Autoreferat

Autoreferat
1. Imię i nazwisko: Witold Bednorz
2. Posiadane dyplomy:
(a) Dyplom magistra matematyki uzyskany w czerwcu 2002 roku w ramach Międzywydziałowych Studiów Matematyczno-Przyrodniczych na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.
(b) Dyplom doktora nauk matematycznych uzyskany w grudniu 2005 roku na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Tytuł rozprawy: Badanie
ograniczoności procesów stochastycznych przy pomocy miar majoryzujących.
3. Zatrudnienie w jednostkach naukowych:
(a) 1 października 2007 - Adiunkt w Instytucie Matematyki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.
(b) 1 października 2007 - 30 września 2008 Postdoc Fellow (FRG - Fellowship) Department of
Mathematics, University of Missouri Columbia US (urlop z PAN).
(c) 1 luty 2007 - 31 lipca 2007 Postdoc Fellow (Marie Curie Fellowship) Department of Mathematics University College London UK (urlop z PAN).
(d) 1 października 2006 - 30 września 2008 Adiunkt w Instytucie Matematyki Polskiej Akademii
Nauk (urlop z UW).
(e) 1 października 2005 - 30 września 2007 Asystent w Instytucie Matematyki na Wydziale
Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.
4. Wskazanie osiągnięcia wynikającego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003
r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule naukowym
zakresie sztuki: jednotematyczny cykl 10 publikacji
(a) Tytuł:Górne i dolne ograniczenia dla procesów stochastycznych
(b) Publikacje stanowiące cykl:
[Bed1] Bednorz, W. (2006), A Note on a Men’shov-Rademacher Inequality, Bull. Acad.
Polon. Sci. , 54, No. 1, 26-30 , 113-137.
[Bed2] Bednorz, W. (2007), The Hölder Continuity of Random Processes, Journal of Theoretical Probability, 20, No 4, 917-934.
[Bed3] Bednorz, W. (2008), On Talagrand’s admissible net approach to majorizing measures
and boundedness of stochastic processes, Bull. Acad. Polon. Sci. 56, No. 1 s. 83-91.
[Bed4] Bednorz, W. (2008), Greedy bases are best for m-term approximation, Constructive Approximation, 28, No. 3, 265-275.
[Bed5] Bednorz, W. (2008), Greedy Type Bases in Banach Spaces, (chapter in the book:
Advances in Greedy Algorithms) INTEH, ISBN 978-953-7619-27-5.
[Bed6] Bednorz, W. (2010), Majorizing measures on metric spaces, Comptes Rendus Mathematique 348, (1-2), s. 75-78.
1
[Bed7] Bednorz, W. (2011), On the convergence of orthogonal series, Comptes Rendus
Mathematique 349, (7-8), s. 455-458.
[Bed8] Bednorz, W. (2012), Majorizing Measures and Ultrametric Spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. Math. 60, No .1, 91-100.
[Bed9] Bednorz, W. (2013), The complete characterization of a.s. convergence of orthogonal
series, Annals of Probability, 41, No. 2, 1055-1071.
[Bed10]Bednorz, W. and Latala, R. (2013), On the supremum of Bernoulli processes Comptes Rendus in Mathematique http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2013.02.013.
(c) Omówienie celu naukowego ww. prac i osiągniętych wyników wraz z omówieniem ich ewentualnego wykorzystania.
Wprowadzenie
Badanie rodzin zmiennych losowych stanowi centralne zagadnienie teorii prawdopodobieństwa. W szczególnym przypadku, gdy rodzinę zmiennych losowych indeksujemy podzbiorem prostej rzeczywistej mówimy o procesie stochastycznym, co dobrze odzwierciedla
ideę modelowania zjawisk losowych zachodzących w czasie. W celu badania bardziej skomplikowanych zagadnień na przykład procesów empirycznych, bądź procesów o wartościach
w ośrodkowych przestrzeniach Banacha korzysta się z pól losowych czyli rodzin zmiennych
indeksowanych dowolnymi zbiorami. Chociaż w przypadku pól losowych nie można mówić
o porządku prostej rzeczywistej na zbiorze indeksów przyjęło się również nazywać tego typu
konstrukcje mianem procesów stochastycznych. Ogólne zbiory indeksów zwykle dopuszczają
pewną strukturę geometryczną pochodzącą od procesu, na przykład badając przyrosty procesu łatwo zaproponować pseudometrykę na zbiorze indeksów. Jednym z podstawowych zagadnień podstawowej teorii procesów stochastycznych jest badanie trajektorii, czyli ścieżek
definiowanych na zbiorze indeksów przez zmienne dla ustalonych elementów losowych. Naturalnym sposobem badania trajektorii procesów jest aproksymacja zbioru indeksów skończonymi podzbiorami, co potocznie określa się mianem ąrgumentu łańcuchowego". Argument
łańcuchowy był pierwotnie stosowany [Slu] do badania trajektorii procesów zdefiniowanych
na podzbiorach prostej rzeczywistej. Początkiem badania trajektorii ogólnych procesów stochastycznych były wyniki uzyskane przez R.Dudleya [Dud] w latach siedemdziesiątych. Jako
pierwszy zastosował on pojęcie entropii metrycznej pozwalające na powiązanie geometrycznej struktury przestrzeni indeksów z własnościami trajektorii pól losowych. Okazało się, że
tego typu wyniki są istotne dla analizy ogólnych procesów gaussowskich. Korzystając z pojęcia entropii X.Fernique [Fer1] rozwiązał problem ograniczoności i ciągłości trajektorii procesów gaussowskich na półgrupach. Naturalne stało się więc pytanie co można powiedzieć
w przypadku ogólnych procesów gaussowskich zdefiniowanych na zbiorach pozbawionych
dodatkowej algebraicznej struktury. Okazało się, że metodami entropii nie da się w pełni
rozstrzygnąć tego problemu. X.Fernique [Fer2] zaproponował pojęcie miar majoryzujących,
które lepiej nadawały się do kontroli nieregularności przestrzeni indeksów. Pod koniec lat
osiemdziesiątych M.Talagrand [Tal1] rozwiązał problem ograniczoności procesów Gaussowskich dowodząc, że skończoność odpowiedniego funkcjonału dla pewnej miary majoryzującej
na zbiorze indeksów jest warunkiem równoważnym ograniczoności trajektorii procesu gaussowskiego. Prosta modyfikacja tego funkcjonału decyduje o ciągłości procesu Gaussowskiego.
