stateczność i drgania swobodne niepryzmatycznego układu

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
41, s. 385-394, Gliwice 2011
ISSN 1896-771X
STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE
NIEPRYZMATYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO
PODDANEGO OBCIĄŻENIU EULEROWSKIEMU
JANUSZ SZMIDLA, MICHAŁ KLUBA
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy prezentuje się badania teoretyczne i numeryczne
dotyczące stateczności i drgań swobodnych kolumn niepryzmatycznych
realizujących wybrane przypadki obciążenia eulerowskiego. W rozważaniach
uwzględnia się zmienną sztywność na zginanie wzdłuż długości układu. Zmianę
przekroju poprzecznego wzdłuż długości kolumny opisuje się funkcją liniową lub
kwadratową przy przyjętym dodatkowym kryterium stałej objętości układu.
Przeprowadza się analizę teoretyczną dotyczącą geometrii układów oraz
sformułowania warunków brzegowych.
1. WSTĘP
Stateczność i drgania swobodne układów smukłych nie zależą wyłącznie od charakteru
obciążenia (obciążenie typu konserwatywnego lub niekonserwatywnego) oraz rodzaju
struktur podporowych, ale również od przekroju poprzecznego i zmiany tego przekroju
wzdłuż ich długości.
W literaturze naukowej istnieje wiele kryteriów utraty stateczności układów smukłych.
W niniejszej pracy uwzględnia się dwie metody określenia niestateczności rozważanego
układu (por. [1, 2, 3]):
- metodę energetyczną ( kryterium statyczne), polegającą na poszukiwaniu obciążenia,
przy którym całkowita energia potencjalna przestaje być dodatnio określona),
- metodę drgań (kryterium kinetyczne), polegającą na znalezieniu takiego obciążenia, przy
którym swobodny ruch przestaje być ograniczony.
Wyznaczanie obciążenia krytycznego kolumn niepryzmatycznych przy obciążeniu Eulera
jest między innymi tematem publikacji [4 - 6], w których opisano model kolumny obciążonej
osiowo, przy jej podziale na n - segmentów. Posługując się metodą elementów skończonych
[5], uzyskano wzrost obciążenia o 32.5 % (kolumna wspornikowa) przy parametrze n = 20.
W pracy [6] do optymalizacji kształtu kolumn wykorzystano natomiast algorytm
symulowanego wyżarzania. Uwzględniając dwa rozwiązania głowic, realizujących obciążenie
eulerowskie oraz podział kolumn na n =128 segmentów, otrzymano wzrost obciążenia o
33.89 %. W publikacji [7] na podstawie rozwiązania zagadnienia statyki wyznaczono
krytyczny parametr obciążenia kolumny, zamocowanej z dwóch stron w sposób sztywny
i obciążonej osiowo. Uwzględniając różny kształt przekroju poprzecznego (przekrój
prostokąta, elipsy i ich odpowiedniki jako przekrojów cienkościennych) oraz podział na dwa
lub trzy elementy, wykazano wzrost obciążenia o 36.5%. W pracy [8] w modelu układu
386
J. SZMIDLA, M. KLUBA
zbudowanego z dwóch segmentów o przekroju kołowym, przyjmując stałą objętość i długość
układu, uzyskano poprawę wartości obciążenia krytycznego o 21 %. W publikacji [9]
wyznaczono wartość obciążenia krytycznego kolumn, przy zbieżnym parabolicznie lub
sinusoidalnie, wzdłuż długości układu przekroju poprzecznym.
Zagadnienie drgań poprzecznych dwusegmentowych belek przedstawiono między innymi
w pracy [10]. Rozważane układy podzielono na trzy zasadnicze grupy w zależności od
kształtu pola przekroju poprzecznego. Wyznaczono wartość trzech pierwszych częstości
drgań własnych przy różnych warunkach zamocowania. Identyczną analizę zmian częstości
drgań własnych przeprowadzono w publikacji [11], w której wzięto pod uwagę układy
złożone z trzech i więcej segmentów. W przypadku układu zbudowanego z dowolnej
skończonej liczby segmentów z dołączonym elementem dyskretnym w postaci masy
skupionej lub sprężyny translacyjnej do wyznaczenia zmian wartości własnych wykorzystano
własności funkcji Greena [12]. W publikacjach [13, 14] rozpatrywano układy belek o liniowo
zmiennym przekroju poprzecznym, przy czym zmianie podlegał tylko jeden z głównych
wymiarów przekroju.
