W9 Geometria rekurencji
Transkrypt
W9 Geometria rekurencji
Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 1 Geometria rekurencji Teoria uk»adów dynamicznych zajmuje si“ deterministycznym zagadnieniem pocztkowym. Obejmuje zarówno ♦ prawa ewolucji zawarte w odwzorowaniach iterowanych jak ♦ zagadnienia pocztkowe tak równa½ róóniczkowych zwyczajnych. PodejÑcie jakoÑciowe teorii uk»adów dynamicznych - wywodzce si“ od Poincaré – polega na badaniu struktur w przestrzeni fazowej rzdzcych zachowaniami rekurencyjnymi trajektorii fazowych w tych zagadnieniach pocztkowych. N.B. Chociaó w przypadku równa½ róóniczkowych czstkowych przestrze½ fazowa jest niesko½czenie wielowymiarowa to jak si“ okazuje jakoÑciowa teoria uk»adów dynamicznych Poincaré jest przydatna. Dzieje si“ tak ze wzgl“du na dysypacj“, która powoduje kurczenie si“ przestrzeni fazowej w trakcie ewolucji uk»adu. Cz“sto wi“c okazuje si“, óe uk»ad teoretycznie daje si“ opisaƒ w podprzestrzeni fazowej, która jest niskowymiarowa. DoÑwiadczalnym potwierdzeniem s»usznoÑci takiego stwierdzenia jest istnienie przep»ywu laminarnego cieczy. Są prace, które pokazuj jak roÑnie wymiar przestrzeni fazowej gdy ciecz przechodzi do turbulencji. Potwierdze½ tak teoretycznych jak doÑwiadczalnych adekwatnoÑci niskowymiarowej przestrzeni fazowej uk»adów dynamicznych o pochodnych czstkowych jest znacznie wi“cej (m.in. w dynamice struktury Ñcian domenowych, którą zajmowałem się przez kilkanaście lat). Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 2 Oprócz równa½ róóniczkowych czstkowych: jeszcze uk»ady równa½ zwyczajnych zawierajce zmienne niezaleóne opóïnione w czasie jak teó równania ca»kowo-róóniczkowe zawierajce ca»ki po historii ewolucji uk»adu teó wymagaj niesko½czenie wielowymiarowej przestrzeni fazowej. Interesuj nas cechy ewolucji uk»adów autonomicznych równa½ zwyczajnych pierwszego rz“du: x&1 = f 1 ( x1 , x2 ,..., xn ) funkcja fi ,i=1,2,...,n moóe byƒ x& 2 = f ( x1 , x2 ,..., xn ) nieliniowa i nie zawiera zmiennych . stochastycznych (istniej sposoby na wprowadzenie do . rozwaóa½ szumu). . x& n = f ( x1 , x2 ,..., xn ) Równania nieautonomiczne (dla których prawa strona f jawnie zaleŜy od czasu t) jak i teó równania zawierajce wyósze pochodne daj si“ zamieniƒ na uk»ad autonomicznych równa½ zwyczajnych pierwszego rz“du poprzez odpowiednie podstawienie nowych zmiennych i zwi“kszenie liczby równa½. Skoro n skalarnych obserwabli opisuje uk»ad w kaódej chwili czasu i okreÑla jego ewolucj“ to geometria przestrzen fazowej zawiera cenn informacj“ o zachowaniu uk»adu. Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 Przyjrzyjmy si“ sposobom aby tak informacj“ wydobyƒ (np. unaoczniƒ). Pole wektorowe opisujce ewolucj“ uk»adu dynamicznego: okreÑla si“ zaczepiajc w kaódym punkcie {xi} w przestrzeni fazowej wektor. Czubek tego wektora przesuni“ty jest o {fj} okreÑlone w punkcie {xi} i w chwili t. Przykład: pole wektorowe f(x,y) = (-y,x) Lokalny kierunek pola zaznaczają strzałki. Przepływ jest styczny w kaŜdym punkcie do wektorów pola (linie ciągłe). Przykład pole wektorowe przepływu powietrza za samolotem: Model samolotu znajduje się w tunelu aerodynamicznym. Pole przepływu widoczne jest dzięki pęcherzykom jakie tworzą się na skutek wiru w pobliŜu czubków skrzydeł i stateczników. 