Twierdzenie Talagranda uważane jest za jedno z przełomowych odkryć podstaw teorii procesów stochastycznych. Następstwem było wiele wyników dotyczących ograniczeń górnych
i dolnych na początku lat dziewięćdziesiątych [Tal3,Tal4,Tal5,Lat1]. Głównym celem mojej
2
pracy było zbadanie podstaw teorii ograniczoności w celu wzmocnienia i poprawy dostępnych narzędzi, a następnie atak na węzłowe problemy teorii.
Miary majoryzujące i oszacowania górne
W trakcie pracy nad ograniczonością procesów Gaussowskich M.Talagrand postawił wiele
naturalnych pytań dotyczących ogólnej natury ograniczoności procesów stochastycznych.
Swoje rozważania zawarł w pracy [Tal2], która była dla mnie punktem wyjścia do pracy nad
tą teorią. Pierwszym problem który rozwiązałem w trakcie studiów doktoranckich było następujące pytanie: czy fakt istnienia miary majoryzującej zawsze determinuje ograniczoność
odpowiednio powiązanej klasy procesów stochastycznych? Niech (T, d) będzie przestrzenią
metryczną, a ϕ : R+ → R+ funkcją Younga (ciągłą, rosnącą, wypukłą, ϕ(0) = 0). Rozważmy
klasę procesów X(t), t ∈ T których przyrosty są ograniczone w znaczeniu, że
Eϕ(
|X(s) − X(t)|
) 6 1 dla s, t ∈ T,
d(s, t)
(1)
lub równoważnie
kX(s) − X(t)kϕ 6 d(s, t) dla s, t ∈ T.
W szczególnym przypadku ϕp (x) ≡ xp , x > 0, p > 1 otrzymujemy klasy procesów o przyrostach ograniczonych wielomianowo względem metryki d, to znaczy
E|X(s) − X(t)|p 6 d(s, t)p dla s, t ∈ T.
Z punktu widzenia ogólnej teorii [Tal2] istotne jest, że ograniczoność trajektorii wszystkich
procesów o przyrostach ograniczonych w powyższym sensie jest równoważna skończoności
S(T, d, ϕ) = sup E sup |X(s) − X(t)|,
X
s,t∈T
gdzie supremum przebiega wszystkie procesy spełniające warunek (1). Problem charakteryzacji ograniczoności klasy procesów o przyrostach ograniczonych polega na znalezieniu właściwej wielkości deterministycznej porównywalnej z S(T, d, ϕ). W pracy [Tal2] M.Talagrand
pokazał, że funkcjonały związane z miarami probabilistycznymi na (T, d) mogą pełnić taką
funkcję przy bardzo ogólnych założeniach. Miarę µ nazywamy majoryzującą jeśli
Z D(T )
1
M(ϕ, µ) = sup
ϕ−1 (
)dε < ∞.
µ(B(t, ε))
t∈T 0
M. Talagrand przy użyciu technicznie skomplikowanych środków wykazał [Tal2], że istnienie
miary majoryzującej implikuje ograniczoność procesów o przy założeniu, że ϕ rośnie odpowiednio szybko (spełnia 42 warunek w zerze) . W swojej pracy postawił pytanie czy warunek istnienia miary majoryzującej implikuje ograniczoność procesów dla dowolnej ustalonej
funkcji Younga ϕ, uznając je za trudne. Twierdzenie, które otrzymałem w pracy [BedA],
potwierdziło to przypuszczenie, jak wykazałem dla pewnej stałej absolutnej K
S(T, d, ϕ) 6 KM(ϕ, µ), dla dowolnej miary probabilistycznej µ.
Metoda dowodu była oparta o konstrukcję ciągu operatorów uśredniających zadaną funkcję ciągłą względem miary µ, a kluczowym pomysłem było zastosowanie w definicji tych
3
operatorów miar kul o ściśle zadanej wielkości. Pomysł ten jest w swej istocie analogiczny
do idei sieci dopuszczalnych wprowadzonych przez M.Talagranda w [Tal6]. W pracy [BedA]
znajduje się też kilka wzmocnień twierdzenia o miarach w znaczeniu istnienia odpowiednich
momentów sups,t∈T |X(s) − X(t)|. Na przykład dla ϕ spełniających warunek wielomianowy
ϕ(x)ϕ(y) 6 ϕ(rxy) dla x, y > 0
zachodzi
E sup ϕ(
s,t∈T
|X(s) − X(t)|
)61
KM(ϕ, µ)
dla pewnej stałej K zależnej tylko od ϕ. Nadto w szczególnym przypadku ϕ(x) = x okazuje
się, że
E sup |X(s) − X(t)| 6 K M̄(ϕ, µ), dla każdej miary µ
s,t∈T
gdzie
Z Z
M̄(ϕ, µ) =
T
0
D(T )
1
dεµ(dt).
µ(B(t, ε)
Twierdzenie o miarach majoryzujących potwierdza przydatność tego narzędzia dla szacowania z góry procesów stochastycznych, szczególnie w sytuacji, gdy ϕ rośnie wielomianowo.
Wyniki te zachęciły mnie do dalszego badania roli miar majoryzujących w analizie ograniczeń górnych i dolnych dla procesów oraz związków tego pojęcia z zaproponowanym przez
M. Talagranda pojęciem sieci dopuszczalnych.
Przypadek podzbiorów Rd
Warunek istnienia miary majoryzującej implikuje ograniczoność dla klasy procesów o
przyrostach ograniczonych, pozostała jednak otwarta kwestia pełnej geometrycznej charakteryzacji tego zjawiska. Wiadomo było [Tal2], że w pewnych przypadkach lepsze od miar
majoryzujących są metody rachunku różniczkowego co skłoniło mnie do dokładnej analizy tego problemu. Jeszcze podczas doktoratu, w pracy [BedB] w pełni scharakteryzowałem S(T, d, ϕ) dla wypukłych podzbiorów Rn , a odpowiedź okazała się umiejętnym połączeniem metody miar majoryzujących oraz pewnej nierówności Sobolewa. Wzmiankowana
nierówność Sobolewa dotyczy dowolnych funkcji f lipschitzowskich na zbiorze wypukłym
T = Bk·k (0, r) ⊂ (Rn , k · k), gdzie k · k jest ustaloną norma na Rn , a Bk·k (0, r) = {s ∈ Rd :
ksk 6 r}. Pokazałem, że dla dla dowolnych A, B > 0 zachodzi
Z r
Z
1
1
1
n−1
sup |f (s) − f (t)| 6 6AB(
ψ( n−1 )ε
dε +
ϕ( k∇f (u)k∗ )du),
Aε
n|Bk·k (0, 1)| T B
s,t∈T
0
gdzie k · k∗ jest normą na Rn dualną do k · k, a ψ funkcją Younga dualną do ϕ. W szczególności oznacza to, że dla metryki d(s, t) = ks − tk, s, t ∈ T oraz T = Bk·k (0, r) ⊂ Rn
i ustalonej funkcji Younga ϕ warunkiem koniecznym i wystarczającym na ograniczoność
dowolnych procesów X(t), t ∈ T o przyrostach ograniczonych jest skończoność S0 będącego
rozwiązaniem równania
Z r n−1
ε
rn
ψ(
)dε = 1.
