1. Zasada indukcji matematycznej Zadanie 1.1. Wykazać

1. Zasada indukcji matematycznej
Zadanie 1.1. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej
(1) 133 | 11n+2 + 122n+1 , n ∈ N.
(2) 7 | n7 − n, n ∈ N.
(3) 81 | 10n+1 − 10(n + 1) + n, n ∈ N.
1
1
1
1
1
− 2n
= n+1
+ n+2
+ · · · + 2n
, n ∈ N.
(4) 1 − 12 + 13 − 14 + · · · + 2n−1
1
n
(5) Nierówność Bernoulliego (1 + x) > 1 + nx, 0 6= x > −1, n ∈ N, n > 1.
(6) Jeśli x1 , x2 , . . . , xn > 0, n ∈ N, spełniają warunek x1 x2 · · · xn = 1, to x1 + x2 + · · · + xn > n,
przy
równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2 = · · · = xn = 1.
Pn czym
1
(7)
6
2 − n1 , n ∈ N.
Pnk=1 k2
1
2
(8)
k=1 k(k + 1) = 12 n(n + 1)(n + 2)(3n + 5), n ∈ N.
P
sin(n+ 1 )x
n
(9) 12 + k=1 cos kx = 2 sin 12x , x 6= 2kπ, k ∈ Z, n ∈ N.
2
(10) Wśród obszarów, na jakie dzieli płaszczyznę n prostych jest co najwyżej 12 (n−1)(n−2) obszarów
ograniczonych.
1Jacob Bernoulli (ur. 27 grudnia 1654 w Bazylei, zm 16 sierpnia 1705, tamże) — matematyk i fizyk szwajcarski.
1
2. Rachunek zdań
Zadanie 2.1. Zdefiniować koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji.
Zadanie 2.2. Zdefiniować alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji.
Zadanie 2.3. Udowodnić, że za pomocą funktora | (NOR) można zdefiniować wszystkie funktory jedno
i dwuargumentowe.
Zadanie 2.4. Wykazać, że następujące wyrażenia są tautologiami
(1) ¬p ⇒ (p ⇒ q),
(2) ((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r)),
(3) ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p.
Zadanie 2.5. Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami
(1) ((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q,
(2) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∨ q),
(3) ((p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((r ⇒ p) ⇒ (q ⇒ p)),
(4) ((p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) ∨ (p ⇒ s)) ⇒ (p ⇒ (q ∨ r ∨ s)),
(5) ((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (t ⇒ u)) ⇒ ((p ∧ r ∧ t) ⇒ (q ∧ s ∧ u)).
Zadanie 2.6. Czy prawdziwe są zdania
(1) jeśli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to, o ile a jest jedynką lub liczbą złożoną, a równa
się 4;
(2) jeśli A jest czworokątem i ma wszystkie kąty równe, to z faktu, że A jest czworokątem wynika,
że ma wszystkie boki równe;
(3) jeśli liczba a dzieli się przez 2 i a dzieli się przez 7, to z faktu, iż a nie dzieli się przez 7, wynika,
że a dzieli się przez 3;
(4) jeśli nie jest prawdą, że albo prosta l jest równoległa do prostej m albo prosta p nie jest równoległa
do prostej m, to albo prosta l nie jest równoległa do prostej m, albo prosta p jest równoległa do
prostej m?
Zadanie 2.7. Udowodnić, że jeśli wyrażenie Φ jest tautologią, to wyrażenie
Ψ1 ⇒ (Ψ2 ⇒ · · · ⇒ (Ψn ⇒ Φ) . . . )
także jest tautologią.
2
3. Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory
Zadanie 3.1. Co znaczą poniższe zdania?
(1) ∀x ∈ R ∃n ∈ N x < n,
(2) ¬∃x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y,
(3) ∃x ∈ N ∀y ∈ N x ≤ y,
(4) ∀k ∈ Z ∃l ∈ Z k + l = 0,
(5) ∀x ∈ R (x ≥ 0 ⇒ ∃y ∈ R x = y 2 ),
(6) ∀x, y ∈ R (x < y ⇒ ∃q ∈ Q x < q < y).
