Instrukcja do ćwiczeń Nr 2

KATEDRA ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ
LABORATORIUM PODSTAW MODELOWANIA SYSTEMÓW
dla kierunku AiR Wydziału Elektrycznego
INSTRUKCJA LABORATORYJNA
ĆWICZENIE Nr 2
MODELOWANIE SYSTEMÓW NIELINIOWYCH
Krzysztof Solak
WROCŁAW 2015
I. Cel ćwiczenia
1. Modelowania systemów dynamicznych nieliniowych na przykładzie oscylatora Duffinga.
Zapoznanie się z różnymi rodzajami drgań tj. okresowymi, podharmonicznymi, prawie
okresowymi (quasi-periodic) oraz chaotycznymi.
II. Ramowy program ćwiczeń
1. Należy numerycznie rozwiązać (w programie Simulink) nieliniowe równanie różniczkowe
drugiego rzędu, które opisuje oscylator Duffinga:
d 2x
dx

 x  x3   cos(t )
2
dt
dt
przyjąć następujące wartości parametrów: α =-1, β = 1, δ = 0.3, ω = 1.2568, x(0) = x1(0) = 0,5,
x (0)  x2(0)  0 natomiast wartość  należy zmieniać w zakresie od 0 do 0.8. Przyjąć parametry
symulacji: metoda ode45, relative tolerance 1e-6, absolute tolerance 1e-6, czas trwania symulacji
400s. Dane do Workspace zapisać z okresem próbkowanie (Sample Time) 1e-3.
2. W zamodelowanym układzie dla różnych wartości  należy wykreślić:
a. przebiegi czasowe (przeanalizować tylko drgania okresowe oraz subharmoniczne),
b. na płaszczyźnie fazowej przedstawić trajektorie fazowe dla zadanych warunków
początkowych (dla stanu ustalonego t = 100÷400s),
c. mapy Poincara (dla stanu ustalonego t = 100÷400s).
III. Dodatek
Trajektoria fazowa na płaszczyźnie fazowej – za pomocą płaszczyzny fazowej można
przedstawić rozwiązanie nieliniowych układów lub równań różniczkowych pierwszego rzędu. Do
sporządzenia płaszczyzny fazowej potrzebne są dwie zmienne stanu, więc układ powinien być
drugiego rzędu (dwuwymiarowy np. x,y). Na rysunku 1 przedstawiono przykładową trajektorię
fazową na płaszczyźnie fazowej.
a)
b)
0.8
1
0.6
0.5
0.4
x1
1.5
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
0.2
100
x2
0
0
1
x2
0.5
-0.2
0
-0.4
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
-0.6
0.2
100
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
x1
Rys. 1. Przebieg czasowy zmiennej x1 i x2 a) oraz trajektoria fazowa (wykres x2 w funkcji x1) b)
-2-
Mapa Poincare – przedstawia sekwencję punktów w przestrzeni stanu (jest obrazem
stroboskopowym wykresu fazowego), która generowana jest na podstawie trajektorii fazowej na
płaszczyźnie fazowej. Mapa Poincarego wykonana jest przez próbkowanie odpowiedzi systemu w
stałym odstępie czasu, który równy jest okresowi wymuszenia. Rysunek 2b przedstawia mapę
Poincare - jeden punkt oznacza, że odpowiedź układu jest równa okresowi wymuszenia.
0.8
0
-0.1
0.6
-0.2
0.4
-0.3
-0.4
x2
x2
0.2
0
-0.5
-0.6
-0.7
-0.2
-0.8
-0.4
-0.9
-0.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-1
1.6
x1
0
0.2
0.4
0.6
x1
0.8
1
1.2
Rys. 2. Trajektoria fazowa (wykres x2 w funkcji x1) a) oraz mapa Poincare
Rodzaje drgań:
- okresowe – odpowiedź układu jest periodyczna i okres jest równy okresowi
wymuszenia T. Na mapie Poincare tej sytuacji odpowiada jeden punkt.
- podharmoniczne (subharmoniczne) – odpowiedź układu jest periodyczna, a okres
jest wielokrotnością okresu wymuszenie nT (gdzie n - liczba całkowita), zaś częstotliwość
równa jest f1/n. Dlatego ten rodzaj drgań nazywany jest podharmoniczną n lub harmoniczną
1/n.
- prawie okresowe (quasi-periodic) – odpowiedź układu nie jest okresowa, sygnał
zawiera wiele częstotliowści (przynajmniej dwie składowe) które odpowiada liniowa
kombinacja nfA + mfB (gdzie współczynniki n oraz m są liczbami całkowitymi, a stosunek fA/fB
nie jest liczbą całkowitą). Na mapie Poincare otrzymujemy skończoną liczbę punktów, które
formują zamkniętą krzywą.
- chaotyczne – odpowiedź układu nie jest okresowa. Na mapie Poincare otrzymujemy
skończoną liczbę punktów, które nie formują zamkniętej krzywej - powstają dziwne atraktory.
-3-