rn
S0 εn−1
0
4
Ściślej zachodzi nierówność
K −1 S0 6 S(T, d, ϕ) 6 KS0 ,
gdzie stała K zależy tylko od n. Następnie uogólniłem to rozumowanie na przypadek odległości postaci d(s, t) = η(ks − tk), gdzie η jest funkcją wklęsłą, rosnącą η(0) = 0. Jak się
okazało kluczowe znaczenie ma zachowanie funkcji η w 0. Funkcja η(y)/y jest malejąca i dodatnia. Zakładamy, że η 0 (0) = ∞ (przypadek skończonej pochodnej jest de facto analogiczny
względem opisywanego powyżej). Niech r0 = η(r), dla k > 0 definiujemy
rk+1 := inf{ε > 0 : rk 6 2ε lub
ε
η −1 (ε)
62
rk
}.
−1
η (rk )
Ciąg (rk )k>0 maleje do 0, gdyż rk+1 6 r2k . Założenie η 0 (0) = ∞ gwarantuje, że rk > 0. Są
dwie możliwości:
rk+1
rk
rk = 2rk+1 lub −1
= 2 −1
.
η (rk+1 )
η (rk )
Zauważmy też, że
2rk+1 6 rk , 2
rk
rk+1
6 −1
.
η −1 (rk )
η (rk+1 )
Dla k > 0 definiujemy liczby Sk jako liczby spełniające zależność
Z rk
Z rk −1 n
µ(B(0, ε))
ε
η (ε)
rn ε
ψ(
)dε =
ψ(
)dε = 1.
n
ε
Sk µ(B(0, ε))
r ε
Sk η −1 (ε)n
rk+1
rk+1
Głównym wynikiem pracy [BedB] było wykazanie, że w przypadku T = Bk·k (0, r) ⊂ Rn ,
d(s, t) = η(ks − tk), s, t ∈ T warunkiem koniecznym i wystarczającym
P dla ograniczoności
trajektorii procesów o przyrostach ograniczonych jest skończoność ∞
k=0 Sk , ściślej
K
−1
∞
∞
X
X
(
Sk ) 6 S(T, d, ϕ) 6 K(
Sk ),
k=0
k=0
gdzie stała K zależy tylko od ϕ. Istotną konsekwencją uzyskanych wyników było dla mnie
pytanie, gdzie jest granica stosowalności miar majoryzujących do pełnej charakteryzacji
ograniczoności klasy procesów, na co udało mi się odpowiedzieć w cyklu prac stanowiących
podstawę habilitacji.
Hölderowska ciągłość
Pierwszym kierunkiem, który badałem po doktoracie było w jakim stopniu miary majoryzujące implikują silniejszą regularność trajektorii procesów o przyrostach ograniczonych.
Istotnie, z twierdzenia o miarach można wywnioskować dużo więcej na temat ciągłości trajektorii a nawet ich hölderowskiej ciągłości. Niech (T, d) będzie przestrzenią metryczną.
Niech ϕ będzie ustaloną funkcją Younga, a m ustaloną miarą na (T, d). W pracy [Kwa]
Kwapień i Rosiński zaproponowali następującą odległość
τϕ,m
Z
= max{
0
d(s,t)
−1
ϕ
1
(
),
m(B(s, ε))
5
Z
0
d(s,t)
ϕ−1 (
1
)}.
m(B(t, ε))dε
Dla funkcji Younga ϕ spełniających warunek wykładniczy, czyli
ϕ(u)ϕ(v) 6 Lϕ(u + v), dla u, v > 0,
gdzie L jest stałą uniwersalną wykazali oni, że istnieje stała K zależna tylko ϕ taka, że
E sup ϕ(
s,t∈T
|X(s) − X(t)|
) 6 1,
Kτϕ,m (s, t)
(2)
dla każdego procesu X(t), t ∈ T , spełniającego (1). Wynik ten oznacza hölderowską ciągłość trajektorii względem pseudometryki τϕ,m . W szczególności można uzyskać z niego
optymalne oszacowanie modułu ciągłości dla ruchu Browna lub ogólniej dla ułamkowych
ruchów Browna. Jeszcze w pracy doktorskiej minimalnie poprawiłem ten wynik pokazując,
że zachodzi zjawisko koncentracji w następującym sensie, że
E sup ϕ(
s,t∈T
|X(s) − X(t)| − Aτϕ,m (s, t)
) 6 1,
Bd(s, t)
dla pewnych stałych uniwersalnych A, B zależnych tylko od ϕ.
W pracy [Bed2] zależało mi na wykazaniu, że istnienie miary majoryzującej m na (T, d)
zawsze implikuje istnienie modułu ciągłości, porównywalnego lub trochę słabszego niż τϕ,m .
Niech ϕ, ψ będą funkcjami Younga dla uproszczenia spełniającymi dodatkowo warunek
ϕ(1) = ψ(1) = 1 takimi, że dla pewnej stałej R > 1 oraz ustalonego n ∈ N:
∞
X
ϕ(Rk−1 )
ϕ(Rk )
ϕ(Rk )
6
,
dla
k
>
1,
k
∈
N,
oraz
< ∞.