Zadanie 3.2. Zapisać negacje poniższych wyrażeń bez użycia symbolu negacji
(1) ∃x ∈ N ∀y ∈ N x ≤ y,
(2) ∀x, y ∈ R (x < y ⇒ ∃q ∈ Q x < q < y),
(3) ∃x ∈ R ∀y ∈ R (x < y ⇒ ∃z ∈ R x = yz),
(4) ∃x ∈ R (x < 3 ∨ ∀y ∈ R (y > x ⇒ y ≥ 3)),
(5) ∀x ∈ R (x 6= 0 ∨ ∃y ∈ R xy 6= x).
Zadanie 3.3. Za pomocą symboli ∈, =, 6=, <, >, +, ·, N, Z, Q, R, kwantyfikatorów oraz funktorów logicznych zapisać funkcje zdaniowe
(1) x jest sumą kwadratów dwu liczb naturalnych,
(2) x nie jest liczbą pierwszą,
(3) x jest największym wspólnym dzielnikiem liczb y i z,
(4) nie istnieje największa liczba pierwsza,
(5) x nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej.
Zadanie 3.4. Podać przykłady formuł zdaniowych Φ(x) i Ψ(x) o zakresie zmiennej x ∈ R pokazujące,
że poniższe formuły zdaniowe nie są tautologiami
(1) ∃x ∈ R (Φ(x) ⇒ Ψ(x)) ⇒ (∃x ∈ R Φ(x) ⇒ ∃x ∈ R Ψ(x)),
(2) (∀x ∈ R Φ(x) ⇒ ∀x ∈ R Ψ(x)) ⇒ ∀x ∈ R (Φ(x) ⇒ Ψ(x)),
(3) (∃x ∈ R Φ(x) ⇒ ∃x ∈ R Ψ(x)) ⇒ ∀x ∈ R (Φ(x) ⇒ Ψ(x)).
Zadanie 3.5. Podać przykłady formuły zdaniowej Φ(x, y) o zakresie zmiennej x, y ∈ R pokazujące, że
poniższe formuły zdaniowe nie są tautologiami
(1) ∃x ∈ R ∃y ∈ R Φ(x, y) ⇒ ∃x ∈ R Φ(x, x),
(2) ∀x ∈ R Φ(x, x) ⇒ ∀x ∈ R ∀y ∈ R Φ(x, y).
Zadanie 3.6. Udowodnić, że następujące formuły zdaniowe są tautologiami
(1) ¬∃x Φ(x) ⇔ ∀x ¬Φ(x),
(2) ¬∀x Φ(x) ⇔ ∃x ¬Φ(x),
(3) ∃x ∀y Φ(x, y) ⇒ ∀y ∃x Φ(x, y),
(4) ∃x (Φ(x) ∨ Ψ(x)) ⇔ (∃x Φ(x) ∨ ∃x Ψ(x)),
(5) ∃x (Φ(x) ∧ Ψ(x)) ⇒ (∃x Φ(x) ∧ ∃x Ψ(x)),
(6) ∀x (Φ(x) ⇒ Ψ(x)) ⇒ (∀x Φ(x) ⇒ ∀x Ψ(x)),
(7) ∀x (Φ(x) ∨ Ψ) ⇒ (∀x Φ(x) ∨ Ψ) (zakładamy, że funkcja zdaniowa Ψ nie zawiera x jako zmiennej
wolnej),
(8) (∃x Φ(x) ⇒ Ψ) ⇒ ∀x (Φ(x) ⇒ Ψ) (zakładamy, że funkcja zdaniowa Ψ nie zawiera x jako
zmiennej wolnej).
Zadanie 3.7. Sprawdzić, czy następujące formuły zdaniowe są tautologiami
(1) ∀y ∃x Φ(x, y) ⇒ ∃x ∀y Φ(x, y),
(2) (∃x Φ(x) ∧ ∃x Ψ(x)) ⇒ ∃x (Φ(x) ∧ Ψ(x)),
(3) (∀x Φ(x) ⇒ ∀x Ψ(x)) ⇒ ∀x (Φ(x) ⇒ Ψ(x)),
(4) ∀x Φ(x) ⇒ ∀y Φ(y),
(5) ∀x (Φ(x) ⇔ ∀x Ψ(x)) ⇒ ∀x (Φ(x) ⇔ Ψ(x)).