W niniejszej pracy prezentuje się badania teoretyczne i numeryczne dotyczące stateczności
i drgań swobodnych kolumn niepryzmatycznych przy obciążeniu eulerowskim. Zmianę
szerokości przekroju poprzecznego wzdłuż długości kolumny opisuje się funkcją liniową lub
kwadratową przy przyjętym dodatkowym kryterium stałej objętości układu. Na podstawie
całkowitej energii mechanicznej formułuje się równania ruchu oraz warunki brzegowe
rozpatrywanych układów. Biorąc pod uwagę statyczne kryterium stateczności wyznacza się
zakres zmian szerokości przekroju poprzecznego układów, przy których uzyskuje się
maksymalną wartość obciążenia krytycznego. Przedstawia się również wyniki badań
symulacyjnych dotyczących przebiegów zmian wartości własnych na płaszczyźnie:
bezwymiarowy parametr obciążenia – bezwymiarowy parametr częstości drgań własnych.
2. MODELE FIZYCZNE KOLUMN
Na rys. 1a-c przedstawiono modele fizyczne rozważanych kolumn, realizujące wybrane
przypadki obciążenia eulerowskiego. Kolumna jest sztywno zamocowana z jednej strony
(x1 = 0) oraz obciążona na drugim końcu układu (xn = L) siłą skupioną P. Kolumna
podzielona jest na segmenty (rys. 1c) (indeksy i = 1, 2, …, n) o przekroju prostokątnym,
masie przypadającej na jednostkę długości (ρA)i i sztywności na zginanie (EJ)i, gdzie: ρ –
gęstość materiału, A – pole przekroju poprzecznego, E – moduł Younga, J – moment
bezwładności przekroju poprzecznego względem osi obojętnej zginania. Poszczególne
segmenty opisano poprzez szerokość b, grubość h, długość l oraz przemieszczenie poprzeczne
Wi(x,t).
W pracy przyjęto następujące założenia:
• stałą grubość h oraz długość l segmentów kolumny,
• stałą całkowitą długość kolumny L (L = n l),
• stałą wartość gęstości materiału ρ oraz modułu sprężystości podłużnej E wszystkich
segmentów kolumny,
• stałą sumaryczną objętość v wszystkich segmentów opisujących kształt kolumny,
• wartość szerokości b segmentu kolumny musi być większa lub równa wartości grubości h
tego segmentu (b≥h),
• kształt układów opisano za pomocą funkcji liniowej (b(x)=2·a(Z)·x+d, 0 ≤ x ≤ l ) oraz za
pomocą funkcji kwadratowej (b(x)=2·[a(p, q)·[x-p]2+q], 0 ≤ x ≤ l ).
Bezwymiarowe współczynniki wykorzystane w opisie wynoszą odpowiednio:
STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO…
b −b
p
q
⎛b⎞
κ = ⎜ ⎟ , Z = 1 n ⋅ 100% , p * = , q* =
L
b pr
L
⎝ h ⎠ pr
387
(1÷4)
przy czym indeksem „pr” we wzorach (1÷4) opisano parametry geometryczne kolumny
pryzmatycznej (porównawczej).
Rys. 1. Modele fizyczne rozpatrywanych kolumn (a, b); podział kolumny na segmenty (c)
Wprowadza się przykładowe oznaczenia rozważanych w niniejszej pracy kolumn:
AL(κ, Z) – kolumna obciążona jak na rys. 1a, której kształt opisano funkcją liniową
o współczynniku kształtu przekroju poprzecznego κ i zbieżności Z,
• BP(κ, p*, q*) – kolumna obciążona jak na rys. 1b, której kształt opisano funkcją
kwadratową o współrzędnych wierzchołka paraboli p* i q* oraz współczynniku kształtu
przekroju poprzecznego κ.