ϕ(Rk+1 )
ϕ(Rk )
ψ(Rk+n )
k=0
Pokazałem, że wówczas dowolny proces o przyrostach ograniczonych w sensie warunku (1)
dla funkcji ψ, to znaczy
|X(s) − X(t)|
) dla s, t ∈ T,
Eψ(
d(s, t)
spełnia
|X(s) − X(t)|
6 1,
Kτϕ,m (s, t)
E sup
s,t∈T
gdzie K jest stałą zależną tylko od ϕ, ψ. Nadto, jeśli ψ spełnia dodatkowo warunek wielomianowy
ψ(x)ψ(y) 6 ψ(rxy) dla x, y > c
dla ustalonych c > 0, r > 1, wówczas zachodzi
E sup ψ(
s,t∈T
|X(s) − X(t)|
)61
Kτϕ,m (s, t)
Wynik ten dowodzi, że regularność można wykazać zawsze, być może względem minimalnie
słabszej metryki. Oczywiście najlepiej, gdy można wziąć ϕ = ψ jednak warunek
∞
X
ϕ(Rk )
<∞
ψ(Rk+n )
k=0
6
wymusza wtedy, aby ϕ rosło nieznacznie szybciej niż wielomianowo. Pozostaje pytanie co
można udowodnić w sytuacji wielomianowej, kiedy chcemy badać regularność względem
τϕ,m . Odpowiedź na to pytanie również została udzielona w pracy [Bed2]. Okazuje się, że w
przypadku ϕ(x) = xp , p > 1 dla każdego procesu spełniającego (1) zachodzi
E sup
s,t∈T
|X(s) − X(t)|p
6 K M̄(ϕ, m),
Kτm,ϕ (s, t)p−1
gdzie K jest stałą zależną tylko od ϕ, a
Z Z D(T )
ϕ−1 (
M̄(ϕ, m) =
T
0
1
)dεm(dt).
m(B(t, ε))
Oznacza to, że dla procesów X(t), t ∈ T takich, że E|X(t) − X(s)|p 6 d(s, t)p z faktu istnienia miary majoryzującej wynika nie tylko ograniczoność trajektorii ale również hölderowska
p−1
ciągłość względem τ|x|p ,m (s, t) (to znaczy lipschitzowska ciągłość względem τ|x|p ,m (s, t) p ).
W szczególności dla p = 2 otrzymujemy ciągłość procesów o przyrostach subortogonalnych
względem τ|x|2 ,m . Metoda dowodu bazuje na analizie momentu w którym należy z łańcucha
aproksymującego punkt t ∈ T przeskoczyć do łańcucha aproksymującego s ∈ T . Pomysł ten
wciąż ma w sobie potencjał i jest aktualnie badany przez mnie w dużo bardziej skomplikowanym środowisku.
Przestrzenie metryczne
Dla przestrzeni metrycznych rachunek różniczkowy jest zwykle dużo trudniejszy, stąd
bardzo intrygującym pytaniem jest opisanie własności przestrzeni (T, d) które gwarantują,
że warunek istnienia miary majoryzującej jest jednocześnie konieczny i wystarczający dla
ograniczoności klasy procesów o przyrostach ograniczonych. Na to pytanie udało mi się
odpowiedzieć parę lat po doktoracie. Okazuje się, że kluczowe znaczenie ma to czy metryka
spełnia warunek minimalnie silniejszy niż nierówność trójkąta. W pracy [Tal2] M.Talagrand
pokazał, że warunek istnienia miary majoryzującej jest równoważny skończoności S(T, d, ϕ)
dla metryki d w przypadku, gdy d jest ultrametryką czyli d(s, t) 6 max{d(s, u), d(t, u)},
dla s, t, u ∈ T . Jednakże struktura przestrzeni ultrametrycznej (de facto struktura drzewa)
jest bardzo daleka od typowej struktury przestrzeni Rd . Stąd naturalne pytanie czy słabszy
warunek wystarcza, na przykład
1
d(s, t) 6 [d(s, u)p + d(t, u)p ] p dla s, t, u ∈ T,
dla pewnego p > 1. Ogólniej problem formułuje się dla dowolnej funkcji η wklęsłej, rosnącej,
η(0) = 0 postulując, że
d(s, t) 6 η(η −1 (d(s, t)) + η −1 (d(s, t))) dla s, t, u ∈ T.
(3)
O funkcji η −1 trzeba wiedzieć, że jest dobrze określona na przedziale [0, D(T )] oraz założyć,
że η −1 spełnia warunek 42 w zerze. W szczególności funkcje η −1 (x) = xp , p > 1 spełniają te
założenia. W pracy [Bed6] wykazałem, że dla przestrzeni (T, d), gdzie d spełnia wzmocniony
warunek trójkąta (3) dla każdej ustalonej funkcji Younga ϕ istnienie miary majoryzującej
jest równoważne skończoności S(T, d, ϕ). Ściślej istnieje pewna miara m taka, że
K −1 M(ϕ, m) 6 S(T, d, ϕ) 6 KM(ϕ, m),
7
gdzie stała K zależy tylko od funkcji η. Otrzymany wynik jest przykładem oszacowania z
dołu dla problemu badania ograniczoności dla rodziny procesów. Metoda dowodu polega
na skorzystaniu z pomysłu Fernique’a [Fer2] dowodzenia istnienia miary majoryzującej to
znaczy, że warunek
Z D(T )
1
sup
ϕ−1 (
)dεµ(dt) = sup(M̄(ϕ, µ)) < ∞
µ(B(t, ε))
µ
µ
0
oznacza istnienie miary majoryzującej m na T takiej, że
K −1 (ϕ, m) 6 sup M̄(ϕ, µ) 6 KM(ϕ, m),
µ
gdzie K jest stałą uniwersalną . Dla ustalonej miary µ wystarczy zatem skonstruować proces
Xµ taki, że
E sup |Xµ (t) − Xµ (s)| > K −1 M̄(ϕ, µ),
t∈T
gdzie K jest stałą uniwersalną.
Powyższa teoria ma główne zastosowanie do badania procesów na dowolnym podzbiorze
1
T ⊂ Rd . Jeśli tylko d(s, t) = ks − tk p dla pewnego p > 1, to skończoność S(T, d, ϕ) jest
równoważna istnieniu miary probabilistycznej m takiej, że M(ϕ, µ) < ∞. Najprostszym
przypadkiem są przyrosty subortogonalne dla procesu na podzbiorze prostej, to znaczy gdy
1
T ⊂ R oraz E|X(s) − X(t)|2 6 |t − s|, dla s, t ∈ T . Wtedy d(s, t) = |s − t| 2 . Zatem
ograniczoność wszystkich procesów sub-ortogonalnych jest równoważna istnieniu miary majoryzującej. W klasie procesów subortogonalnych zawarta jest duża podklasa procesów o
przyrostach ortogonalnych czyli spełniających warunek
E|X(s) − X(t)|2 = |s − t|, dla każdego s, t ∈ T,
gdzie T ⊂ R. Nietrudno zauważyć, że procesy o przyrostach ortogonalnych pełnią dominującą rolę wśród wszystkich procesów o przyrostach subortogonalnych, zatem naturalną
hipotezą było, że ograniczoność wszystkich procesów ortogonalnych jest równoważna istnieniu miary majoryzującej, co oznacza, że mniejsza klasa procesów wybija dolne ograniczenie.
