47 Błędy obliczeń w analizach systemów obsługi funkcjonujące na

ZARZ ĄDZAN IE – ORGANIZAC J A
Błędy obliczeń w analizach
systemów obsługi
funkcjonujące na budowie
Dr inż. Andrzej Więckowski, Politechnika Krakowska
1. Wprowadzenie
Do opisu systemu obsługi np. odwzorowującego
pracę koparki i samochodów odwożących grunt,
szczególnie dawniej stosowano rachunek deterministyczny. W modelach analitycznych wykorzystywano wielkości średnie czasów trwania poszczególnych operacji, a skutki nieprzewidzianych zakłóceń
w trakcie realizacji robót oraz stopień wykorzystania
czasu dysponowanego zmiany roboczej, odwzorowywano współczynnikami dobieranymi sposobem
„eksperckim” z określonych przedziałów wartości.
Zapewne zaletą takiego podejścia są nieskomplikowane modele i proste obliczenia. Natomiast poważnym mankamentem jest brak zależności ujmujących
wzajemne oddziaływania jednostek funkcjonujących
w zespole.
Możliwość badania strat czasu występujących ze
względu na współpracę jednostek, istnieje w przypadku stosowania rachunku prawdopodobieństwa.
Wówczas do analizy funkcjonowania zespołów
zazwyczaj wykorzystuje się istniejące modele teorii
obsługi masowej (tom) o przyjętych schematach
działania i założonych charakterystykach procesów
[1, 2, 3, 4, 7]. Modele te umożliwiają badanie zarówPR zeglĄ d bu d ow l an y 3/2008
no czasu pracy operacyjnej, jak i czasu przerw technologicznych spowodowanych koniecznością wzajemnego oczekiwania. Dużym problemem są jednak
rozbieżności wyników obliczeń względem rezultatów
uzyskiwanych w wykonawstwie.
Znaczącym uproszczeniem w modelach tom jest
przyjęcie ciągłego funkcjonowania systemów w nie­skończenie długim przedziale czasu. Natomiast
w budownictwie praca jest wykonywana okresowo,
z jej codziennym rozpoczynaniem i kończeniem. W
artykule przeanalizowano wielkości błędów obliczeń
wynikające z nieuwzględnienia w modelu tom warunku realizacji pracy w ograniczonych przedziałach
czasu zmian roboczych.
Równocześnie należy zauważyć, że w okresach
zmian poza pracą operacyjną są wykonywane obsługi techniczne sprzętu i występują przerwy konieczne
oraz straty czasu, które zazwyczaj również nie są
uwzględniane w modelach tom, a powodują rozbieżności wyników względem wykonawstwa [6].
Zagadnienie tych rozbieżności i towarzyszących im
błędów obliczeń nie zostało przedstawione, z uwagi
na ograniczoność treści niniejszego artykułu.
W celu odwzorowania realizacji procesów w warunkach zbliżonych do rzeczywistych, autor opracował
tzw. numeryczny model kolejkowy (nmk). Model
umożliwia opis funkcjonowania systemu obsługi
m.in. w ograniczonym okresie czasu, z rozpoczynaniem pracy na początku zmiany i kończeniem
w chwili jej ukończenia, jak również przy uwzględnieniu składowych czasu dysponowanego oraz charakterystyk procesów obsługi i obiegu rozkładami
przesuniętymi względem początku układu współrzędnych. W artykule dokonano oceny rozbieżności
między wynikami uzyskanymi na postawie nmk przy
uwzględnieniu rzeczywistego czasu trwania zmiany
z rezultatami wg tom. Dla przykładu wykonywania
wykopu z odwozem gruntu określono wielkości
błędów obliczeń prawdopodobieństw przestojów
aparatu obsługi i zgłoszeń oraz średnich liczb jednostek w kolejce, w przypadku nieuwzględnienia
ograniczonego czasu pracy.
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
Popularne modele teorii kolejek opisują funkcjonowanie systemów obsługi w nieskończonym przedziale czasu. Natomiast rzeczywiste wykonywanie
robót odbywa się w ograniczonych okresach czasu
trwania zmian roboczych. Badania przeprowadzono na przykładzie wykonywania wykopu koparką z odwozem gruntu samochodami jeżdżącymi
w „obiegu zamkniętym” Wykorzystując opracowany,
tzw. numeryczny model kolejkowy stwierdzono, że
rozbieżności wyników przy pominięciu warunków
rozpoczęć oraz zakończeń zmian są bardzo znaczące. Przykłądowo, błędy względne średniej liczby jednostek w kolejce mogą wynosić nawet kilkadziesiąt
procent. Przeanalizowano również zmienność tych
rozbieżności z uwagi na wielkość przedziału czasu
zmiany roboczej.