•
3. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO
Zagadnienie brzegowe sformułowano na podstawie zasady Hamiltona:
t2
δ ∫ (T − V )dt = 0
(5)
t1
Energia kinetyczna T, sformułowana
rozpatrywanych kolumn wynosi:
n
(ρA)i
i =1
2
T =∑
zgodnie
z
⎛ ∂Wi ( xi , t ) ⎞
⎟ dx i
∂t
⎠
0
l
∫ ⎜⎝
teorią
Bernoullego-Eulera,
2
(6)
Całkowita energia potencjalna V rozważanych w pracy kolumn jest sumą energii sprężystej
zginania oraz energii potencjalnej obciążenia zewnętrznego:
388
J. SZMIDLA, M. KLUBA
n
(EJ )i
i =1
2
V =∑
⎛ ∂ 2Wi ( xi , t ) ⎞
P n
∫0 ⎜⎜⎝ ∂xi2 ⎟⎟⎠ dxi − 2 ∑
i =1
⎛ ∂Wi ( xi , t ) ⎞
∫0 ⎜⎜⎝ ∂xi ⎟⎟⎠ dxi
2
l
2
l
(7)
Po wykonaniu działania wariacji energii kinetycznej (6) oraz wariacji energii potencjalnej
(7) otrzymuje się:
- równania ruchu:
4
2
2
(EJ )i ∂ Wi (4xi , t ) + P ∂ Wi (2xi , t ) + (ρA)i ∂ Wi (2xi , t ) = 0
(8)
∂x i
∂x i
∂t
-
warunki brzegowe zamocowania układu (x1=0):
∂W1 ( x1 , t )
W1 ( x1 , t ) x = 0 =
=0
1
∂x1
x =0
(9a,b)
1
-
warunki ciągłości:
Wi ( xi , t ) x =l = Wi +1 ( xi +1 , t ) x =0 , (EJ )i
1
1
∂ 2Wi ( xi , t )
∂ 2Wi +1 ( x i +1 , t )
= (EJ )i +1
2
∂x i
∂xi2+1
x =l
x
1
∂Wi ( xi , t )
∂Wi +1 ( xi +1 , t )
∂ Wi ( xi , t )
∂ Wi +1 ( xi +1 , t )
=
, (EJ )i
= (EJ )i +1
3
∂xi
∂
x
∂
x
∂xi3+1
i
i +1
x =l
x =0
x =l
x
3
1
-
1
i +1 = 0
3
1
(10a÷d)
i +1 = 0
warunki brzegowe na swobodnym końcu kolumny (xn=l); układ AL(κ, Z)
i AP(κ, p*, q*) – wzory (11a÷b) lub układ BL(κ, Z) i BP(κ, p*, q*) – wzory (11c÷d):
∂ 2Wn ( x n , t )
Wn ( x n , t ) x = l =
(11a,b)
=0
n
∂x n2
x =l
n
∂ 2Wn ( x n , t )
∂x n2
x
= 0 , (EJ )n
n =l
∂ 2Wn ( x n , t )
∂x n2
x
+P
n =l
∂Wn ( x n , t )
∂x n
x
=0
(11c,d)
n =l
4. ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO
Do wyznaczenia obciążenia krytycznego wystarcza zastosowanie statycznego kryterium
stateczności (metoda energetyczna). Warunek konieczny istnienia minimum całkowitej
energii potencjalnej zapisano w postaci:
(12)
δV = 0
Energia potencjalna rozważanych układów (por. wzór (7)), po uprzednim rozdzieleniu
zmiennych funkcji Wi(xi,t), względem współrzędnych przestrzennych xi oraz czasu t :
Wi (x i , t ) = yi ( xi )cos(ωt )
(13)
przyjmuje postać:
n
V =∑
i =1
l
(EJ )i l [ II ( )] 2
2
P n
I
∫ yi xi dxi − ∑ ∫ [yi (xi )] dxi
2
0
2
i =1 0
(14)
STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO…
389
Uwzględniając relację (14) w warunku (12), otrzymano równania przemieszczeń:
y iIV (xi ) + k i2 y iII (xi ) = 0 , i = 1... n
(15)
oraz odpowiednie warunki brzegowe (por. wzory (9a,b), (10a÷d), (11a÷d)), przy czym:
k i2 = P / (EJ )i .