3
4. Algebra zbiorów
Zadanie 4.1. Czy istnieją obiekty a, b spełniające warunek a ∈ b ∧ a ⊂ b?
Zadanie 4.2. Czy dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B taki, że A ∈ B i A ⊂ B?
Zadanie 4.3. Podać elementy następujących zbiorów
(1) {a},
(2) {{a}},
(3) ∅,
(4) {∅},
(5) {{{a}}, {a}, a}.
Zadanie 4.4. Zakładając, że małe litery oznaczają różne obiekty nie będące zbiorami obliczyć A ∩ B,
A ∪ B, A \ B i B \ A, jeśli
(1) A = {a, b, c}, B = {c, d},
(2) A = {{a, b}, c}, B = {c, d},
(3) A = {{a, {a}}, a}, B = {a, {a}}.
Zadanie 4.5. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne
(i) A ⊂ B,
(ii) A ∪ B = B,
(iii) A ∩ B = A,
(iv) A \ B = ∅,
(v) A ∪ (B \ A) = B.
Zadanie 4.6. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości
(1) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),
(2) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C),
(3) A ∪ (B \ C) = ((A ∪ B) \ C) ∪ (A ∩ C),
(4) A \ (B \ (C \ D)) = (A \ B) ∪ ((A ∩ C) \ D),
(5) A ÷ (B ÷ C) = (A ÷ B) ÷ C,
(6) A ∩ (B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C).
Zadanie 4.7. Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości
(1) (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = C,
(2) A ∪ B = (A ÷ B) ÷ (A ∩ B)?
Zadanie 4.8. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą implikacje
(1) (A ⊂ B) ⇒ ((B ⊂ C) ⇒ ((C \ A) ∩ (C \ B) = C \ B)),
(2) (C = A ∩ B) ⇔ ((C ⊂ A) ∧ (C ⊂ B) ∧ ((D ⊂ A ∧ D ⊂ B) ⇒ D ⊂ C)),
(3) A ÷ B = C ⇒ A ÷ C = B.
Zadanie 4.9. Znaleźć P(X), jeśli
(1) X = {a, b, c},
(2) X = ∅,
(3) X = {∅},
(4) X = {a, {a}, {{a}}}.
Zadanie 4.10. Wyznaczyć zbiory A × B i B × A, jeśli
(1) A = {0, 1}, B = {1, 2},
(2) A = {1}, B = {1, 2, 3, 4},
(3) A = ∅, B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Zadanie 4.11. Przyjmując, że punkty na płaszczyźnie są uporządkowanymi parami (a, b) liczb rzeczywistych, gdzie a jest odciętą, zaś b jest rzędną punktu, narysować zbiory A × B i B × A, jeśli
(1) A = {x ∈ R : 1 < x < 3}, B = {x ∈ R : 0 < x < 1},
(2) A = {x ∈ R : 1 < x}, B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1},
(3) A = {x ∈ R : 1 > x}, B = {x ∈ R : 0 ≤ x < 0},
(4) A = {x ∈ R : x < −1 ∨ x > 1}, B = {x ∈ R : −2 < x < −1 ∨ 0 < x < 1}.
Zadanie 4.12. Czy jeśli A × B = B × A, to A = B?
4
Zadanie 4.13. Czy (A × B) × C = A × (B × C)?
Zadanie 4.14. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A, A1 , A2 , B, B1 , B2 , C zachodzą równości
(1) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),
(2) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C),
(3) (A1 ∩ B1 ) × (A2 ∩ B2 ) = (A1 × A2 ) ∩ (B1 × B2 ),
(4) (A1 ∪ B1 ) × (A2 ∪ B2 ) = (A1 × A2 ) ∪ (B1 × B2 ).
5
5. Rodziny nieindeksowane
S
T
Zadanie 5.1. Dla X =
6 ∅ znaleźć P(X) i (P(X) \ {∅}).