47
ZARZĄDZANIE – ORGANIZAC J A
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
2. Model M/M/1/FIFO/N/F
Pracę zespołu złożonego z koparki i N samochodów
odwożących grunt, z których każdy pracuje w cyklu
zamkniętym, tj. zaraz po rozładunku wraca po kolejną
porcję gruntu do wywozu, zgodnie z [2, 5, 7] można
opisać modelem M/M/1/FIFO/N/F (rys. 1). Model taki
oznacza system obsługi masowej, w którym tzw. czas
obiegu (liczony od chwili opuszczenia stanowiska
obsługi przez zgłoszenie do chwili jego ponownego
powrotu) jest zgodny z rozkładem wykładniczym
o parametrze λ oraz czas obsługi (który również charakteryzuje się rozkładem wykładniczym) o parametrze µ. System ten posiada 1 kanał obsługi, z kolejką
tworzoną wg dyscypliny FIFO (obsługa zgłoszeń
w kolejności ich przybywania) z N jednostkami pracującymi w cyklu zamkniętym – F.
N
•••
μ
Rys. 1. Model M/M/1/FIFO/N/F
Model teoretyczny M/M/1/FIFO/N/F jest określony dla
przypadku procesów, obiegu i obsługi spełniających
warunki:
– stacjonarności (prawdopodobieństwo zajścia jednego zdarzenia w małym przedziale czasu od t do t +
h jest równe w przybliżeniu λh dla każdego t),
– równomierności (prawdopodobieństwo zajścia
dwóch lub więcej zdarzeń w powyższym przedziale
czasu od t do t + h jest pomijalne w porównaniu z λh,
tzn. jest rzędu niższego niż λh),
– niezależności (ilość zdarzeń w dowolnym przedziale
czasu jest niezależna od ilości takich zdarzeń w innym
rozłącznym przedziale),
ponadto:
– analiza rozpoczyna się w chwili, kiedy procesy są
już ustabilizowane i ich realizacja trwa wystarczająco
długo, np. od chwili zmierzającej z -∞, oraz
– badanie obejmuje bardzo długi przedział czasu,
z zakończeniem w chwili zmierzającej do +∞.
Relacje charakteryzujące model M/M/1/FIFO/N/F
szczegółowo przed­stawione w literaturze [1, 2, 5] są
następujące.
Prawdopodobieństwo tego, że aparat obsługi ma
przestój wynosi:
Natomiast prawdopodobieństwo przestoju zgłoszeń
w kolejce:
Średnia zaś liczba zgłoszeń w kolejce wynosi:
(2)
(3)
3. Numeryczny model kolejkowy
Do badania pracy systemów X/Y/1/FIFO/N/F, przy
wykorzystaniu metod symulacji, można zastosować
numeryczny model kolejkowy. Model nmk służy do
obliczania podobnych charakterystyk, jak w modelach
tom, między innymi częstości przestojów: p*o – aparatu
obsługi i pos* – zgłoszeń oraz q* – średniej liczby jednostek w kolejce.
Konstrukcja modelu nmk pozwala na odwzorowanie wielu szczegółowych założeń towarzyszących
wykonawstwu. Do opisu czasów obiegu i obsługi
jest możliwe zastosowanie rozkładów standardowych
i dowolnych. Badanie funkcjonowania systemów może
dotyczyć okresu trwania zmian roboczych, z deklaracją warunków rozpoczynania i kończenia pracy, jak
również ustaleń w zakresie procesów towarzyszących
w trakcie realizacji pracy.
Sposób obliczeń w modelu nmk jest zgodny z następującą zasadą. Najpierw są określane chwile potencjalne, w których mogą nastąpić zdarzenia. Faktyczne
ich zajście następuje dopiero wtedy, kiedy pozwalają
na to warunki realizacyjne. Na przykład, już od chwili
przybycia zgłoszenia, potencjalnie może być realizowana jego obsługa. Jednak faktycznie, rozpocznie
się ona dopiero po spełnieniu wszystkich warunków
koniecznych, m.in. ukoń­czenia obsługi zgłoszeń, które
przybyły wcześniej. Obsługa nie zostanie również zrealizowana, jeśli np. chwile potencjalnego rozpoczęcia
lub zakończenia występują po zakończeniu zmiany
roboczej.
Z uwagi na obszerność algorytmu obliczeniowego
modelu nmk, poniżej przedstawiono tylko jego fragmenty.
Warunki rozpoczęcia:
(4)
(4a)
(4b)
(4c)
(4d)
48
(1)
(4e)
PRz eg l Ąd bu d owl any 3/2008
ZARZ ĄDZAN IE – ORGANIZAC J A
Wartości charakterystyk:
(5)
(5a)
(5b)
(5c)
(5d)
Wtedy czas tls liczony od chwili przybycia zgłoszenia,
do chwili t0 – rozpoczęcia funkcjonowania systemu
jest określony jako wartość zmiennej losowej, funkcji
odwrotnej dystrybuanty rozkładu czasu pierwszych
przybyć zgłoszeń do systemu x(F l-s1(los:〈0,1〉)). Zatem,
PR zeglĄ d bu d ow l an y 3/2008
4. Błędy pominięcia warunków zakończenia
i rozpoczęcia zmiany roboczej
Aby ocenić błąd z przyczyny pominięcia szczegółowych warunków realizacyjnych występujących przy
zakończeniu zmiany roboczej, warunki rozpoczęcia
oraz realizacja obsługi w porównywanych modelach
muszą być takie same. Dlatego w tym przypadku,
w modelu nmk zastosowano warunki rozpoczęcia
zgodne z modelem analitycznym M/M/1/FIFO/11/F.
