Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane

Transkrypt

Marek Cygan
Uniwersytet Warszawski
18 października 2012
Marek Cygan
1/22
Wstęp
W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo trudne
(NP-trudne) oraz proste (∈ P).
Marek Cygan
2/22
Wstęp
2poly(n) vs poly(n).
Marek Cygan
2/22
Wstęp
Jeśli P 6= NP, to co zrobić z problemami NP-trudnymi?
Marek Cygan
2/22
Wstęp
Jeśli P 6= NP, to co zrobić z problemami NP-trudnymi?
Dwa wyjścia: algorytmy aproksymacyjne, algorytmy
parametryzowane.
Marek Cygan
2/22
Część I: Algorytmy
aproksymacyjne
Marek Cygan
3/22
Algorytmy aproksymacyjne
Definicja
Algorytm ρ-aproksymacyjny dla problemu minimalizacyjnego w
czasie poly(n) znajduje rozwiązanie o koszcie ¬ ρ · OPT.
Kompromis polega na zachowaniu czasu wielomianowego,
kosztem dokładności rozwiązania.
Marek Cygan
4/22
Przykład problemu
W problemie k-Center mamy dany zbiór miejscowości (V ), które
musimy obsłużyć otwierając k centrów obsługi klienta (COK).
Marek Cygan
5/22
Przykład problemu
Chcemy przypisać COK dla każdej miejscowości, tak aby
zminimalizować najdalszą odległość pomiędzy klientem a jego
COK.
Marek Cygan
5/22
Przykład problemu
Chcemy przypisać COK dla każdej miejscowości, tak aby
zminimalizować najdalszą odległość pomiędzy klientem a jego
COK.
Dodatkowo COK mają przepustowości — jeśli otworzymy COK
w x, to może ono obsłużyć L(x) miejscowości.
Marek Cygan
5/22
Definicja problemu
k-Center z przepustowościami
Wejście: Metryka d : V × V → R+ , funkcja przepustowości
L : V → N oraz liczba k.
Wyjście: Zbiór S ⊆ V rozmiaru k oraz funkcja φ : V → S, taka
że dla każdego u ∈ S mamy |φ−1 (u)| ¬ L(u).
Cel: Zminimalizować maxv ∈V d(v , φ(v )).
1
3
0
2
4
3
5
2
Marek Cygan
6/22
Definicja problemu
k-Center z przepustowościami
Wejście: Metryka d : V × V → R+ , funkcja przepustowości
L : V → N oraz liczba k.
Wyjście: Zbiór S ⊆ V rozmiaru k oraz funkcja φ : V → S, taka
że dla każdego u ∈ S mamy |φ−1 (u)| ¬ L(u).
Cel: Zminimalizować maxv ∈V d(v , φ(v )).
1
3
0
2
4
3
5
2
Marek Cygan
6/22
Historia problemu oraz główny wynik
Poprzednio:
Nawet bez przepustowości problem k-center jest NP-trudny.
Istnieje 2-aproksymacja (’85) oraz wiadomo że nie da się
otrzymać ρ = (2 − ).
Dla identycznych przepustowości istnieje 6-aproksymacja
(Khuller and Sussman ’96).
C., Hajiaghayi, Khuller 2012
Algorytm ze stałym współczynnikiem aproksymacji dla dowolnych
przepustowości.
Narzędzia: LP + kombinatoryczna metoda zaokrąglania.
Marek Cygan
7/22
Część II: Algorytmy
parametryzowane
Marek Cygan
8/22
Algorytmy parametryzowane
Instancja wyposażona jest w dodatkową wartość — parametr
(ozn. k).
Parametr ma za zadanie odzwierciedlać trudność instancji.
Definicja
Algorytm parametryzowany rozwiązuje problem (dokładnie) w
czasie f (k)poly(n).
Przykładowo algorytm o złożoności 2k n może być użyteczny dla
k = 20, n = 104 .
Marek Cygan
9/22
Czym jest szerokość drzewiasta?
Szerokość drzewiasta (ang. treewidth) - parametr
odzwierciedlający „trudność” grafu; mierzy stopień
podobieństwa do drzewa.
Marek Cygan
10/22
Marek Cygan
10/22
Marek Cygan
10/22
Marek Cygan
10/22
Marek Cygan
10/22
Marek Cygan
10/22
Marek Cygan
10/22
Znany algorytm dla zbioru niezależnego
Problemu najliczniejszego zbioru niezależnego.
Równoważność częściowych rozwiązań pozwala na rozwiązanie
