilhelm Leibnitz:
∞
π X (−1)n
=
4
2n + 1
n=0
William Brouncker:
4
=1+
π
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
12
32
2+
52
2+
72
2+
2 + ...
Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności
Gottfried Wilhelm Leibnitz:
∞
π X (−1)n
=
4
2n + 1
n=0
William Brouncker:
4
=1+
π
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
12
32
2+
52
2+
72
2+
2 + ...
Liczba π w literaturze
Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby
wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego.
W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do
około 13 bilionów miejsc po przecinku.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Liczba π w literaturze
Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby
wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego.
W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do
około 13 bilionów miejsc po przecinku.
Najbardziej znanym wierszem w języku polskim jest napisany przez
Wisławę Szymborską wiersz pt. ”Liczba Pi”.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Liczba π w literaturze
Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby
wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego.
W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do
około 13 bilionów miejsc po przecinku.
Najbardziej znanym wierszem w języku polskim jest napisany przez
Wisławę Szymborską wiersz pt. ”Liczba Pi”.
Występują też różne rymowanki i wierszyki w każdym z języków, w
których długość kolejnych słów to kolejna cyfra rozwinięcia dziesiętnego
liczby π.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Liczba π w literaturze
Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!
(K. Cwojdzyński, 1930)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Liczba π w literaturze
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving
quantum mechanics!
(James Jeans)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Liczba π w literaturze
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving
quantum mechanics!
(James Jeans)
Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige
Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken.
Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.
(Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy
potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem
sobie ludolfinę w słowach. (C. Brenanto))
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Π - the movie
Amerykański thriller psychologiczny z 1998 roku. Główny bohater
Maximillian Cohe) jest matematykiem badającym liczbę π i
doszukującym się w niej klucza do zrozumienia natury świata. Jego
odkryciami interesują się maklerzy giełdowi, a także kabaliści.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π