Przyjęto, że jednostki już pracowały wystarczająco
długo i procesy obiegu są ustabilizowane. W chwili
t0 = 0 aparat obsługi rozpoczyna pracę, a przybycia
kolejnych jedno­stek do systemu następują w chwi­
lach losowych zakończeń realizo­wanych obiegów.
Również warunki pracy systemów są takie same.
Występuje natomiast niezgodność warunków zakończenia. W modelu tom okres funkcjonowania syste­mu
zmierza do nieskończoności, zaś w modelu nmk –
naśladują­cym warunki wykonawstwa, trwa do chwili
tzm – zakończenia zmiany roboczej. Ta odmienność
czasu funkcjonowania systemów powo­duje różnice
w obsłudze zgłoszeń w okresie przed zakończeniem
zmiany roboczej.
Występują sytuacje, że w chwili t ps ≤ tzm przybywa
zgłoszenie, którego potencjalna obsługa trwa do
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
Algorytm obliczeniowy nmk można zinterpretować
następująco.
W warunkach rozpoczęcia za­ło­żono, że chwila bieżąca czasu ze­garowego t, przyjmuje wartości ze zbioru
R – liczb rzeczywistych, t∈R. Chwila t odpowiada
ko­lejnym chwilom wystąpienia zdarzeń w realizowanych procesach. Na początku, czas zegarowy
od­powiada chwili t0 – rozpoczęcia działania systemu,
t= t0 (4). Licząc od chwili t0 , po okresie t zm – funkcjonowania systemu (odpowiadającego czasowi trwania
zmiany roboczej) następuje chwila zakończenia tzm,
stąd tzm= t0+ t zm (4a).
Przyjęto, że w chwili t0 nie występuje realizacja procesów i jest zakończona obsługa zgłoszeń. Stąd przy
rozpoczęciu obliczeń, chwila tzw – zakończenia obsługi zgłoszeń:
tzw= t0 (4b).
Model odwzorowuje następujący system: jeden aparat obsługi i N zgłoszeń w obiegu zamkniętym.
Każde zgłoszenie ma przypisany numer identyfikacyjny i. Zatem kolejne zgłoszenia i=1, ..., N tworzą
N-elementowy zbiór I taki, że I ∋ i, (4c).
W najczęściej analizowanych przypadkach, przy nieuwzględnieniu przybyć zgłoszeń przed chwilą rozpoczęcia zmiany, dla wszystkich i-tych zgłoszeń, i ∈ I
przyjmuje się, że chwile t psi – pierwszych przybyć, odpowiadającą chwili rozpoczęcia, stąd t psi = t0, i ∈ I (4d).
Z chwil t psi – przybyć zgłoszeń, utworzono N-elemen­
towy zbiór Tps, taki że Tps ∋ t psi, (4e).
W rzeczywistych realizacjach, zazwyczaj pierwsze
przyjazdy samochodów, aby zająć dobre miejsce
w tworzącej się kolejce, następują znacznie przed
chwilą t0 – rozpoczęcia zmiany roboczej. Dla uwzględnienia takich przypadków, alternatywnie przeprowadza się następujące obliczenia:
chwila t psi – pierwszego przybycia i-tego zgłoszenia
wynosi:
t psi = t0 – tls (znak minus wynika z przybyć jednostek
jeszcze przed chwilą rozpoczęcia zmiany).
Krok powtarzalny symulacji pracy systemu jest realizowany dopóki chwila t – czasu zegarowego występuje
przed chwilą tzm – zakończenia zmiany roboczej, tj.
dla t < tzm.
Wartości charakterystyk są oblicza­ne po zakończeniu
symulacji, jeśli czas zegarowy zrówna się z chwilą
zakończenia zmiany: t ≥ tzm. Częstość p*o – przestojów
aparatu obsługi, określono jako iloraz skumulowanego czasu trwania jego przestojów tk do czasu funkcjonowania systemu – tzm, stąd p*o = tk / tzm (5).
Częstość obsług zgłoszeń z przestojem w kolejce – pk*
obliczono jako iloraz liczby oczekiwań – k do liczby
cykli obsługi – c, p*k=k/c (5a).
Częstość występowania kolejki pos* określono jako
iloczyn częstości obsług z przestojem w kolejce – p*k
i skumulowanego czasu zajętości (pracy operacyjnej)
aparatu obsługi tzm= tzm– tk , podzielony przez czas
funkcjonowania systemu – tzm. Stąd relacja:
pos* = p*k tpr / tzm
(5b)
Średni czas przestoju zgłoszeń w kolejce – w* jest
równy ilorazowi skumulowanego czasu ich przestojów
– ts przez liczbę oczekiwań – k, w*=ts/k (5c).