Rozwiązania ogólne równań (15) opisano funkcjami
yi (xi ) = Di1 sin (k i xi ) + Di 2 cos(ki xi ) + Di 3 xi + Di 4
(16)
gdzie: Diγ są stałymi całkowania (γ =1,…,4).
Na podstawie rozwiązań (16) równań przemieszczeń (15) oraz odpowiednich warunków
brzegowych uzyskano układ równań, który w formie macierzowej zapisano w postaci:
GS Λ = 0
(17)
gdzie: Λ = [D11 D11 D11 D11 ... Dn1 Dn 2 Dn 3 Dn 4 ] , a GS oznacza macierz
kwadratową stopnia zależnego od liczby n segmentów rozpatrywanego układu.
Równanie przestępne na wartość obciążenia krytycznego jest następujące:
det G S = 0
(18)
T
Na podstawie rozwiązania zagadnienia brzegowego przy kinetycznym kryterium
stateczności wyznaczono zakres zmian częstości drgań własnych ω, w funkcji obciążenia
zewnętrznego P, rozpatrywanych kolumn. W tym celu bierze się pod uwagę równania ruchu
(8), które po rozdzieleniu zmiennych względem współrzędnych przestrzennych xi oraz czasu t
(por. wzór (13)), są postaci:
yiIV (xi ) + ki2 yiII (xi ) − Ω i2 y i (xi ) = 0, i = 1...n
(19)
Rozwiązania równań (19) wynoszą:
yi ( xi ) = C1i cosh(α i xi ) + C 2 i cos(β i xi ) + C3i sinh (α i xi ) + C 4 i sin (β i xi )
gdzie Χγι są stałymi całkowania (γ =1,…,4) oraz:
α i2 = −0.5 k i2 + ( 0.25 k i4 + Ω i2
Ω i2 =
)
0.5
, β i2 = 0.5 k i2 + ( 0.25 ki4 + Ω i2
(ρAi )ω
(EJ i )
2
, ki =
P
(EJ i )
)
0.5
(20)
,
(21a÷d)
Po podstawieniu (20) do odpowiednich warunków brzegowych po rozdzieleniu zmiennych
(por. wzory (9a,b), (10a÷d), (11a÷d)) otrzymano układ równań:
G D col {C11 C 21 C 31 C 41 ... C1n C 2 n C3n C 4 n } = 0
(22)
Wyznacznik macierzy współczynników GD przyrównany do zera jest równaniem
przestępnym na częstość drgań własnych ω, rozpatrywanych układów, czyli:
det G D = 0 .
(23)
5. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
W niniejszym punkcie zaprezentowano wyniki symulacji numerycznych na podstawie
statycznych oraz kinetycznych kryteriów stateczności. Przeprowadzono szereg obliczeń
390
J. SZMIDLA, M. KLUBA
numerycznych w celu wyznaczenia wpływu zmiany przekroju poprzecznego kolumny wzdłuż
jej długości na wartość obciążenia krytycznego oraz na wartość częstości drgań własnych.
W ramach obliczeń numerycznych założono zmienną szerokość przekroju, opisując zmianę
parametru b funkcją liniową lub kwadratową. Przyjmując kształt badanego układu,
uwzględniono jednocześnie stałą jego grubość (parametr h). Analizę przeprowadzono przy
wybranych wartościach współczynnika kształtu przekroju poprzecznego κ i zbieżności Z
układów AL(κ, Z), BL(κ, Z) oraz współczynników wierzchołka paraboli p* i q* kolumn
AP(κ, p*, q*), BP(κ, p*, q*). W obliczeniach przyjęto podział struktur na n = 200 segmentów.
W zakresie statycznego kryterium stateczności wyniki badań zaprezentowano na rys. 2 i 3.
Wartość obciążenia krytycznego Pkr odniesiono do całkowitej długości kolumny L
i sztywności na zginanie kolumny pryzmatycznej (EJ)pr.