W dalszym ciągu badań udało mi się potwierdzić prawdziwość tej hipotezy. Warto wspomnieć, że wyniki moich badań były wykorzystywane przez J.Olejnika [Ole].
Procesy o przyrostach ortogonalnych
Z procesami ortogonalnym zetknąłem się po raz pierwszy tuż po doktoracie poprawiając
szacowanie na stałą w nierówności Men’shova [Men]. Mówimy, że Xi , i > 1 jest rzeczywistym
lub zespolonym ciągiem zmiennych ortogonalnych, jeśli
E|Xi |2 < ∞ dla i > 1 oraz E(Xi Xj ) = 0 dla i 6= j.
Ciąg Xi , i > 1 jest ortonormalny jeśli jest ortogonalny oraz E|Xi |2 = 1 dla każdego i > 1.
Dla każdego ciągu ortogonalnego tworzymy ciąg o przyrostach ortogonalnych S0 = 0 oraz
Sj = X1 + ... + Xj , j > 1. Jest jasne, że
j
X
E|Si − Sj |2 =
k=i+1
8
E|Xk |2 , dla i 6 j.
Nierówność Mienshova głosi, że istnieje stała Dn taka, że
E sup |Si |2 6 Dn E|Sn |2 ,
16i6n
dla każdego ortogonalnego ciągu ortogonalnego Xi , i > 1. Ogólnie wiadomo, że stała Dn
jest rzędu log22 n. Za pomocą metody łańcuchowej w pracy [Bed1] udało mi się pokazać, że
Dn
1
< ,
2
n→∞ log n
9
2
C = lim
co ponad dwukrotnie poprawiało wtedy znane oszacowanie [Cho].
Wkrótce potem otrzymałem do przeczytania pracę A.Paszkiewicza, w której dowodził on
pełną charakteryzację prawie pewnej zbieżności szeregów ortogonalnych za pomocą bardzo wyrafinowanej metody uśrednień. Praca ta została ostatecznie przyjęta do publikacji
[Pas1,Pas2] a jednym z wniosków, który mnie najbardziej zainteresował był związek charakteryzacji zbieżności prawie pewnej z miarami majoryzującymi. Niech ai , i > 1 będzie
dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych. Chodzi o charakteryzacje tych ciągów ai , i > 1 dla
których
∞
X
ai Xi zbiega p.n. dla każdego ciągu ortonormalnego Xi , i > 1
i=1
P
2
Jest jasne, że ∞
i=1 ai musi być skończone, nadto konkretny znak wartości ai , i > 1 jak
i indeksy i > 1Ptakie, że ai = 0 są bez znaczenia dla problemu. Dlatego dla uproszczenia
2
zakłada
się, że ∞
i=1 ai = 1 oraz ai > 0. Niech zbiór T ⊂ [0, 1] składa się z punktów postaci
Pn
2
i=1 ai dla n > 1 oraz z 0. Z każdym szeregiem ortogonalnym o współczynnikach ai ,
i > 1 jednoznacznie związany
jest proces o przyrostach ortogonalnych na T zadany wzorem
Pn
2
X(0) = 0 oraz dla t = i=1 ai
n
X
X(t) =
ai Xi .
i=1
Na odwrót z każdym procesem X(t), t ∈ T o przyrostach ortogonalnych na T stowarzyszony
jest pewien ciąg ortonormalny zadany wzorem
Xi =
i
X
a−1
i (X(
j=1
a2j )
− X(
i−1
X
a2j )).
j=1
P
Pytanie o zbieżność prawie pewną ∞
i=1 ai Xi jest więc równoważne ograniczoności trajektorii procesów o przyrostach ortogonalnych X(t), t ∈ T , o których była mowa już wcześniej.
Twierdzenie o pełnej charakteryzacji ograniczoności procesów o przyrostach ortogonalnych
mówi, że warunkiem koniecznym i wystarczającym ograniczoności procesów o przyrostach
ortogonalnych na zbiorze T ⊂ [0, 1] takim, że 0 ∈ T oraz D(T ) = 1 jest istnienie miary
majoryzującej m na T , czyli miary m takiej, że
Z 1
1
1
2
M(|x| , m) = sup
(
) 2 dε < ∞,
t∈T 0 m(B(t, ε))
9
gdzie B(t, ε) = {s ∈ T :
p
|s − t| 6 ε}. Ściślej
K −1 M(|x|2 , m) 6 sup E sup |X(t) − X(s)| 6 KM(|x|2 , m).
X
s,t∈T
Głównym wynikiem zaanonsowanym w pracy [Bed7], a wykazanym w [Bed9] był dowód
pełnej charakteryzacji ograniczoności procesów o przyrostach ortogonalnych metodą argumentu łańcuchowego. Pomysł polega na tym, aby dla każdej miary µ na T wykazać, że
istnieje rosnąca rodzina partycji An , n > 0 oraz funkcjonałów Fn (A) dla A ∈ An oraz
n > 0, która spełnia warunek
X
µ(B)Fn+1 (B).
µ(A)Fn (A) > µ(A)εn (A) +
B∈An+1 (A)
W powyższej równości rodzina An+1 (A) składa się z tych z podzbiorów A, które należą do
An+1 , natomiast liczby εn (A), n > 0 są tak dobrane, aby następnie korzystając z indukcji wykazać dolne ograniczenie na supX E sups,t∈T |X(t) − X(s)| w postaci M̄(|x|2 , µ). Z
dowolności µ wynika dalej nierówność
K −1 sup M̄(|x|2 , µ) 6 sup E sup |X(t) − X(s)|,
µ
X
s,t∈T
zatem na mocy wspomnianego już pomysłu Fernique’a dostajemy istnienie miary majoryzującej postulowanej w charakteryzacji.
Sieci punktowe
Kolejnym kierunkiem moich badań był związek miar majoryzujących z rozwijaną przez
Talagranda teorią sieci dopuszczalnych. Udało mi się znaleźć pełną równoważność obydwu
teorii dla dowolnych przestrzeni indeksów (T, d) oraz dowolnych funkcji Younga ϕ odpowiedzialnych za ograniczoność przyrostów procesów. Dla uproszczenia przyjmijmy, że ϕ(1) = 1
(standaryzacja funkcji Younga). Sieć podzbiorów skończonych Tn , n > 0 zbioru T nazywamy
dopuszczalną jeśli |Tn | 6 ϕ(Rn ) dla ustalonego R > 1 i każdego n > 1 oraz |T0 | = 1. Wynik,
który otrzymałem w pracy [Bed3] to twierdzenie, że z faktu istnienia miary majoryzującej
m wynika istnienie sieci dopuszczalnej Tn , n > 0 takiej, że
∞
X
d(t, Tn )Rn 6 KM(ϕ, m)
n=0
oraz
∞
X
n=1
X
1
d(u, Tn−1 )Rn−1 6 K M̄(ϕ, m).