Średnia zaś liczba zgłoszeń w kolejce – q* jest określona, jako iloczyn częstości występowania kolejki – pos*
i średniego czasu przestoju w kolejce – w* oraz śred(5d).
niej stopy obsługi – m, zatem q* = pos* w* m
49
ZARZĄDZANIE – ORGANIZAC J A
t
0
τ
t
τ
t vs
ps
ok
T
t zm
τ1
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
Rys. 2. Przypadek 1 strat zgłoszeń o charakterystykach t ≤ tps < tzm< tvs, opis w tekście (opracowanie własne)
chwili tvs występującej już po zakończeniu zmiany.
Ponieważ chwila zakończenia obsługi jest po zakończeniu zmiany roboczej tvs > tzm, faktyczna obsługa
nie zostaje podjęta i ma miejsce strata zgłoszenia.
Podobna sytuacja jest przy zgłoszeniu oczekującym
w kolejce, jeśli nie zostanie obsłużone do zakończenia
zmiany.
Występują dwa przypadki strat zgłoszeń, kiedy aparat
obsługi ma przestój lub jest zajęty.
Przypadek 1 dotyczy stanów, w których aparat obsługi
ma przestój od chwili t, a stracone zgłoszenie charakteryzują chwile
t ≤ t ps < tzm< t vs (rys. 2).
W modelu nmk, ze względu na stratę zgłoszenia,
aparat obsługi ma przestój do chwili zakończenia
zmiany, przez okres t ok + t1 (dla uproszczenia rozumowania, pominięto okres wykonywania prac zakończeniowych). Natomiast w modelu tom, przy dłuższym
funkcjonowaniu systemu niż do chwili tzm ma miejsce
realizacja obsługi, a przestój aparatu trwa tylko przez
okres t ok. Stąd w wykonawstwie zwiększenie czasu
trwania przestoju, w porównaniu z modelem analitycznym wynosi:
t ok + t1 – t ok = t1 , gdzie: t ok ≥ 0, gdyż t ps ≥ t oraz t1 >
0, gdyż t ps < tzm.
Obliczając w podobny sposób inne potrzebne charakterystyki otrzymuje się następujące relacje określające
wielkości błędów z racji pominięcia warunków zakończenia zmiany roboczej, dla przypadku 1.
Błąd względny częstości czekania aparatu obsługi
wynosi:
Błąd częstości czekania wg powyższej relacji charakteryzuje się wartością dodatnią, δpo1 > 0, gdyż czynniki
są dodatnie: t1 > 0, tk > 0, (tk – skumulowany czas
przestoju aparatu obsługi w przedziale czasu zmiany
t
0
τ
roboczej). Czasy trwania dodatkowych przestojów –
t1, mają wartości ustalone (są ograniczone). Przy czasie trwania zmiany roboczej zmierzającej do nieskończoności, tzm→∞, do nieskończoności zwiększają się
równocześnie wartości tk→∞. Zatem błąd względny
częstości czekania aparatu obsługi zmierza do zera:
Natomiast błąd względny częstości czekania zgłoszeń
w kolejce wynosi:
W powyższej relacji poszczególne wartości są dodatnie: skumulowana liczba zgłoszeń w przedziale czasu
analizowanej zmiany roboczej c>1, skumulowany
czas pracy aparatu obsługi tpr > 0 oraz j.w. t1 > 0.
Przy czasie trwania zmiany roboczej zmierzającej do
nieskończoności tzm→∞, do nieskończoności zmierzają również wartości tpr→∞. Zatem błąd względny
częstości występowania kolejki zmierza do zera:
Kolejny błąd względny, średniej liczby jednostek
w kolejce jest podobnie zbieżny do zera.
Przypadek 2 opisuje stany, w których aparat obsługi
jest zajęty, a stracone zgłoszenie charakteryzują chwile t ps < t rs = t < tzm< t vs (rys. 3).
Ze względu na stratę zgłoszenia aparat ma przestój
od chwili t rs = t, do chwili tzm zakończenia zmiany,
przez okres t2, gdzie: t2 > 0, gdyż t rs < tzm. Natomiast
w modelu tom, przy dłuższym funkcjonowaniu systemu niż do chwili t vs, aparat nie ma przestoju, gdyż od
chwili t rs obsługuje to zgłoszenie.
t rs
ps
τ os
t
t vs
τ2
t zm
T
Rys. 3. Przypadek 2 strat zgłoszeń o charakterystykach tps < trs = t < tzm< tvs , opis w tekście (opracowanie własne)
50
PRz eg l Ąd bu d owl any 3/2008
ZARZ ĄDZAN IE – ORGANIZAC J A
5. Przykład
W dalszej analizie wykorzystano dane z badań przeprowadzonych na budowie „Galerii Krakowskiej”,
przy wykonywaniu wykopu szerokoprzestrzennego,
o objętości około 184000 m3 i przeciętnej głębokości
7,5 metra, na powierzchni zbliżonej do prostokąta
o wymiarach 340 m x 105 m.
Badaniami była objęta praca zespołu złożonego
z koparki o pojemności łyżki 1,8 m3 i 11 samochodów
samowyładowczych o ładownościach 12,6, 18 i 27 ton,
pracujących w cyklu zamkniętym, odwożących grunt
na odkład stały w odległości 12,5 km od budowy.