Zadanie 5.2. Niech R1 , R2 ⊂ P(X) będą dowolnymi rodzinami. Udowodnić, że
S
S
S
(1) (R1 ∩ R2 ) ⊂ R1 ∩ R2 i podać przykład
pokazujący,
S
S że nie
S ma inkluzji przeciwnej,
(2) (∀
A
=
6
B
⇒
A
∩
B
=
∅)
⇒
(R
∩
R
)
=
R
∩
R2 ,
A,B∈R
∪R
1
2
1
1
2
T
T
T
(3) R1 ∩ R2 ⊂ (R1 ∩ R2 ) i podać przykład pokazujący, że nie ma inkluzji przeciwnej.
TS
ST
Zadanie 5.3. Czy dla dowolnej rodziny R zachodzi
R=
R?
Zadanie 5.4. Niepustą rodzinę R ⊂ P(X) nazywamy ciałem, jeśli
(i) A ∈ R ⇒ X \ A ∈ R,
(ii) A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R.
Niech R ⊂ P(X) będzie ciałem. Udowodnić, że
(1) ∅, X ∈ R,
(2) w ostatnim warunku definicji ciała sumę można zastąpić przez iloczyn,
(3) dla dowolnej niepustej rodziny S ⊂ P(X) istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało w P(X)
zawierające S.
Zadanie 5.5. Niepustą rodzinę I ⊂ P(X) nazywamy ideałem, jeśli
(i) A ⊂ B, B ∈ I ⇒ A ∈ I,
(ii) A, B ∈ I ⇒ A ∪ B ∈ I.
Ideał I nazywamy właściwym, jeśli X ∈
/ I. Ideał I nazywamy maksymalnym, jeśli jest on właściwy oraz
dla dowolnego ideału właściwego J zachodzi implikacja
I ⊂ J ⇒ I = J.
Wykazać, że ideał właściwy I jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru A ⊂ X
mamy A ∈ I lub X \ A ∈ I.
Zadanie 5.6. Niech I ⊂ P(X) będzie dowolnym ideałem. Mówimy, że A ∼ B mod I (zbiory A i B
przystają modulo ideał I), jeśli A ÷ B ∈ I.
Wykazać, że
(1) A ∼ B mod I wtedy i tylko wtedy, gdy A \ B ∈ I i B \ A ∈ I,
(2) jeśli A1 ∼ B1 mod I i A2 ∼ B2 mod I, to (A1 ∪ A2 ) ∼ (B1 ∪ B2 ) mod I,
(3) A ∼ B mod I wtedy i tylko wtedy, gdy A = (B \ P ) ∪ Q dla pewnych P, Q ∈ I,
Zadanie 5.7. Niech X będzie dowolnym zbiorem i niech +, · będą działaniami określonymi na X
spełniającymi dla dowolnych elementów x, y, z ∈ X warunki
(i) x + y = y + x,
(ii) x + (y + z) = (x + y) + z,
(iii) istnieje element 0 ∈ X taki, że x + 0 = x,
(iv) dla dowolnego elementu x ∈ X istnieje element −x ∈ X taki, że x + (−x) = 0,
(v) x · y = y · x,
(vi) x · (y · z) = (x · y) · z,
(vii) x · (y + z) = x · y + x · z.
Trójkę (X, +, ·) nazywamy pierścieniem przemiennym.
Udowodnić, że (P(X), ÷, ∩) jest pierścieniem przemiennym, zaś (P(X), ∪, ∩) nie jest pierścieniem.
Zadanie 5.8. Niech X będzie ustaloną przestrzenią. W P(X) określamy operację domknięcia A zbioru
A ⊂ X następująco
(i) ∀A,B⊂X A ∪ B = A ∪ B,
(ii) ∀A⊂X A = A,
(iii) ∀A⊂X A ⊂ A,
(iv) ∅ = ∅.
Zbiór A nazywamy domknięciem zbioru A ⊂ X. Zbiór int A := X \ X \ A nazywamy wnętrzem, zaś
fr A := A \ int A — brzegiem zbioru A ⊂ X.