ϕ(Rn+1 )
u∈Tn
Z drugiej strony udowodniłem następujące ograniczenie górne dla dowolnego procesu X(t),
t ∈ T spełniającego (1): dla R > 2
E sup |X(t) − X(s)| 6 A sup
s,t∈T
∞
X
n
d(t, Tn )R + B
t∈T n=0
∞
X
n=1
X
1
d(u, Tn−1 )Rn−1 ,
ϕ(Rn+1 )
u∈Tn
gdzie A, B są stałymi uniwersalnymi zależącymi tylko od R. Powyższe twierdzenia w pełni
tłumaczą jak działają miary majoryzujące w terminach sieci punktowych, w szczególności
10
odpowiadają na pytanie M.Talagranda, który chciał wiedzieć jak zastosować teorię sieci
dopuszczalnych w przypadku wielomianowych ϕ. Metoda dowodu to pewien argument konstrukcyjny jak z miar konstruować sieci oraz dalsze wzmocnienie argumentu łańcuchowego.
Kolejnym problemem sformułowanym przez M.Talagranda, na który udało mi się odpowiedzieć w pracy [Bed8], było pytanie dlaczego znaleziony przez niego pomysł stosowania faktoryzacji przez przestrzenie ultrametryczne nie działa dla wolno rosnących ϕ, gdzie wciąż
można korzystać z miar majoryzujących. Pytanie to przekłada się na główną myśl argumentu łańcuchowego, czy istnieje ultrametryka ρ (struktura drzewa) na przestrzeni T taka,
że d(s, t) 6 ρ(s, t) oraz wszystkie procesy o przyrostach ograniczonych względem ρ mają
ograniczone trajektorie? To znaczy czy istnieje ultrametryka ρ dominująca d i taka, że
sup E sup |X(t) − X(s)| < ∞,
X
s,t∈T
gdzie supremum bierzemy po wszystkich procesach X(t), t ∈ T , które spełniają
Eϕ(
|X(t) − X(s)|
) 6 1 dla s, t]inT.
ρ(s, t)
Okazuje się, że istnienie takiej ultrametryki jest związane z pytaniem czy sieć podzbiorów dopuszczalnych może być rosnąca. W istocie gwarantuje to warunek istnienia C < ∞
takiego, że
∞
X
Rj
Rk
dla k > 0.
6
C
ϕ(Rj )
ϕ(Rk )
j=k
Dowód polega na umiejętnej konstrukcji ultrametryki na T zbliżonej do ogólnego argumentu
łańcuchowego z mojej pracy [Bed3] o sieciach dopuszczalnych.
Procesy znaków losowych
Wszystkie dotychczasowe rezultaty dotyczyły klas procesów. W przypadku twierdzeń o
miarach majoryzujących - szerokich klas procesów o przyrostach kontrolowanych przez ϕ, w
przypadku szeregów ortogonalnych - dużo mniejszej struktury procesów o przyrostach ortogonalnych. Jednym z najtrudniejszych zadań teorii jest charakteryzacja ograniczoności pojedynczych procesów. Jak wspomniałem wynik tego typu dla procesów gaussowskich uważany
jest za jedno z największych osiągnięć teorii. Tuż po uzyskaniu tego wyniku M.Talagrand (na
przykład [Tal5]) postawił analogiczne pytanie dla procesów Bernoulliego (procesów znaków
losowych) znane jako hipoteza Bernoulliego.
Procesem Bernoulliego nazywamy proces
określony na podzbiorze T przestrzeni l2 z natuP
2 21
ralną metryką d(s, t) = ks − tk2 = ( ∞
(t
i=1 i − si ) ) . Dla każdego t ∈ T ⊂ l2 kładziemy
X(t) =
∞
X
ti εi ,
i=1
gdzie εi , i > 1 jest rodziną niezależnych zmiennych Bernoulliego o rozkładzie P(εi = ±1) =
1
2 . Warto zwrócić uwagę, że na mocy rozwinięcia Karhunena-Loeve [Loe] każdy ośrodkowy
proces gaussowski ma reprezentację postaci
Y (t) =
∞
X
i=1
11
ti gi , t ∈ T ⊂ l2 ,
gdzie gi , i > 1 jest rodziną niezależnych zmiennych gaussowskich N (0, 1). Ogólnie procesy te
należą do klasy procesów kanonicznych [Tal4,Lat1]. Wprowadzamy następujące oznaczenia
b(T ) = E sup X(t), g(T ) = E sup Y (t), l(t) = sup X(t).
t∈T
t∈T
t∈T
Istnieją dwie naturalne przyczyny dla których proces Bernoulliego może być ograniczony.
Pierwsza to sugaussowskość zmiennych Bernoulliego. Istotnie nietrudno, korzystając nierówności Jensena udowodnić, że
r
π
b(T ) 6
g(T ).
2
Geometryczna charakteryzacja g(T ) jest treścią twierdzenia Talagranda [Tal1]. Niech
γ2 (T ) = inf sup
∞
X
n
d(t, Tn )2 2 ,
t∈T n=0
n
gdzie infimum bierzemy po wszystkich sieciach dopuszczalnych takich, że |Tn | 6 22 . Okazuje
się, że
K −1 γ2 (T ) 6 g(T ) 6 Kγ2 (T ),
gdzie K jest stałą uniwersalną. Z drugiej strony mamy oczywistą przyczynę, czyli ograniczoność współczynników w sensie l1
b(T ) 6 l(T ) = sup
∞
X
|ti |.
t∈T i=1
Niech T1 + T2 = {t + s : t ∈ T1 , s ∈ T2 } dla T1 , T2 ⊂ l2 . Kolejną prostą obserwacją jest
b(T ) 6 b(T1 ) + b(T2 ) dla T ⊂ T1 + T2 .