Na podstawie wyników pomiarów empirycznych
czas „obiegu” samochodów charakteryzuje średnia  t=0,8229 h, stąd dla rozkładu wykładniczego
parametr λ = 1,2152. Podobnie dla czasów obsługi
stwierdzonych w badaniach średnia  t = 0,0631
h, zatem dla rozkładu wykładniczego parametr
µ = 15,8366.
Dla oceny błędu nieuwzględnienia w modelu tom
ograniczonego czasu trwania zmiany roboczej dokonano porównania otrzymanych wyników z rezultatami wg nmk, w którym odwzorowano rzeczywiste
warunki rozpoczęć i zakończeń pracy. Zatem w obu
modelach przyjęto takie same systemy odpowiadające zespołowi pracującemu na budowie, to jest: z 1
aparatem obsługi i 11 jednostkami funkcjonującymi
w obiegu zamkniętym.
PR zeglĄ d bu d ow l an y 3/2008
6. Wyniki obliczeń
W modelu analitycznym tom charakterystyki systemu
M/M/1/FIFO/11/F obliczone na podstawie relacji (1),
(2) i (3) są określone w warunkach jak wyżej, tzn.
z rozpoczęciem analizy w chwili, gdy realizacja procesów trwa już wystarczająco długo oraz badanie również jest wykonywane dostatecznie długo, do chwili
zmierzającej do +∞. Wówczas prawdopodobieństwo
przestoju aparatu obsługi po=0,2886, prawdopodobieństwo przestoju zgłoszeń pos=0,4678 oraz średnia
liczba jednostek oczekujących w kolejce q=1,0172.
W modelu nmk naśladującym rzeczywiste warunki
wykonawstwa przyjęto, że w chwili t0 = 0 rozpoczęcia
zmiany, wszystkie jednostki są w systemie, w kolejności ich przybyć (indeksów i=1, 2, ..., N), zaś aparat
w chwili t0 rozpoczyna obsługę od zgłoszenia i=1.
Następnie kontynuuje ją względem kolejnych oczekujących i później zgłaszających się po każdym obiegu,
aż do zakończenia zmiany w chwili tzm.
Charakterystyki modelu nmk zostały obliczone na
podstawie 10000 cykli symulacyjnych, przy ograniczonych czasach funkcjonowania systemu. W celu oceny
wpływu wielkości okresu trwania zmiany roboczej
na wartości poszczególnych charakterystyk, obliczenia przeprowadzono dla następujących przedziałów
czasu: tzm=8, 10, 20, 30,…,100 godzin.
A. Błędy nieuwzględnienia wa­runków rozpoczęcia
Przyjęto, że błędem bezwzględnym Dx jest rozbieżność stanowiąca różnicę między wartością x* uzyskaną na podstawie obliczeń numerycznych nmk i odpowiednią wartością x obliczoną analitycznie wg tom [4],
(6)
stąd: Dx=x*–x Natomiast błąd względny δx wy­nosi:
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
Przeprowadzając podobne jak wyżej analizy oraz
sprawdzając zmienność błędów stwierdza się, że
wszystkie są zbieżne do zera. Zatem również sumy
błędów odpowiednich charakterystyk dla przypadku
1 i 2 są także zbieżne do zera. Szczegółowe analizy
błędów wynikających z pominięcia warunków zakończenia, jak również rozpoczęcia zmiany roboczej są
przedmiotem odrębnego artykułu.
Analizując skutki rozpoczynania pracy w chwili t0
– rozpoczęcia zmiany roboczej stwierdza się, że
oddziaływanie jest inne. W wykonawstwie i podobnie
w modelu nmk, od chwili t0 = 0 rozpoczęcia zmiany
ma miejsce ciągła obsługa wszystkich N czekających jednostek. Ta obsługa, bez przerw, zachodzi od
początku zmiany i trwa przez okres czasu tc = N tm
(tm – czas trwania obsługi). W pozostałej części zmiany, w jej początkowym okresie, do chwili ustabilizowania się procesów, występują skutki tej ciągłej obsługi.
Większa intensywność opuszczania stanowiska, przy
N obsługach bez przerw, szczególnie po pierwszym
obiegu, powoduje wyraźnie większą intensywność
przybyć jednostek niż w systemie ustabilizowanym.
W rezultacie, ciągła obsługa na początku zmiany
i później większa intensywność przybyć do czasu
ustabilizowania się procesów prowadzi do zmniejszenia przestojów aparatu obsługi i równocześnie do
zwiększenia czasu czekania jednostek w kolejce.