Udowodnić, że
(1) A \ B = A \ B \ B,
6
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(A = A ∧ B = B) ⇒ A ∩ B = A ∩ B,
int(int A) = int A,
int(A ∩ B) = int A ∩ int B,
fr A ∪ A = A,
fr(int A) ⊂ fr A.
7
6. Relacje
Zadanie 6.1. Niech S(X) oznacza rodzinę niepustych relacji symetrycznych w X, A(X) — rodzinę
niepustych
asymetrycznych w X, zaś T (X) — rodzinę niepustych relacji przechodnich w X.
S relacji
T
Znaleźć i dla każdej z tych rodzin.
Zadanie 6.2. Niech R ⊂ X 2 będzie relacją. Udowodnić, że
(1) R ⊂ R−1 ⇐⇒ R = R−1 .
Zadanie 6.3. Niech R, S ⊂ X × Y będą relacjami. Udowodnić, że
(1) (R ∪ S)−1 = R−1 ∪ S −1 ,
(2) (R ∩ S)−1 = R−1 ∩ S −1 .
Zadanie 6.4. Niech R ⊂ X × Y , S ⊂ Y × Z będą relacjami. Udowodnić, że
(1) (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 .
Zadanie 6.5. Czy relacja
(1) R ⊂ N2 , xRy ⇐⇒ x | y ∧ x 6= y,
(2) R ⊂ C2 , zRw ⇐⇒ ∃n,m∈N z − w = n + im,
(3) R ⊂ (P(N))2 , ARB ⇐⇒ A ÷ B jest zbiorem skończonym,
(4) R ⊂ (P(N))2 , ARB ⇐⇒ A ∩ 2N = B ∩ 2N,
(5) R = X 2 ,
(6) R ⊂ R2 , xRy ⇐⇒ x2 = y 2 ,
(7) R ⊂ R2 , xRy ⇐⇒ x2 6= y 2 ,
(8) R ⊂ C2 , xRy ⇐⇒ |x| < |y|,
(9) R ⊂ Z2 , xRy ⇐⇒ xy = 4
jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, słabo antysymetryczna, asymetryczna, przechodnia, spójna?
Zadanie 6.6. Czy suma i iloczyn mnogościowy zachowują własności relacji wymienione w Zadaniu 6.5?
8
7. Funkcje
Zadanie 7.1. Czy relacje
(1) R ⊂ R2 , xRy ⇐⇒ x2 = y 2 ,
(2) R ⊂ R2 , xRy ⇐⇒ x3 = y 2 ,
(3) R ⊂ R × R+ , xRy ⇐⇒ x2 = y 2 ,
(4) R ⊂ C2 , xRy ⇐⇒ Im x = Re y
są funkcjami?
Zadanie 7.2. Niech X 6= ∅ 6= Y będą dowolnymi zbiorami. Znaleźć
S
YX i
T
Y X.
f
Zadanie 7.3. Niech R 3 x 7−→ bxc + 1 ∈ Z. Czy f jest iniekcją, surjekcją? Znaleźć
(1) f (R+ ),
(2) f −1 (Z \ N),
(3) f −1 (0).
f
Zadanie 7.4. Niech N2 3 (m, n) 7−→ mn ∈ N. Czy f jest iniekcją, surjekcją? Znaleźć
(1) f (N × {2}),
(2) f −1 (0),
(3) f −1 ({2n : n ∈ N}).
f
Zadanie 7.5. Niech R[z] 3 w 7−→ w(i) ∈ C. Czy f jest iniekcją, surjekcją? Znaleźć
(1) f −1 (0),
(2) f −1 (R),
(3) f −1 (f (R[z])).
fZ
Zadanie 7.6. Dla Z ⊂ X niech P(X) 3 A 7−→ A ∩ Z ∈ P(X). Dla jakiego zbioru Z funkcja fZ jest
iniekcją, surjekcją? Znaleźć fZ−1 (P(B)) dla B ⊂ X.
Zadanie 7.7. Niech f : X −→ Y . Dowieść, że następujące warunki są równoważne
(i) f jest injekcją,
(ii) ∃g:Y −→X g ◦ f = idX ,
(iii) ∀W zbioru ∀h1 :W −→X, h2 :W −→X f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2 .