przez programowanie dynamiczne w czasie 2t poly(n).
Marek Cygan
11/22
Problemy lokalne i globalne
Dla wielu „lokalnych” problemów istnieją algorytmy c t poly(n):
zbiór niezależny (2t ), zbiór dominujący (3t ), zliczanie skojarzeń
(2t ).
Jednakże dla problemów z warunkiem globalnym (np. spójność)
znano jedynie algorytmy c t log t poly(n): najdłuższa ścieżka
(ścieżka Hamiltona), drzewo Steinera, zbiór rozcyklający (ang.
FVS), spójne pokrycie wierzchołkowe, spójny zbiór dominujący,
pokrycie najmniejszą liczbą cykli, pakowanie cykli.
Marek Cygan
12/22
Technika „tnij i zliczaj”
C., Nederlof, Pilipczuk, Pilipczuk, van Rooij, Wojtaszczyk 2011
Opracowaliśmy technikę „tnij i zliczaj”, która pozwala na uzyskanie
algorytmów Monte Carlo o złożoności c t poly(n), dla problemów
gdzie liczba spójnych składowych jest minimalizowana:
najdłuższa ścieżka,
drzewo Steinera,
spójne pokrycie wierzchołkowe,
spójny zbiór dominujący,
pokrycie najmniejszą liczbą cykli,
zbiór rozcyklający,
...
Marek Cygan
13/22
Niewielkie stałe i ograniczenia dolne
Problem
złożoność
drzewo Steinera
zbiór rozcyklający
spójne pokrycie wierzchołkowe
spójny zbiór dominujący
spójny zbiór rozcyklający
(skier.) najdłuższa ścieżka
(skier.) najmniejsze pokrycie cyklowe
...
Marek Cygan
3t
3t
3t
4t
4t
(6t ) 4t
(6t ) 4t
ograniczenie
dolne (SETH)
(3 − )t
(3 − )t
(3 − )t
(4 − )t
(4 − )t
14/22
Uzupełniający wynik
Maksymalizacja liczby spójnych składowych jest trudna.
Twierdzenie
Przy założeniu hipotezy ETH nie istnieje algorytm o złożoności
2o(t log t) poly(n) dla problemu pakowania cykli (i innych).
Marek Cygan
15/22
Następstwa uzyskanych wyników
Szybsze algorytmy parametryzowane wielkością rozwiązania:
3.83k poly(n) → 3k poly(n) dla zbioru rozcyklającego,
2.49k poly(n) → 2k poly(n) dla spójnego pokrycia
wierzchołkowego,
46.2k poly(n) → 3k poly(n) dla spójnego zbioru rozcyklającego.
Marek Cygan
16/22
Następstwa uzyskanych wyników
Szybsze algorytmy parametryzowane, wykładnicze i
aproksymacyjne w grafach planarnych i z zabronionym minorem.
Cykl Hamiltona w grafach kubicznych: O(1.251n ) → O(1.201n ).
Marek Cygan
17/22
znajdowanie
samoredukowalność
istnienie
lemat o izolacji
zliczanie mod 2
Nowy cel: znaleźć #cykli Hamiltona modulo 2.
Marek Cygan
18/22
Przez cięcie (V1 , V2 ) oznaczamy podział V = V1 ] V2 .
Pokrycie cyklowe X ⊆ E nazwiemy zgodnym z cięciem (V1 , V2 )
wtw X ∩ E (V1 , V2 ) = ∅.
V1 V2
Marek Cygan
V1
V2
19/22
Główny pomysł
Zamiast zliczać cykle Hamiltona będziemy zliczać pary
(pokrycie cyklowe, zgodne cięcie). Takie obiekty się łatwo zlicza
standardowymi technikami.
Pokrycie o a cyklach jest zgodne z dokładnie 2a−1 cięciami.
v0
V1
Marek Cygan
V2
20/22
Pozostałe zainteresowania
Dokładne algorytmy wykładnicze.
Teoria grafów.
Skojarzenia.
Algorytmy online.
Marek Cygan
21/22
Pytania
Dziękuję za uwagę.
Marek Cygan
22/22

Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane

Transkrypt

Podobne dokumenty

(3). G Cygana (1) - Słownik polszczyzny XVI wieku

Wrocław, 19

Fotografia cyfrowa, prof. UAM dr hab. Roman Goc

Pytania - egzamin dyplomowy inżynierski Informatyka

Mariusz Wiśniewski Algorytmy i struktury danych Zagadnienia na

Praca dyplomowa.txt

Dlaczego Cygan bardziej cenił nogi niż głowę

Zagadnienia na egzamin magisterski

Stary Cygan - Mieczysław Święcicki - tekst