(7)
Wyniki obliczeń częstości przestojów aparatu obsłur
gi por , częstości przestojów zgłoszeń w kolejce pos
0,5
Δrq
0,4
0,3
0,2
Δrps
0,1
0
-0,1
8
10
Δrpo
20
30
40
50
60
70
80
90
100 τ zm h
Rys. 4. Błędy bezwzględne częstości przestojów aparatu
obsługi Dpor i zgłoszeń Dpsr oraz średnich liczb jed­
nostek w kolejce Dqr ze względu na pominięcie warunków
rozpoczęcia zmiany roboczej (opracowanie własne)
51
ZARZĄDZANIE – ORGANIZAC J A
Tabela 1. Wartości charakterystyk wg nmk i rozstępy wyników względem modelu tom przy pominięciu warunków rozpoczęcia
zmiany roboczej [opracowanie własne]
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
Czas trwania
zmiany roboczej
tzmh
8
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Częstości przestojów
aparatu obsługi
por
0,239288
0,2518
0,269089
0,276518
0,280114
0,282083
0,282661
0,283123
0,28391
0,284075
0,284373
zgłoszeń w kolejce
r
błąd Dpo
–0,04931
–0,0368
–0,01951
–0,01208
–0,00849
–0,00652
–0,00594
–0,00548
–0,00469
–0,00453
–0,00423
oraz średniej liczby jednostek w kolejce q r, przy
uwzględnieniu tylko warunków rozpoczęcia zmiany
roboczej, zestawiono w tabeli 1. W tabeli tej ujęto
również obliczone zgodnie z relacją 6 odstępstwa
tych wyników od wyliczonych analitycznie, wg relacji
tom. Są to odpowiednio błędy bezwzględne: częstości
przestojów aparatu obsługi Dpor , częstości przestojów
zgłoszeń Dpsr oraz średniej liczby jednostek w kolej­ce Dqr. Zmienność tych błędów przedstawiono na
rysunku 4.
Na skutek pominięcia w modelu tom faktu czekania
samochodów na załadunek w chwili rozpoczęcia
zmiany, mają miejsce rozbieżności wyników względem nmk. Błędy bezwzględne częstości czekania
aparatu obsługi Dpor są ujemne i charakteryzują się
wartościami od –0,0493 do –0,0042, odpowiednio dla
zmian roboczych od 8- do 100-godzinnych.
Błędy bezwzględne częstości czekania zgłoszeń
w kolejce Dpsr są natomiast dodatnie i podobnie,
o tendencji zbieżności do zera, zmniejszają się
od 0,0818 do 0,0062, odpowiednio dla zmian roboczych od 8- do 100-godzin. W tym przypadku kolejka
N czekających zgłoszeń w chwili rozpoczęcia pracy,
wpływa na zwiększenie częstości czekania jednostek.
Stąd wartości błędów są dodatnie.
r
pos
0,549644
0,537204
0,500199
0,488152
0,482664
0,478922
0,477432
0,476327
0,475494
0,474504
0,474053
r
błąd Dps
0,081836
0,069395
0,032391
0,020344
0,014855
0,011114
0,009624
0,008518
0,007686
0,006696
0,006245
Średnia liczba
zgłoszeń w kolejce
qr
1,504883
1,418492
1,212441
1,140736
1,110613
1,088029
1,078177
1,069703
1,062254
1,057906
1,054154
błąd Dqr
0,487643
0,401251
0,195201
0,123496
0,093373
0,070789
0,060937
0,052462
0,045014
0,040666
0,036914
Wartości błędów bezwzględnych średniej liczby zgłoszeń w kolejce Dqr są największe i również dodatnie.
Są skutkiem kolejki złożonej z N czekających zgłoszeń
już w chwili rozpoczęcia pracy. Dla 8-godzinnej zmiany
roboczej błąd jest najwyraźniejszy i wynosi 0,4876. Wraz
ze zwiększaniem czasu trwania zmiany błędy maleją,
przyjmując dla zmiany 100-godzinnej wartość 0,0369.
Poważnym problemem jest fakt, że bardzo znaczące
błędy, o wartościach kilku do kilkudziesięciu procent
występują przy czasach trwania zmian 8 i 10 godzin,
które w wykonawstwie występują najczęściej. Wartości
błędów są oczywiście coraz mniejsze, z tendencją
zbieżności do zera, wraz ze zwiększaniem przedziału
czasu, zgodnie z analizą w punkcie 4.
B. Błędy pominięcia warunków zakończenia
Podobnie jak w punkcie A, ale przy uwzględnieniu tylko warunków zakończenia zmiany roboczej,
w tabeli 2 zestawiono wyniki obliczeń częstości
przestojów aparatu obsługi poz, częstości przestojów
zgłoszeń w kolejce posz oraz średniej liczby jednostek
w kolejce qz, jak również błędy bezwzględne częstości przestojów aparatu obsługi Dpoz , częstości przestojów zgłoszeń Dpsz oraz średniej liczby jednostek
w kolejce Dqz.