P L2
λ kr = kr
(24)
(EJ ) pr
W przypadku kolumn AL(κ, Z) i BL(κ, Z) wartość bezwymiarowego krytycznego
parametru obciążenia λkr kolumny pryzmatycznej (porównawczej) odpowiada λkr przy
zbieżności Z = 0%. W przypadku kolumn AP(3.125, p*, q*), BP(3.125, p*, q*) wartość
obciążenia krytycznego układu porównawczego zaznaczono linią przerywaną. Na wykresach
opisano również maksymalne wartości bezwymiarowego parametru obciążenia λkr kolumn
niepryzmatycznych.
Rys. 2. Zmiana parametru obciążenia krytycznego λkr w funkcji zbieżności Z kolumn: a)
AL(κ, Z), b) BL(κ, Z)
W zakresie kinetycznego kryterium stateczności wyniki symulacji numerycznych
przedstawiono na rys. 4 i 5. Przebieg krzywych zaprezentowano na płaszczyźnie
bezwymiarowy parametr obciążenia λ – bezwymiarowy parametr częstości drgań własnych Ω.
λ=
ω 2 (ρA) pr L4
PL2
,Ω=
(EJ ) pr
(EJ ) pr
(25a,b)
STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO…
391
Rys. 3. Zmiana parametru obciążenia krytycznego λkr w funkcji zbieżności Z kolumn: a)
AP(3.125, p*, q*), b) BP(3.125, p*, q*)
Ograniczono się jedynie do określenia charakteru zmian dwóch pierwszych częstości drgań
własnych (Ω1, Ω2).
Rys. 4. Krzywe na płaszczyźnie bezwymiarowy parametr obciążenia λ – bezwymiarowy
parametr częstości drgań własnych Ω kolumn: a) AL(3.125, Z), b) BL(3.125, Z)
Wartość obciążenia krytycznego dla przedstawionych krzywych zmian częstości drgań
własnych określona jest dla Ω=0. Otrzymane wyniki wartości krytycznego parametru
obciążenia, uzyskane na podstawie kinetycznego kryterium stateczności, są identyczne jak
przy zastosowaniu statecznego kryterium stateczności (por. wzór (15), (19)). Przedstawione
przebiegi zmian wartości własnych (por. rys. 4 - 5) mają zawsze nachylenie ujemne.
Rozpatrywane układy można zaliczyć więc do układów typu dywergencyjnego.
Biorąc pod uwagę przyjęty do obliczeń numerycznych zakres zmian przekroju
poprzecznego, na rys. 6 zaprezentowano kształt kolumn niepryzmatycznych, dla których
wartość parametru obciążenia krytycznego λkr osiąga wartość maksymalną, przy rozważanych
wartościach współczynnika kształtu przekroju poprzecznego κ i zbieżności Z układów
AL(κ, Z), BL(κ, Z) oraz współczynników wierzchołka paraboli p* i q* kolumn AP(κ, p*, q*),
392
J. SZMIDLA, M. KLUBA
*
*
BP(κ, p , q ). Liniami przerywanymi oznaczono kształt kolumn pryzmatycznych. Dodatkowo
podano wartość procentowego wzrostu siły krytycznej δ0,
λ kr − (λ kr ) pr
δ0 =
⋅ 100%
(26)
(λkr ) pr
przy czym: (λkr)pr – krytyczny parametr obciążenia kolumny pryzmatycznej (porównawczej).
Rys. 5. Krzywe na płaszczyźnie bezwymiarowy parametr obciążenia λ – bezwymiarowy
parametr częstości drgań własnych Ω kolumn: a) AP(3.125, 0.717, q*),
b) BP(3.125, 0.233, q*)
Na rys. 7 zaprezentowano zakres zmian wzrostu obciążenia krytycznego δ0 w funkcji
zbieżności Z kolumny BL(κ, Z) - rys.7a lub w funkcji współczynnika wierzchołka paraboli p*
kolumny BP(3.125, p*, q*) – rys.7b.
Rys. 6. Kształty kolumn niepryzmatycznych a) AL(2, 0), b) BL(8, 11),
c) AP(3.125, 0.467, 0.56), d) BP(3.125, 0.233, 0.612)
Największe wartości procentowego wzrostu siły krytycznej otrzymano w przypadku
kolumn typu BL(κ, Z) (δ0 = 19.44 %) oraz BP(κ, p*, q*) (δ0 = 14.29 %) (por. rys. 7).
