lista 3 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań nr 3 – spotkanie w dniu 24.11.2007.
Kąty w kole
1. Twierdzenie o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku.
C
γ
A
α
2. Porównaj kąty α, β, γ (rysunek).
M
B
β
N
3. W czworokącie wypukłym ABCD na każdym z boków zbudowano koło, którego średnicą jest ten bok. Udowodnić, że koła te pokrywają czworokąt. (Dwa
rozwiązania.)
4. Niech M będzie dowolnym punktem leżącym na okręgu opisanym na trójkącie
ABC i niech A1 , B1 i C1 będą odpowiednio rzutami prostopadłymi punktu M
na proste BC, CA i AB. Udowodnić, że punkty A1 , B1 i C1 leżą na jednej prostej.
Uwaga. Prostą przechodzącą przez punkty A1 , B1 i C1 , o których mowa w
zadaniu 4, nazywamy prostą Simsona punktu M względem trójkąta ABC. Inne
własności prostej Simsona i uogólnienia można znaleźć w zbiorze zadań: И.Ф.
Шарыгин, Задачи по геометрии. Планиметрия.
Rozwiązania: I – oparte o twierdzenie Menelaosa, II – wykorzystujące kąty
wpisane i środkowe.
5. Niech M będzie dowolnym punktem leżącym na okręgu opisanym na trójkącie
równobocznym ABC. Udowodnić, że długość jednego z odcinków AM, BM,
CM jest równa sumie długości dwóch pozostałych odcinków.
6. (Twierdzenie Ptolemeusza.) Jeżeli czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w
okrąg, to
|AB| · |CD| + |AD| · |BC| = |AC| · |BD|.
7. Dane są okrąg o środku O i promieniu r oraz
punkt P . Przez punkt P prowadzimy proste p
i q, z których każda przecina okrąg w dwóch
punktach. Prosta p przecina okrąg w punktach
A i B, zaś prosta q w punktach C i D. Udowodnić, że:
(1) |P A| · |P B| = |P C| · |P D|,
P
A
B
C
p
O
q
D
(2) |P A| · |P B| = ||P O| − r |.
2
2
(Rozważyć różne położenia punktu P .)
Definicja. Wyrażenie |P O|2 −r 2 nazywamy potęgą punktu P względem okręgu
o środku O i promieniu r.
8. Wyznaczyć zbiór punktów o tej samej potędze względem danych dwóch okręgów o różnych środkach.
Definicja. Wyznaczoną w zadaniu 8 prostą nazywamy prostą potęgową pary
okręgów.
9. Wyznaczyć zbiór punktów o tej samej potędze względem trzech okręgów, których środki nie leżą na jednej prostej. (Środek potęgowy trójki okręgów.)
10. W sześciokącie wypukłym ABCDEF mamy: |AB| = |BC|, |CD| = |DE|,
|EF | = |F A|. Wykazać, że proste zawierające wysokości trójkątów BCD, DEF ,
F AB, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków C, E, A, przecinają się w
jednym punkcie. (XLVI Olimpiada Matematyczna, rok 1994/95, zawody II stopnia.)