Zatem
b(T ) 6 K inf{γ2 (T1 ) + sup
∞
X
|ti |},
t∈T2 n=1
gdzie infimum bierzemy po wszystkich zbiorach T1 , T2 ⊂ l2 takich, że T ⊂ T1 + T2 . Hipoteza
Bernoulliego głosiła, że analogiczne oszacowanie działa z dołu czyli, że faktycznie można
wygenerować właściwą dekompozycję T1 , T2 zbioru T taką, że
max{g(T1 ), l(T2 )} 6 Kb(T ),
gdzie K jest stałą uniwersalną. Twierdzenie to, które zaanonsowaliśmy wspólnie z Rafałem Latałą w pracy [Bed10], uzyskuje się dzięki rozwinięciu wielu pomysłów M.Talagranda
zawartych w [Tal7], R.Latały [Lat3] i moich własnych. Najistotniejsze jest wygenerowanie
odpowiedniej minoryzacji dla procesów Bernoulliego i umiejętne konstruowanie partycji.
Twierdzenie o ograniczoności procesów Bernoulliego ma poważne konsekwencje analityczne
w szczególności rozstrzyga nurtujący mnie jeszcze w czasach studenckich problem związku
między nierównościami maksymalnymi dla procesów empirycznych a własnością VC klasy
[Lat2]. Rozstrzyga też pytanie postawione przez K.Oleszkiewicza [Lat4] na temat wpływu
12
słabej dominacji ogonów zmiennych losowych o wartościach w przestrzeni Banacha na odpowiednią dominację silnych momentów tychże zmiennych.
Bazy zachłanne
Warto także wspomnieć, że moje pierwsze zastosowanie procesów Bernoulliego dotyczyło
postawionego mi jeszcze na studiach przez P. Wojtaszczyka [Woj] problemu baz zachłannych.
Niech B będzie bazą przestrzeni Banacha (X, k · k), to znaczy span{ei } = X. Nadto niech
istnieje układ jednoznacznie określonych funkcji e∗i na X takich, że e∗i (ei ) = 1 oraz e∗i (ej ) = 0
jeśli i 6= j. Definiujemy dla n > 0
X
Σn (B) = {S =
ai ei : |Λ| = n, ai ∈ R}.
i∈Λ
Nadto niech
σn (B, x) = inf{kx − yk : y ∈ Σn }.
Niech dla x ∈ X
Gn (B, x) =
X
e∗i (x)ei ,
i∈Λ
|e∗i |
|e∗j |
gdzie Λ jest takie, że |Λ| = n oraz
>
jeśli i ∈ Λ oraz j 6∈ Λ. Bazę B nazywamy
zachłanną jeśli istnieje stała G niezależna od x taka, że
kx − Gn (B, x)k 6 Gσn (B, x), dla x ∈ X, n > 0.
Bazę U nazywamy bezwarunkową jeśli istnieje stała K taka, że dla każdego Λ ⊂ N oraz εi ,
i > 1 - niezależnych zmiennych Bernoulliego zachodzi nierówność
X
k
εi e∗i (x)ei k 6 Kkxk.
i∈Λ
Bazę nazywamy demokratyczną jeśli dla dowolnych Λ, Λ0 ⊂ N takich, że |Λ| = |Λ0 | zachodzi
X
X
k
ei k 6 Dk
ei k.
i∈Λ0
i∈Λ
Na mocy głównego twierdzenia teorii baza jest zachłanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest
bezwarunkowa i demokratyczna. Niech ln = ke1 + e2 + ... + en k, na mocy demokracji dla
każdej bazy zachłannej
X
D−1 ln 6 k
ei k 6 Dln , dla |Λ| = n.
i∈λ
Zakładamy, że ln n > 0 spełnia warunek 42 to znaczy
n
X
n −1
2k l2−1
k 6 A2 l2n ,
(4)
k=1
1
który jest spełniony na przykład dla ln porównywalnych z n p , p > 1. Bazę B nazywamy
bazą Riesza jeśli
∞
∞
X
X
1
k
a i εi k 6 A 1 (
|ai |2 ) 2
i=1
i=1
13
analogicznie bazę B nazywamy bazą Bessela, jeśli
∞
∞
X
X
2 12
(
|ai | ) 6 A2 k
ai εi k.
i=1
i=1
Warto zwrócić uwagę, że jeśli przestrzeń X jest typu (kotypu) 2 wtedy baza B jest odpowiednio Riesza (Bessela). Niech dla K ⊂ X
σn (B, K) = sup σn (B, x).
x∈K
P∞
Mówimy, że zbiór KP⊂ X jest współliniowy z B jeśli dla każdego
i=1 ai ei ∈ K oraz
∞
|bi | 6 |ai | zachodzi
i=1 bi ei ∈ uK, gdzie u jest stałą uniwersalną Głównym wynikiem
pracy [Bed4] (w [Bed5] przedstawiłem ten wynik w kontekście ówczesnego stanu wiedzy)
jest twierdzenie, że dla bazy B zachłannej oraz Riesza (alternatywnie bazy zachłannej oraz
Bessela) która spełnia warunek (4) dla każdego zbioru K współliniowego z B oraz bazy
bezwarunkowej B 0 istnieją uniwersalne stała C > 0 oraz τ ∈ N takie, że
σ2n (B, K) 6 C
∞
X
σ2k (B 0 , K).
k=n−τ
Twierdzenie to tłumaczy, że bazy zachłanne są najlepsze w gronie baz bezwarunkowych. W
1
szczególności wnioskiem jest, że jeśli dla ln ≡ n p , p > 1, α ∈ R oraz β > 0 zachodzi
lim sup(log2 n)α nβ σn (B, K0 ) > 0,
n→∞
gdzie K0 jest kulą jednostkową w K, to dla dowolnej bazy bezwarunkowej
lim sup(log2 n)α+β nβ σn (B 0 , K0 ) > 0.
n→∞
Pomysł dowodu oparty jest na umiejętnym górnym oszacowaniu chaosu dla zmiennych Bernoulliego.
Literatura
[BedA] Bednorz, W. (2006), A Theorem on Majorizing Measures, Annals of Probability, 34,
No. 5, 1771-1781.
[BedB] Bednorz, W. (2006), A Sobolev Inequality and its Applications, Studia Mathematica, 176, No. 2, 95-112.
[Cho] Chobanyan, S., Levental, S. and Salehi, H. On the best constant in the Rademacher–
Menchov inequality, J. Inequal. Appl.
[Dud] Dudley, R.M. (1967) The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity of
Gaussian processes, J. Functional Analysis 1, 290-330.
[Fer1] Fernique, X. (1971), Regularit’e des processus gaussiens. (French) Invent. Math. 12,
304-320.