Rozważając układ AL(κ, Z) nie uzyskano wzrostu wartości siły krytycznej (δ0 = 0). Natomiast
STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO…
*
393
*
w przypadku kolumny AP(κ, p , q ) otrzymano jedynie wzrost wartości procentowego
wzrostu siły krytycznej około δ0 = 0.52 %.
Rys. 7. Zmiana wartości wzrostu obciążenia krytycznego δ0 w funkcji: a) zbieżności Z kolumna BL(κ, Z), b) współczynnika wierzchołka paraboli p - kolumna BP(3.125, p*, q*)
Praca wykonana w ramach stypendium i grantu badawczego finansowanego ze środków
Europejskiego Funduszu Społecznego oraz grantu nr N N501 117236 finansowanego przez
Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
LITERATURA
1. Wesołowski Z.: Zagadnienia dynamiczne nieliniowej teorii sprężystej. Warszawa: PWN,
1974.
2. Ziegler H.: Principles of structural stability. Blaisdell Publ.Comp. 1968.
3. Tomski L.: Obciążenia układów oraz układy swoiste. Rozdz. 1: drgania swobodne
i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nieliniowych. W: Praca
zbiorowa pod kier. Nauk. i red. L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2007, s.17 – 46.
4. Bochenek B., Tajs-Zielińska K.: Optimization of beams and columns using cellular
automata. “Czasopismo Techniczne” z. 5 - Mechanika Z. 4-M. Wyd. Pol. Krak., 2008,
s.19 – 30.
5. Simitses G.J., Kamat M.P., Smith C.V.: Strongest column by the finite element method.
“American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal” 1973, 11, 9, p. 1231 –
1232.
6. Szmidla J., Wawszczak A.: Optymalizacja kształtu kolumn realizujących wybrane
przypadki obciążenia Eulera za pomocą zmodyfikowanego algorytmu symulowanego
wyżarzania. Zesz. Nauk. Pol. Rzesz. s. Mechanika, 258, 74, 2008, s.333-344.
7. Maalawi K. Y.: Buckling optimization of flexible columns. “International Journal of
Solids and Structures” 2002, 39, p. 5865–5876.
8. Bogacz R., Imiełowski SZ., Tomski L.: Optimalization and stability of columns on
example of conservative and nonconservative systems.”Machine Dynamics Problems”
1998, 20, p. 35 – 47.
394
J. SZMIDLA, M. KLUBA
9. Lee B. K., Carr A. J., Lee T. E., Kim I. J.: Buckling loads of columns with constant
volume. “Journal of Sound and Vibration” 2006, 294, p.381- 387.
10. Naguleswaran S.: Natural frequencies, sensitivity and mode shape details of an EulerBernoulli beam with one-step change in cross-section and with ends on classical supports.
“Journal of Sound and Vibration” 2002, 252, p. 751-767.
11. Naguleswaran S.: Vibration of an Euler-Bernoulli beam on elastic end supports and with
up to three step changes in cross-section. “International Journal of Mechanical Sciences”
2002, 44, p. 2541-2555.
12. Kukla S., Zamojska I.: Frequency analysis of axially loaded stepped beams by Green’s
function method. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 300, p. 1034-1041.
13. Naguleswaran S.: Comments on "Vibration of non-uniform rods and beams". “Journal of
Sound and Vibration” 1996, 195, p. 331-337.
14. Abrate S.: Vibration of non-uniform rods and beams. “Journal of Sound and Vibration”
1995, 185, p.703-716.
STABILITY AND FREE VIBRATIONS
OF
A NON-PRISMATIC SLENDER SYSTEM SUBJECTED
TO EULER’S LOAD
Summary. This paper presents theoretical and numerical research concerning
stability and free vibrations of non-prismatic columns subjected selected cases of
Euler’s load. The text describes the variable flexural rigidity throughout the
elements of the system. The change of a cross-section along column’s length is
described by a linear or quadratic function using the accepted additional criterion
of a constant volume within the system. A theoretical analysis concerning the
geometry of systems and the formulation of boundary conditions is being carried
out.