3 Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 4 Trajektori“ fazow układu dynamicznego otrzymuje si“ przez zebranie razem infinityzymalnie ma»ych przesuni“ƒ opisanych przez pole wektorowe (potok, przepływ). Tj. trajektoria uk»adu jest krzyw styczn w kaódym punkcie do pola wektorowego uk»adu. Gdy uk»ad równa½ jest autonomiczny: istnienie pola wektorowego => trajektoria jest sta»a w czasie (portret fazowy stanu uk»adu). Istotna konsekwencja stacjonarnoÑci pola wektorowego: óadne dwie trajektorie uk»adu równa½ autonomicznych nie przecinaj si“ w tym samym punkcie przestrzeni fazowej (w sko½czonym czasie). Dzieje si“ tak bo: a) spe»niona jest zasada przyczynoÑci b) pole wektorowe jest g»adkie Prosz“ odróóniaƒ t w»asnoу trajektorii od asymptotycznego dóenia dwóch (lub wi“cej) trajektorii do jednego punktu sta»ego. Przyk»ad: niemoónoу przecinania si“ trajektorii organizuje przestrze½ fazow Jedynym rodzajem samoprzecinajcej si“ trajektorii s wszelkie cykle graniczne. Dziel one przestrze½ fazow na wn“trze cyklu i jego zewn“trze: z niemoónoÑci przecinania si“ trajektorii wynika, óe kaóda trajektoria, która znajdzie si“ wewntrz cyklu granicznego znajduje si“ wewntrz w ca»oÑci. Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 Dynamika geometryczna: identyfikuje si“ przestrze½ fazow, w której uk»ad dynamiczny jest ca»kowicie scharakteryzowany przez stacjonarne pole wektorowe; nast“pnie bada si“ topologi“ struktur w przestrzeni fazowej. Stan uk»adu uwaóa si“ za rekurencyjny jeÑli wiemy, óe uk»ad wróci dostatecznie blisko pierwotnego stanu (punktu w przestrzeni fazowej). JeÑli uk»ad powróci arbitralnie blisko stanu pocztkowego choƒby raz to dowodzi si“ przez indukcj“, óe b“dzie znowu arbitralnie blisko si“ do niego zblióa». To nie oznacza, óe w stanie pocztkowym pozostanie na zawsze: moóe si“ do niego zblióyƒ na chwil“ a potem dowolnie d»ugo b»adziƒ z dala od stanu pocztkowego. Przyk»ad: zaƒmienia w uk»adzie s»o½ca, ziemi i ksi“óyca. Zachowanie rekurencyjne uk»adu dynamicznego: wyst“puje wtedy gdy kaódy stan uk»adu jest rekurencyjny (po wygaÑni“ciu stanów nieustalonych, które nie są rekurencyjne). 5 Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 6 Typy zachowa½ rekurencyjnych: Podstawowe (basic) zachowanie rekurencyjne to zespó» stanów rekurencyjnych po»czonych jedn trajektori. Przyk»ad: Czasem w jednej przestrzeni fazowej wyst“puje kilka konkurujcych atraktorów (multistabilność atraktorów). Wtedy kaódy z takich atraktorów reprezentuje podstawowe zachowanie rekurencyjne tworzce zbiór przechodni (transitive) tj taki, do kaódego punktu którego trajektoria moóe si“ zblióyƒ dowolnie blisko. Zaprzeczeniem zbiorów przycigajcych podstawowych jest jest zbiór rozk»adalny (decomposable) na dwa (kilka) podstawowych. Zazwyczaj jest bardzo trudno wykazaƒ ściśle, óe dany zbiór przycigajacy jest podstawowy a nie rozk»adalny chociaó cechy numeryczne zbioru na to wskazuj. Hierarchia rekurencji ♦ najprostostszym rodzajem rekurencji jest punkt sta»y: uk»ad "powraca" do punktu sta»ego stale w nim przebywajc. Dynamika Układów Nieliniowych 2009 7 Wykład 9 Istniej dwa rodaje zachowa½ poprzedajcych punkt sta»y: 1.2 1.2 Punkt stały jest stabilnym ogniskiem Punkt stały jest węzłem (dren) 0.8 0.8 0.4 0.4 0 0 0 -0.4 4 8 Czas 12 0 -0.4 4 8 12 16 Czas S to stabilne punkty sta»e. Niestabilne punkty sta»e teó s stanami rekurencyjnymi: mog istnieƒ w niesko½czonoу dopóki jakieÑ zaburzenie ich nie zniszczy. Stabilnoу punktu sta»ego jest osobnym zagadnieniem. Identyfikacja wszystkich rodzajów zachowa½ rekurencyjnych jest istotnym etapem budowy jakoÑciowego obrazu dynamiki. Nawet gdy obserwacja (niezaburzonego) niestabilnego zachowania rekurencyjnego jest ma»o prawdopodobna to jest on istotnym elementem geometrii przestrzeni fazowej: jego obecnoу i struktura ma wp»yw na obserwowane trajektorie. Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 8 ♦ ruch periodyczny: uk»ad powraca dowlnie blisko stanu pocztkowego powracajc do niego dok»adnie zawsze po okresie T. Stabilne zachowanie periodyczne wyglda podobnie jak w przykładzie na rysunku: A w przestrzeni fazowej oznacza to pojawianie si“ cyklu granicznego. Niestabliny cykl graniczny teó jest form zachowania rekurencyjnego. Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 9 ♦ kwaziperiodycznoу jest podstawowym typem rekurencji: w tym przypadku ruch periodyczny jest modulowany w jakiÑ sposób przez inny ruch - teó periodyczny ale o innym okresie. JeÑli jeden z ruchów periodycznych ma cz“stoу równ ca»kowitej wielokrotnoÑci cz“stoÑci drugiego to wynikowy ruch jest po prostu periodyczny. JeÑli stosunek cz“stoÑci da si“ wyraziƒ jako liczba wymierna to mamy do czynienia z drganiami synfazowymi. Ruch kwaziperiodyczny jest wtedy gdy stosunek cz“stoÑci nie jest liczb wymiern: Mamy wtedy rekurencj“, w której stany nie powtarzaj si“ ÑciÑle i potrzebne jest poj“cie rekurencji aby odróóniƒ tak ewolucj“ czasow uk»adu od stanu nieustalonego oraz od stanu chaotycznego. W przestrzeni fazowej pojawia się ruch po torusie: Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 10 Charakterystyczn cech dla ruchu kwaziperiodycznego jest widmo mocy z ostrymi maksimami dla cz“stoÑci podstawowych ich harmonicznych oraz odpowiednich kombinacji. Przykład: kwaziperiodyczność w reakcji chemicznej trawienia elektrochemicznego miedzi w kwaśnym roztworze chlorków (J.Phys.Chem. 97, 7, 2731,1989). Wi“kszoу cech ruchu kwaziperiodycznego omówiono przy odwzorowaniu okr“gu oraz omawiajc drog“ do chaosu Ruelle'a, Takensa i Newhouse'a. Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 ♦ ruch chaotyczny (ruch na dziwnym atraktorze): 11 negatywne okreÑlenie jest to taki stan, który nie jest ani równowag ani ruchem periodycznym ani teó kwaziperiodycznym okreÑlenie pozytywne ruch rekurencyjny prostego uk»adu dynamicznego (albo niskowymiarowe zachowanie z»oóonego uk»adu), posiadajcy zarówno cechy przypadkowe jak i teó pewien porzdek. Cecha charakterystyczna: eksponencjalne oddalanie si“ trajektorii rozpoczynajcych si“ w bliskich sobie warunkach pocztkowych przy czym trajektorie te pozostaj w ograniczonym obszarze przestrzeni fazowej. Prowadzi to do nieprzewidywalnoÑci trajektorii w granicy t → ∞. Dla stanów chaotycznych poj“cie rekurencji stanów jest niezb“dne dla odróónienia atraktora dziwnego od stanu nieustalonego, który go poprzedza. Pojawia si“ przy tym szereg trudnych problemów matematycznych: np. jak stwierdziƒ czy otrzymany zbiór jest przechodni (transitive) ? albo jak stwierdziƒ, óe wszystkie ssiednie trajektorie rozbiegaj si“ eksponencjalnie ? Pomocna ale nie zawsze moóliwa do realizacji jest analiza rozmaitoÑci róóniczkowalnych. Dynamika Układów Nieliniowych 2009 Wykład 9 Dynamiczna stabilnoу trajektorii Jedn z przyczyn, dla których usi»uje si“ dociec czy obserwowany ruch jest jednym cigiem stanów po»czonych jedn trajektori (zbiór przechodni) jest potrzeba sformu»owania kryteriów stabilnoÑci dynamicznej dla stanów chaotycznych. W przypadku: punktu sta»ego, cyklu granicznego czy nawet ruchu na n-torusie (n ≤ 4) moóna zbadaƒ zlinearyzowane równania ruchu i okreÑliƒ stabilnoу pos»ugujc si“ własnościami wartoÑci w»asnych. Ale jak mamy stwierdziƒ czy ruch chaotyczny (trajektoria nieprzewidywalna dla t → ∞ !) powraca do poprzedniego stanu po ustaniu zaburzenia - co jest podstawowym kryterium stabilnoÑci dynamicznej ? Obecnie nie ma dobrej odpowiedzi na to pytanie. Niewtpliwie obserwuje si“ jakoÑciowe objawy stabilnoÑci atraktorów: Przyk»ad: atraktor Lorenza x& = - σ x + σ y y& = R x - y - x z z& = - b z + x y gdzie R, σ i b s sta»ymi parametrami. Model ten powsta» jako model konwekcji atmosferze ziemskiej i s»uóy» do pomocy w zrozumieniu zjawisk klimatycznych. 12 Dynamika Układów Nieliniowych 2009 13 Wykład 9 R = 25 R = 27 σ = 10; b = 2.66667 R = 30 S to jednak raczej objawy stabilnoÑci strukturalnej a nie stabilnoÑci dynamicznej. Przyk»ad W obszarze chaotycznym odwzorowania logistycznego (dla r > r∞) nie ma stabilnoÑci strukturalnej bo okna periodyczne s g“ste: zmiana r → r + ε moóe spowodowaƒ stan periodyczny.