[Fer2] Fernique, X. (1975), Regularité des trajectoires des fonctions aléatoires gaussiennes,
École d’Été de Probabilités de Saint-Flour, IV-1974, Lecture Notes in Mathematics 480,
1-96, Springer, Berlin.
14
[Kwa] Kwapien, S., Rosinski, J. (2004), Sample Hölder continuity of stochastic processes and
majorizing measures. In: Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications
IV. Progr. Probab., vol. 58, pp. 155–163. Birkhäuser.
[Lat1] Latala, R. (1997), Sudakov minoration principle and supremum of some processes,
Geom.Funct.Anal. 7, 936-953.
[Lat2] Latala, R. (1999), A note on the maximal inequalities for VC classes, Advances in
stochastic inequalities (Atlanta, GA, 1997), 125-134, Contemp. Math. 234, Amer. Math.
Soc., Providence, RI, 1999.
[Lat3] Latala, R (2008), On the boundedness of Bernoulli processes over thin sets, Electron.
Commun. Probab. 13, 175-186.
[Lat4] Latala, R. (2009), On weak tail domination of random vectors. Bull. Acad. Pol. Sci.
Math. 57, 75-80, 2
[Loe] Loeve, M. (1978), Probability theory. Vol. II, 4th ed.. Graduate Texts in Mathematics.
46. Springer-Verlag.
[Men] Menchoff, M [Mienshov, D.] (1923), Sur les séries de fonctions orthogonales, Fund.
Math. 4, 82–105.
[Ole] Olejnik, J. (2010), On a construction of majorizing measures on subsets of Rn with
special metrics, Studia Math. 197, 1-12
[Pas1] Paszkiewicz, A. (2009), The explicit characterization of coefficients of a.e. convergent
orthogonal series. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 347, 1213–1216.
[Pas2] Paszkiewicz, A. (2010), A complete characterization of coefficients of a.e. convergent
orthogonal series and majorizing measures. Invent. Math., 180, No. 1, 55-110.
[Slu] Slutsky, E. (1939). Quelques propositions sur la théorie des fonctions aléatoires. (Russian) Acta [Trudy] Univ. Asiae Mediae. Ser. V-a. 31, 15 pp.
[Tal1] Talagrand, M. (1987), Regularity of Gaussian processes. Acta Math. 159 No. 1-2,
99-149.
[Tal2] Talagrand, M. (1990), Sample Boundedness of Stochastic Processes Under Increment
Conditions. Ann. Probab. 18 No. 1, 1-49.
[Tal3] Talagrand, M. (1993), Regularity of infinitely divisible processes. Ann. Probab. 21,
No. 1, 362-432.
[Tal4] Talgrand, M. (1994), The supremum of some canonical processes. Amer. J. Math.
116, No. 2, 284-325.
[Tal5] Talagrand, M. (1994), Construction of majorizing measures, Bernoulli processes and
cotype. Geom. Funct. Anal. 4, No. 6, 660-717.
[Tal6] Talagrand, M. (2001), Majorizing measures without measures. Ann. Probab. 29, No.
1, 411-417.
[Tal7] Talagrand, M. (2005), The Generic Chaining. Upper and lower bounds for stochastic
process. 1st ed.
[Woj] Wojtaszczyk, P.(2002), Greedy type bases in Banach spaces. In: Constructive Theory
of Function Theory, Varna 2002, pp. 136–156. Darba, Sofia.
5. Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo - badawczych
Pozostałe wyniki dotyczące regularności procesów
W pracy „The majorizing measure approach to the sample boundedness", arXiv:1211.3898,
15
kt6ta ieszczenie zostaia opublikowana, badaiem zwi4zekrozkladu supremum z wyborem
miary
majoryzujqcej. Okazuje siq, ze rozklad argumentu maximum na zbiorzeindeks6w
mo2e byi traktowany iako odpowiednik miary majoryzujqcej. W tej pracy podalem teL bardzo prosty
dow6d
szacowaniaproces6wgaussowskichz dolu oraz regulq dualnoScidla miar majoryzuj4cych.
W pracy 'rlntegrability and concentration of sample paths truncated variation of fiactional
Brownian motions, diffusionsand L6vy processes",arXiv:1211.3870v2 wsp6lnie z
Rafaiem l,ochowskim pokazali6my koncentracjqgaussowsk4dla uciqtego wahania. Gl6wnym narzqdziemjest
wymySlony przeze mnie argument larlcuchowy dla sum przyrost6w.
f,arlcuchy Markowa
Moim gl6wnym zainteresowaniempoza teori4 proces6w stochastvcznvch se laricuchy
Markowa
i metody Monte Carlo. W pracy '{ regeneration proof of the Central Limit
theorem fbr uniformly ergodic Markov chains"wsp6lnej z Rafalem Latal4i Krzvsztofem Latuszyriskim
opubli_
kowanej w Electronic Communications
in Probability pokazaliSmy alternatvwny dow6d
CentralnegoTwierdzenia Granicznegometodq wycieczeklda ergodyc znych laricuch6w
Markowa.
Nadto w pracy "The Kendall's Theorem and its Application to the Geometric Ergodicity
of Markov Chains"wlaSnieprzyjgtej do Applicationes Mathematicae (r6wniez ariiv:L301.14g1)
wzmocnilem tak zwane Twierdzenie Kendalla, kt6re wykorzystuje sig do badania
tempa zbieinoSci geometrycznieergodycznych laricuch6w Markowa do rozkladu stacjonarnego.
W recenzji sq
tak'e dwie moje wsp6lne prace RadoslawemAdamczakiem. W pracy
Qxponential Concentration
Inequalities for Additive Functionals of Markov Chains", arXiv:1201.8b6gv1
udowodniliSmy
odpowiednik nier6wnoSciBernsteina dla laricuch6w Markowa, natomiast w pracy
Orlicz integrability of additive functionals of Harris ergodic Markov chainsrt,arXiv:120i.SfOZ.rf
badaliJmy
optymalnq calkowalnoSi dla wvcieczek iaricucha.
Koncentracja
Kolejne moje zainteresowaniedotyczy zjawiska koncentracji miary. W pracy '.L1-smoothing
for
the Ornstein-Uhlenbeik semigroup6publikowanejw Mathematika udalo
mi siq wsp6lnie z grupa
wsp6lautor6w pokazai wlasnoSi wygladzania dla p6lgrupv Ornstein-Uhlenbeck,a.
Zagadnienieto
korespondujeto z pytaniem postawiony przez M.Talagranda o koncentracjq
dla pewnej p6lgrupy
multiplikatywnej.
bil-\J
16
B",,l,rovL