Zadanie 7.8. Niech f : X −→ Y . Dowieść, że następujące warunki są równoważne
(i) f jest surjekcją,
(ii) ∃g:Y −→X f ◦ g = idY ,
(iii) ∀Z zbioru ∀h1 :Y −→Z, h2 :Y −→Z h1 ◦ f = h2 ◦ f ⇒ h1 = h2 .
Zadanie 7.9. Niech f : X −→ Y , A, B ⊂ X. Dowieść, że
(1) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
(2) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
(3) f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B),
(4) A ⊂ f −1 (f (A)).
Pokazać na przykładach, że powyższe inkluzje nie są równościami.
Zadanie 7.10. Niech f : X −→ Y . Dowieść, że następujące warunki są równoważne
(i) f jest injekcją,
(ii) ∀A⊂X A = f −1 (f (A)).
Zadanie 7.11. Niech f : X −→ Y , A, B ⊂ Y . Dowieść, że
(1) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),
(2) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B),
(3) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B),
(4) f (f −1 (A)) ⊂ A.
Pokazać na przykładzie, że powyższa inkluzja nie jest równością.
Zadanie 7.12. Niech f : X −→ Y . Dowieść, że następujące warunki są równoważne
(i) f jest surjekcją,
(ii) ∀A⊂Y A = f (f −1 (A)).
9
Zadanie 7.13. Niech f : X −→ Y , A ⊂ X, B ⊂ Y . Dowieść, że
(1) f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B,
(2) A ∩ f −1 (B) ⊂ f −1 (f (A) ∩ B).
Pokazać na przykładzie, że powyższa inkluzja nie jest równością.
P(f )
Zadanie 7.14. Niech f : X −→ Y oraz niech P(X) 3 A 7−→ f (A) ∈ P(Y ). Dowieść, że
(1) f jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy P(f ) jest surjekcją,
(2) f jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy P(f ) jest iniekcją.
P ∗ (f )
Niech P(Y ) 3 B 7−→ f −1 (B) ∈ P(X). Dowieść, że
(3) f jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy P ∗ (f ) jest iniekcją,
(4) f jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy P ∗ (f ) jest surjekcją.
Zadanie 7.15. Dla dowolnych niepustych zbiorów X, Y , Z i f : X −→ Y niech
φZ,f
Z Y 3 h 7−→ h ◦ f ∈ Z X .
Dowieść, że
(1) jeśli g ∈ T Y , to φZ,g◦f = φZ,f ◦ φZ,g ,
(2) jeśli f jest iniekcją, to φZ,f jest surjekcją,
(3) jeśli f jest surjekcją, to φZ,f jest iniekcją.
Zadanie 7.16. Dla dowolnych zbiorów X, T i fj : T −→ P(X), j = 1, 2, niech
g
T 3 t 7−→ f1 (t) ∪ f2 (t) ∈ P(X).
Dowieść, że dla dowolnego zbioru A ⊂ X
g −1 (P(A)) = f1−1 (P(A)) ∩ f2−1 (P(A)).
Zadanie 7.17. Skonstruować bijekcje
(1) P(X) −→ {0, 1}X ,
(2) X T ∪S −→ X T × X S , o ile T ∩ S = ∅,
(3) (X × Y )T −→ X T × Y T ,
(4) (X Y )Z −→ X Y ×Z .
Zadanie 7.18. Udowodnić, że dla skończonego zbioru X funkcja
d
P(X) × P(X) 3 (A, B) 7−→ #(A ÷ B) ∈ [0, +∞),
gdzie #A oznacza liczbę elementów zbioru A, jest metryką.
10
8. Elementy kombinatoryki
Zadanie 8.1. Permutacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru nazywamy każde ustawienie elementów
tego zbioru w ciąg długości n. Wykazać, że jeśli Pn oznacza liczbę permutacji bez powtórzeń zbioru
n-elementowego, to
Pn = n!.
Zadanie 8.2. Permutacją z powtórzeniami zbioru złożonego z n1 elementów a1 , n2 elementów a2 , . . . , nk
elementów ak nazywamy każde ustawienie elementów tego zbioru w ciąg długości n1 + n2 + · · · + nk .
