OPISY KURSÓW • Kod kursu: MAP2204 • Nazwa kursu: Algebra

Opis kursu MAP2204
Strona 1 z 3
OPISY KURSÓW
• Kod kursu: MAP2204
• Nazwa kursu: Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie
• Język wykładowy: polski
Forma kursu
Tygodniowa liczba godzin
Semestralna liczba godzin
Forma zaliczenia
Punkty ECTS
Liczba godzin CNPS
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium
3
2
45
30
egzamin zaliczenie
8
240
• Poziom kursu: podstawowy
• Wymagania wstępne: Odpowiednik godzinowy i merytoryczny kursu MAP2201 (Algebra z
geometrią analityczną)
• Imię, nazwisko i tytuł/stopień prowadzącego: dr hab. Krystyna Ziętak, prof. nadzw.
• Imiona, nazwiska oraz tytuły/stopnie członków zespołu dydaktycznego: Pracownicy
naukowi Instytutu Matematyki i Informatyki
• Rok/Semestr: 1/2
• Typ kursu: obowiązkowy
• Cele zajęć (efekty kształcenia): Opanowanie podstawowych pojęć algeby abstrakcyjnej
(grupy, pierścienia, ciała) oraz teorii kodowania informacji.
• Forma nauczania: tradycyjna
• Krótki opis zawartości całego kursu: Celem kursu jest zapoznanie studentów ze
strukturami algebraicznymi i ich podstawowymi zastosowaniami w informatyce. Omawiane
będę następujące tematy: grupa, arytmetyka modularna, grupa permutacji, pierścień, ciało,
pierścień wielomianów, elementy teorii liczb, równanie diofantyczne i kongruencje, algorytm
Euklidesa, małe twierdzenie Fermata, chińskie twierdzenie o resztach, pierścień ilorazowy
wielomianów, kody korekcyjne, kod liniowy, kod Hamminga, kod cykliczny, algebraiczne
rozszerzenie ciała, ciało Galoisa, kod BCH.
• Wykład (podać z dokładnością do 2 godzin)
Zawartość tematyczna
1. Grupa, grupa abelowa. Podgrupa.
2. Rząd grupy, rząd elementu. Grupa cykliczna. Arytmetyka modularna.
Liczba
godzin
2
2
mhtml:file://C:\Users\Krystyna1\Documents\zietak_2010\dydaktyka_2011\WPPT_lat... 2010-10-18
Opis kursu MAP2204
Strona 2 z 3
3. Warstwa. Twierdzenie Lagrange`a.
4. Grupa ilorazowa. Homomorfizm i izomorfizm grup.
5. Grupa permutacji. Twierdzenie Cayleya. Pierścień, dzielnik zera.
6. Pierścień wielomianów, pierścień Zn. Ciało. Ciała liczb rzeczywistych i
zespolonych.
7. Elementy teorii liczb. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki.
8. Równanie diofantyczne. Pieścień liczb całkowitych. Największy wspólny
dzielnik. Algorytm Euklidesa.
9. Przystawanie modulo n. Kongruencje. Zastosowanie rozszerzonego algorytmu
Euklidesa do rozwiązywania równań diofantycznych i kongruencji.
10. Małe twierdzenie Fermata. Funkcja Eulera. Obliczanie odwrotności modulo n.
Grupa multyplikatywna Zn z gwiazdką, pierwiastki pierwotne modulo n. Ciało Zp.
11. Chińskie twierdzenie o resztach i jego zastosowania.
12. Pierścień ilorazowy wielomianów. Pierścień ilorazowy wielomianów nad Zp.
13. Przestrzeń liniowa i układy równań liniowych nad ciałem Zp.
14. Kody korekcyjne. Odległość i waga Hamminga. Minimalna odległość kodu.
Wykrywanie i korekcja błędów.
15. Kod liniowy. Macierz generująca kod liniowy. Kontrolna macierz parzystości.
16. Kod Hamminga. Syndrom. Korygowanie pojedyńczego błędu.
17. Kody doskonałe. Kod Golaya.
18. Kody cykliczne, wielomian generujący i kontrolny.
19. Element pierwotny. Wielomian nierozkładalny. Algebraiczne rozszerzenie
ciała.
20. Ciało Galoisa. Wielomian minimalny elementu.
21. Kod BCH. Korygowanie dwóch błędów.
22. Kody Hamminga jako kody cykliczne.
23. Izomorfizm ciał skończonych.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
• Ćwiczenia
Zawartość tematyczna
1. Listy zadań przygotowane przez wykładowcę
Liczba godzin
30
• Literatura podstawowa
1. W.J. Gilbert, W.K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa
2008.
2. B. Gleichgewicht, Algebra. PWN, Warszawa 1976 i Oficyna Wyd. GiS, Wrocław 2002.
3. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
4. W. Mochnacki, Kody korekcyjne i kryptografia, Oficyna Wyd. PWr, Wrocław 2000.
• Literatura uzupełniająca
mhtml:file://C:\Users\Krystyna1\Documents\zietak_2010\dydaktyka_2011\WPPT_lat... 2010-10-18
Opis kursu MAP2204
Strona 3 z 3
1. J. Adamek, Foundations of coding. Theory and application of erro-correcting codes, Wiley
1991.
2. J. R. Durbin, Modern algebra. An introduction, Wiley 2004.
3. P. Garrett, The mathematics of coding theory, Pearson Prentice Hall, New York 2004.
4. D.R. Hankerson, D.G. Hoffman, D.A. Leonard,... Coding theory and cryptography. The
essentials, Marcel Dekker 1991.
5. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry. Podstawy algebry, cz. 1, PWN, Warszawa 2004.
6. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, PWN, Warszawa 2006.
7. M.M. Sysło, Piramidy, szyszki i inne konstrukcje algorytmiczne, Wyd. Szkolne i
Pedagogiczne, Warszawa 1998.
8. S.Y. Yan, Teoria liczb w informatyce, PWN, Warszawa 2006.
• Warunki zaliczenia: Egzamin
mhtml:file://C:\Users\Krystyna1\Documents\zietak_2010\dydaktyka_2011\WPPT_lat... 2010-10-18