Tabela 2. Wartości charakterystyk na podstawie nmk i rozstępy wyników względem modelu tom przy pominięciu warunków
zakończenia zmiany roboczej [opracowanie własne]
Czas trwania
zmiany
roboczej
tzmh
8
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
52
Częstości przestojów
aparatu obsługi
zgłoszeń w kolejce
Średnia liczba
zgłoszeń w kolejce
poz
z
błąd Dpo
z
pos
z
błąd Dps
qz
błąd Dqz
0,305423
0,298546
0,294814
0,292829
0,291638
0,291139
0,290758
0,290427
0,290217
0,290094
0,290017
0,016822
0,009945
0,006213
0,004228
0,003036
0,002538
0,002197
0,001826
0,001616
0,001493
0,001416
0,48913
0,480026
0,475221
0,472531
0,47123
0,470651
0,470344
0,470113
0,469936
0,469868
0,469719
0,021322
0,012217
0,007413
0,004723
0,003422
0,002843
0,002586
0,002255
0,002128
0,002059
0,001911
1,036967
1,01725
1,009672
1,00665
1,006137
1,006121
1,006148
1,006264
1,006448
1,006512
1,006646
0,019727
1,01E-05
–0,00757
–0,01059
–0,0111
–0,01112
–0,01109
–0,01098
–0,01079
–0,01073
–0,01059
PRz eg l Ąd bu d owl any 3/2008
ZARZ ĄDZAN IE – ORGANIZAC J A
0,025
0,02
0,015
Δzps
0,01
Δzpo
0,005
0
-0,005
8
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
τ zm h
Δzq
-0,01
-0,015
Dla czasów od 8 do 100 godzin, wartości błędów bezwzględnych częstości przestoju aparatu obsługi Dpoz są
dodatnie i zmniejszają się odpowiednio od 0,0168 do
0,0014. Jest to wynik równoczesnego oddziaływania
błędów spowodowanych dodatkowymi przestojami t1
i t2 przy zakończeniach zmian. Zmniejszanie się wartości błędów Dpoz jest natomiast skutkiem malejącego
oddziaływania proporcji: stałej wartości dodatkowych
przestojów t1 i t2 do coraz dłuższych zmian roboczych.
Z uwagi na pominięcie warunków zakończenia, błędy
bezwzględne częstości przestojów zgłoszeń Dpsz są
również dodatnie, ale nieco większe. Wynoszą od
0,0213 przy 8-godzinnej zmianie roboczej do 0,0019
przy czasie 100 h.
Natomiast błędy bezwzględne częstości przestojów
zgłoszeń w kolejce Dqz z uwagi na warunki zakończenia, są najpierw dodatnie dla zmian 8- i 10-godzinnych
oraz ujemne dla czasów dłuższych (rys. 5).
C. Błędy pominięcia warunków ograniczonego
czasu trwania zmiany roboczej
Suma odpowiednich błędów z racji pominięcia warunków rozpoczęcia i zakończenia stanowi błąd wypadkowy pominięcia warunków ograniczonego czasu
1,6
q rz
1,4
1,2
q
1
0,8
rz
pos
0,6
0,4
porz
0,2
0
pos
po
8
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
τ zm h
Rys. 6. Wartości charakterystyk na podstawie modelu
tom oraz nmk uwzględniającego rzeczywiste warunki
rozpoczęcia i zakończenia zmiany roboczej, gdzie dla
modeli odpowiednio, numerycznego i analitycznego: porz
i po – częstość i prawdopodobieństwo przestoju aparatu
rz i p
obsługi, pos
os – częstość i prawdopodobieństwo
występowania kolejki zgłoszeń, qrz i q – średnie liczby
jednostek w kolejce, tzm – przedział czasu [opracowanie
własne]
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
Rys. 5. Błędy bezwzględne częstości przestojów aparatu
obsługi Dpoz i zgłoszeń Dpsz oraz średnich liczb jednostek
w kolejce Dqz z racji pominięcia warunków zakończenia
zmiany roboczej (opracowanie własne)
trwania zmiany roboczej. Z uwagi na przeciwne bądź
takie same znaki wartości poszczególnych błędów,
wypadkowa jest różnicą bądź sumą tych wielkości.
Z powodu zaś ponad dwukrotnie większych błędów
rozpoczęcia względem zakończenia, mają one decydujący wpływ wypadkową (tab. 3, rys. 6).
Przy pominięciu warunków początkowych i zakończenia zmiany roboczej, częstości przestojów aparatu
obsługi porz charakteryzują się wartościami mniejszymi od obliczonej powyżej po=0,2886 na podstawie
rz są ujemne.
modelu tom. Stąd błędy bezwzględne Dpo
rz i śred­Natomiast częstości przestojów zgłoszeń pos
rz
niej liczby jednostek w kolejce q są większe od odpowiednich pos=0,4678 i q=1,0172 obliczonych bez
uwzględnienia ograniczonego czasu trwania zmiany.
Zatem błędy mają znak dodatni.
