Analiza Rzeczywista i Zespolona — lista 2

Analiza Rzeczywista i Zespolona — lista 2
1. Jeżeli A, B ⊂ R, m(A) > 0 oraz m(B) > 0, to A + B zawiera nietrywialny odcinek.
(Jest to lemat Steinhausa. Wsk. Użyć punktów gęstości lub splotu.)
2. Niech C będzie zbiorem Cantora. Czy C + C zawiera przedział?
3. Podać rozkład Lebesgue’a miary Lebesgue’a na [0, 2] względem miary Lebesgue’a na [1, 3].
4. Jeżeli miary σ-skończone spełniają nierówność 0 ¬ ν ¬ µ, to dν = f dµ, gdzie 0 ¬ f ¬ 1 (µ p.w.).
5. Podać |ν|, jeżeli ν(E) =
R
E
f dµ, dla miary µ ­ 0 i f ∈ L1 (µ).
6. Jeżeli µ jest miarą zespoloną, to dµ = hd|µ|, gdzie |h| = 1.
7. Użyć twierdzenia Radona-Nikodyma dla dowodu rozkładu Hahna miary rzeczywistej (skończonej).
8. Funkcja f (x) =
P∞
n=1
2n 1|x−rn |<3−n jest skończona p.w., gdy rn jest wyliczeniem liczb wymiernych.
9. Niech (X, A, µ) będzie σ-skończoną przestrzenią miarową, i niech F będzie pod-σ-algebrą A. Dla
każdego u ∈ L1 (A) istnieje (warunkowa wartość oczekiwana) uF ∈ L1 (F) o własności,
Z
F
F
u dµ =
Z
udµ ,
F ∈F .
F
P. Sztonyk, Politechnika Wrocławska