plik - pdf - Politechnika Białostocka

System M/M/1/L L
→∞
Wielkość ( pojemność) kolejki tego systemu jest nieograniczona. Zgłoszenia przybyłe
w czasie, gdy stanowisko obsługi jest zajęte ustawiają się w kolejce, niezależnie od jej
długości. Każde przybyłe zgłoszenie będzie kiedyś obsłużone.
Charakterystyki systemu:
Prawdopodobieństwa stanów systemu: p0 = 1 − ρ , pi = p0 ⋅ ρ i = (1 − ρ ) ⋅ ρ i dla i = 1,
2, …
Prawdopodobieństwo straty zgłoszenia jest równe zeru, gdyż każde przybyłe
zgłoszenie zostanie obsłużone: p str = 0 .
Prawdopodobieństwo obsługi: pobs = 1 .
ρ2
Średnia liczba zadań w kolejce: v =
.
1− ρ
Średnia
liczba zgłoszeń na stanowisku obsługi: l = ρ .
Średnia
liczba zgłoszeń w systemie: n = v + l =
Średni
czas pobytu w kolejce: w =
Średni
czas obsługi: s =
Średni
czas pobytu zgłoszenia w systemie: q =
l
λ
=
1
µ
v
λ
=
ρ
1− ρ
ρ
µ (1 − ρ )
.
.
.
n
λ
=
1
1
.
µ (1 − ρ )
Przykład
„Kasa biletowa”
Na dworcu autobusowym znajduje się kasa biletowa. Średnio, co 30 sekund przybywa
podróżny, który chce kupić bilet. Kasjerka w ciągu godziny średnio obsługuje 180 klientów.
Zakładamy, że liczba podróżnych jest wystarczająco duża, by kolejne zgłoszenia można było
traktować jako niezależne oraz że odstępy między przybywaniem podróżnych i czas obsługi
1
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 46 - 47
Por. Bogusław Filipowoicz: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, Wydawnictwa NaukowoTechniczne, Warszawa 1996, s. 79 – 82
można przybliżyć rozkładem wykładniczym. Obliczyć, jaki jest średni czas oczekiwania w
kolejce, obciążenie kasjerki oraz jakie jest prawdopodobieństwo, że przybyły podróżny nie
zastanie nikogo w kolejce.
Zadany system jest systemem M/M/1/L z nieograniczon ą poczekalnią (kolejką).
Średnio,
co 30 sekund przybywa podróżny, zatem w ciągu godziny przybędzie 120
klientów.
Średnia
intensywność napływu nowych zgłoszeń λ wynosi więc 120
zgłoszeń w ciągu godziny.
Obciążenie kasjerki: ρ =
Średni
λ 120 2
=
= .
µ 180 3
czas oczekiwania w kolejce: w =
ρ
µ (1 − ρ )
=
2
3

1801 −

2

3
=
1
godziny, czyli
90
2
minuty, czyli 40 sekund.
3
Prawdopodobieństwo,
że
klient
nie
zastanie
nikogo
w
kolejce,
czyli
prawdopodobieństwo, że nie będzie żadnego podróżnego (kasa będzie wolna) lub, że
będzie tylko jeden (jeden klient, który będzie w tym czasie obsługiwany): p = p0 + p1
gdzie p0 = 1 − ρ = 1 −
2 1
1 2 2
1 2 5
= i p1 = p0 ⋅ ρ 1 = ⋅ = wiec p = + = .
3 3
3 3 9
3 9 9
Wartości prawdopodobieństwa,
że
nie będzie nikogo w kolejce oraz czasu
oczekiwania w kolejce pokazują, że klienci tej kasy obsługiwani są prawie na bieżąco.
Zadania
1. Sklep spożywczy
Działanie pewnego sklepu spożywczego można opisać modelem M/M/1/L z
nieograniczoną wielkością kolejki. Średnio co n minut do sklepu przychodzi klient, którego
ekspedientka obsługuje średni przez m minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klient
zostanie od razu obsłużony? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w kolejce będzie czekało L
osób? Jaka jest średnia długość kolejki oraz średni czas jaki klient spędza w niej?
a) n = 2, 4, 6, 8, 10; L = 2; m = 3;
b) n = 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5; L = 1; m = 2;
c) n = 3.6; L = 1, 2, 3, 4, 5; m = 2.3;
d) n = 2.1; L = 2, 4, 6, 10, 15 ; m = 2;
e) n = 2; L = 2; m = 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 2;
f) n = 5; L = 3; m = 2, 2.5, 3, 3.5, 4;
Wyniki przedstaw w postaci wykresów.
2. Pomoc drogowa
Dziennie do serwisu komputerowego przybywa
średnio
n klientów z zepsutym
podzespołem, bądź całym komputerem. Czas naprawy trwa średnio m dni.:
a) n = 10, 12, 14, 15, 20; c = 2;
b) n = 5, 10, 15, 20, 25; c = 5;
c) n = 2, 3, 4, 5, 10; c = 3;
d) n = 12; c = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3;
e) n = 15; c = 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.5, 2;
3. Serwer z kolejką z ograniczeniem połączeń do jednego
Na komputerze podłączonym do sieci stoi serwer FTP. Aby zbytnio nie obciążać
procesora ustawiono limit podłączeń do jednego. Średnio co n minut ktoś próbuje wejść na
serwer. Przyjmujemy, że proces napływu zgłoszeń do systemu, oraz opuszczania go jest
procesem Markowa. Jeśli wszystkie łącza są zajęte, zgłoszenie czeka w kolejce. Zakładamy,
że
zgłoszenia nie opuszczają systemu nieobsłużone. Jeden użytkownik średnio podłączony
jest przez m minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w kolejce będzie czekało L zgłoszeń?
Oblicz prawdopodobieństwa, że zgłoszenie będzie czekało w kolejce, średnią ilość zgłoszeń
na stanowiskach obsługi, średni czas oczekiwania na połączenie jeśli:
a) L = 3; n = 2; m = 10, 15, 20, 22, 25;
b) L = 5; n = 3; m = 15, 17, 20, 25, 30;
c) L = 3; n = 4, 5, 6, 7, 10; m = 10;
d) L = 7; n = 0.5, 0.6, 0.7, 1, 1.5; m = 15;
e) L = 2, 3, 4, 5, 8; n = 2; m = 10;
f) L = 10, 12, 13, 15, 16; n = 5; m = 25;
Otrzymane wyniki przedstaw graficznie.