Tabela 3. Wartości charakterystyk na podstawie nmk i rozstępy wyników względem modelu tom przy pominięciu warunków
ograniczonego czasu trwania zmiany roboczej [opracowanie własne]
Czas trwania
zmiany roboczej
tzmh
porz
8
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,2561
0,2617
0,2753
0,2807
0,2832
0,2846
0,2849
0,2849
0,2855
0,2856
0,2858
aparatu obsługi
błędy
rz
Dpo
–0,0324
–0,0269
–0,0133
–0,0079
–0,0055
–0,004
–0,0037
–0,0037
–0,0031
–0,003
–0,0028
Częstości przestojów
rz
dpo
–0,1126
–0,0931
–0,0461
–0,0272
–0,0189
–0,0138
–0,013
–0,0127
–0,0107
–0,0105
–0,0097
PR zeglĄ d bu d ow l an y 3/2008
prz
os
0,571
0,5494
0,5076
0,4929
0,4861
0,4818
0,48
0,4786
0,4776
0,4766
0,476
zgłoszeń w kolejce
błędy
rz
Dps
0,1032
0,0816
0,0398
0,0251
0,0183
0,014
0,0122
0,0108
0,0098
0,0088
0,0082
rz
dps
0,2205
0,1745
0,0851
0,0536
0,0391
0,0298
0,0261
0,0230
0,021
0,0187
0,0174
qrz
1,5246
1,4185
1,2049
1,1301
1,0995
1,0769
1,0671
1,0587
1,0515
1,0472
1,0435
Średnia liczba
zgłoszeń w kolejce
błędy
rz
Dpo
0,5074
0,4012
0,1876
0,1129
0,0823
0,0597
0,0498
0,0415
0,0342
0,0299
0,0263
rz
dpo
0,4988
0,3945
0,1845
0,1110
0,0809
0,0587
0,049
0,0408
0,0336
0,0294
0,0259
53
A R T Y K U ŁY P R OBLE M OWE
ZARZĄDZANIE – ORGANIZAC J A
54
Analizując w tabeli 3 i na rysunku 6 poszczególne
rz i qrz uzyskanych na
wartości charakterystyk porz , pos
podstawie modelu nmk naśladującego warunki wykonawstwa w zakresie ograniczonego czasu pracy oraz
wielkości po , pos oraz q obliczone wg modelu tom,
zauważa się duże różnice między odpowiednimi wynikami, szczególnie przy mniejszych czasach zmian.
Rozstępy te są natomiast mniejsze w przypadku większych przedziałów czasu. W konsekwencji również
błędy względne podobnie jak bezwzględne dla coraz
większych przedziałów czasu, od 8 do 100 godzin
funkcjonowania systemu, charakteryzują wielkości
(bezwzględne) odpowiednio monotonicznie zmniejszające się. Dla tak zmieniających się przedziałów
czasu funkcjonowania systemów, błędy względne
rz są ujemne
częstości przestojów aparatu obsługi δpo
i wynoszą od –11,26% do –0,89%, natomiast dodatnie
są błędy względne częstości przestojów zgłoszeń
rz o wartościach od 22,05% do 1,64%. Błędy zaś
δps
rz wynoszą od
średniej liczby jednostek w kolejce δpo
49,88% do 2,59%.
Należy zauważyć bardzo duże wartości każdego
rodzaju błędów, szczególnie dla 8- i 10-godzinnych
zmian roboczych występujących w wykonawstwie.
Największe błędy względne występują przy średnich
liczbach zgłoszeń czekających w kolejce. Bez mała
połowę obliczonej wartości stanowi błąd wynoszący
j.w. 49,88% przy zmianie 8-godzinnej.
7. Podsumowanie
Przy stosowaniu modelu M/M/1/FIFO/N/F do analizy
pracy systemów obsługi ze zgłoszeniami funkcjonującymi w obiegu zamkniętym, należy zwrócić uwagę na
zgodność założeń teoretycznych i odwzorowywanych
rzeczywistych warunków realizacji. Pominięcie uwarunkowań tylko ograniczonego czasu trwania zmiany
roboczej jest związane z bardzo dużymi błędami
obliczeń. W badanym przykładzie, przy 8-godzinnej
zmianie roboczej, dla prawdopodobieństw przestojów
aparatu obsługi i zgłoszeń błędy względne wynoszą
odpowiednio ponad 10% i 20%, zaś dla średniej liczby
jednostek w kolejce błąd stanowi aż około 50%.
BIBLIOGRAFIA
[1] Baccelli F., Bremaud P., Elements of Queueing Theory, Springer –
Verlag, Berlin Heidelberg New York 2003
[2] Breuer L, Baum D., An Introduction to Queueing Theory: and
Matrix-Analytic Methods, Springer, Dordrecht, The Netherlands 2005
[3] Filipowicz B., Modele sieci kolejkowych, Wydawnictwa AGH,
Kraków 1999
[4] Gross D., Harris C.M., Fundamentals of Queueing Theory, John
Wiley & Sons Inc., New York 1998
[5] Przybylski J., Modelowanie cyklicznych procesów budowlanych
o charakterze losowym na przykładzie masowych robót ziemnych,
Monografia 43, Wyższa Szkoła Inżynierska, Zielona Góra 1998
[6] Więckowski A., Analiza czasu dysponowanego zmiany roboczej,
Przegląd Budowlany, Warszawa 1/2007, s. 20–24
[7] Wolszczan J., Zastosowania teorii masowej obsługi w transporcie
samochodowym, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa 1970
PRz eg l Ąd bu d owl any 3/2008