Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie I rok inf., WPPT Materiał

Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie
I rok inf., WPPT
Materiał zrealizowany na wykładach
23 lutego, 2011
działanie algebraiczne, własności działań, grupa, podgrupa, twierdzenie o podgrupie,
24 lutego, 2011
grupa abelowa, arytmetyka modularna, potęga elementu grupy, rząd grupy, rząd elementu, grupa cykliczna,
2 marca, 2011
warstwa, własności warstw, twierdzenie Lagrange’a
9 marca, 2011
dzielnik normalny, grupa ilorazowa
10 marca, 2011
przykłady grup ilorazowych, homomorfizm i izomorfizm grup,
16 marca, 2011
ciąg dalszy homomorfizmu i izomorfizmu grup, twierdzenie Cayleya.
30 marca, 2011
ilustracja twierdzenia Cayleya, grupa permutacji, rząd grupy cyklicznej generowanej
przez ustaloną permutację, pierścień, dzielnik zera, ciało, liczby wymierne jako najmniejsze ciało liczbowe, podpierścień, podciało, pierścień Zn , warunki konieczne i dostateczne na istnienie elementu odwrotnego ze względu na mnożenie modulo n, grupa
multyplikatywna Z∗n
6 i 7 kwietnia, 2011 (wykłady dr R. Rałowskiego
Elementy teorii liczb, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, równanie diofantyczne ax +
by = c, charakteryzacja liczb względnie pierwszych, największy wspólny dzielnik, rozszerzony algorytm Euklidesa, przystawanie modulo n, funkcja Eulera, twierdzenie EuleraFermata, małe twierdzenie Fermata, ideały w pierścieniu, ideały główne w pierścieniu
Z, +, ·.
13 kwietnia, 2011
własności przystawania modulo n, przykłady zastosowań kongruencji, zastosowanie rozszerzonego algorytmu Euklidesa i twierdzenia Eulera-Fermata do obliczania odwrotności
modulo n w Z∗n .
21 kwietnia
szybkie potęgowanie, Chińskie twierdzenie o resztach i przykłady jego zastosowań, przestrzeń liniowa i układy równań liniowych nad ciałem Zp .
4 maja 2011
pierścień wielomianów nad Zn , ideał w(x)Zp [x], pierścień ilorazowy wielomianów
Zp [x]/w(x)Zp [x], wielomiany nierozkładalne.
5 maja 2011
rozszerzony algorytm Euklidesa dla wielomianów; twierdzenie o tym, kiedy pierścień ilorazowy wielomianów Zp [x]/w(x)Zp [x] jest ciałem, odwracanie warstwy w Zp [x]/w(x)Zp [x],
wprowadzenie do kodow korekcyjnych, odległość Hamminga.
1
6 maja 2011
kodowanie, dekodowanie, waga Hamminga, minimalna odległość kodu, kody opisane
przez układy równań liniowych jednorodnych.
11 maja 2011
wykrywanie i korygowanie błędów, twierdzenia podające charakteryzację kodów wykrywających i korygujących wszystkie błędy z waga t, kod liniowy, kod dualny,
18 maja 2011
kontrolna macierz parzystości, macierz generująca kod, standardowa postać macierzy
generującej kod, kody równoważne, kod Hamminga, syndrom, korygowanie błędów z
wagą Hamminga równą 1
19 maja 2011
oszacowanie Hamminga, twierdzenie Gilberta-Varshamova; sprawdzanie, czy istnieje
kod liniowy K(n, k, d); kody doskonałe, kod Hamminga jako kod doskonały dla błędów
z wagą 1, kody wielomianowe.
25 maja 2011
kody wielomianowe, kody cykliczne, wielomian generujący i kontrolny,
1 czerwca 2011
dwa sposoby kodowania w kodach cyklicznych, krygowanie błędów za pomocą wielomianu syndromu, kod Golaya, wielomiany nierozkładalne, algebraiczne rozszerzenie ciała.
2 czerwca 2011
rozszerzenia ciał (ciag dalszy), ciała Galoisa, przypomnienie rzędu elementu, element
pierwotny, wielomian minimalny elementu.
8 czerwca 2011
kody BCH.
15 czerwca 2011
izomorfizm ciał skończonych
Krystyna Ziętak
2