Wykazać, że jeśli P n1 ,n2 ,...,nk oznacza liczbę permutacji z powtórzeniami zbioru jak w powyższej definicji,
to
(n1 + n2 + · · · + nk )!
P n1 ,n2 ,...,nk =
.
n1 !n2 ! . . . nk !
Zadanie 8.3. Wariacją bez powtórzeń długości k zbioru złożonego z n elementów nazywamy każdy ciąg
długości k, który składa się z elementów tego zbioru, przy czym jeden element może występować w nim
co najwyżej jednokrotnie. Wykazać, że jeśli Vnk oznacza liczbę wariacji bez powtórzeń długości k zbioru
n-elementowego, to
n!
.
Vnk =
(n − k)!
Zadanie 8.4. Wariacją z powtórzeniami długości k zbioru złożonego z n elementów nazywamy każdy
ciąg długości k, który składa się z elementów tego zbioru, przy czym jeden element może występować
k
w nim wielokrotnie. Wykazać, że jeśli V n oznacza liczbę wariacji z powtórzeniami długosci k zbioru
n-elementowego, to
k
V n = nk .
Zadanie 8.5. Kombinacją bez powtórzeń długości k zbioru złożonego z n elementów nazywamy każdy kelementowy podzbiór tego zbioru. Wykazać, że jeśli Cnk oznacza liczbę kombinacji bez powtórzeń długości
k zbioru n-elementowego, to
n
Cnk =
.
k
Zadanie 8.6. Kombinacją z powtórzeniami długości k zbioru złożonego z n elementów nazywamy każdy
wybór k elementów z tego zbioru, przy czym jeden element tego zbioru może występować w wyborze
k
wielokrotnie. Wykazać, że jeśli C n oznacza liczbę kombinacji z powtórzeniami długości k zbioru nelementowego, to
n+k−1
k
Cn =
.
k
Zadanie 8.7. Niech |A| oznacza liczbę elementów skończonego zbioru A. Wykazać, że jeśli zbiory
A1 , A2 , . . . , An , są skończone, to
X
X
X
|A1 ∪ · · · ∪ An | =
|Ai | −
|Ai ∩ Aj | +
|Ai ∩ Aj ∩ Ak | + · · · + (−1)n |A1 ∩ · · · ∩ An |.
1≤i≤n
1≤i<j≤n
1≤i<j<k≤n
Zadanie 8.8. Ile jest liczb naturalnych, w których zapisie żadna cyfra nie powtarza się?
Zadanie 8.9. Ile jest liczb naturalnych co najwyżej pięciocyfrowych o sumie cyfr 12?
Zadanie 8.10. Na ile sposobów można usadzić n osób przy okrągłym stole z n miejscami, jeśli miejsca
przy stole nie są rozróżnialne?
Zadanie 8.11. Król szachowy chce przejść z pola a1 na pole h8 poruszając sie tylko w górę lub w prawo.
Na ile sposobów może on to zrobić?
Zadanie 8.12. Dane są cztery pary małżeńskie. Na ile sposobów można te osoby
(a) ustawić w rzędzie tak, aby żadna para nie stała obok siebie,
(b) usadzić przy ośmioosobowym okrągłym stole tak, aby żadna para nie siedziała obok siebie,
(c) ustawić w rzędzie tak, aby żadna para nie stała obok siebie i aby osoby tej samej płci nie stały obok
siebie?
Zadanie 8.13. Dziecko rzuca monetą do momentu wypadnięcia dwóch orłów, ale nie więcej, niż dziesięć
razy. Na ile sposobów może skończyć się ta zabawa?
11
Zadanie 8.14. Na ile sposobów można wydać n złotych za pomocą monet 1, 2 i 5-złotowych?
Zadanie 8.15. Który z pokerowych układów (para, dwie pary, trójka, strit, kolor, ful, kareta, poker)
można ułożyć z talii 52 kart na najwięcej sposobów?
Zadanie 8.16. Na ile sposobów można podzielić zbiór n-elementowy na
(a) 2 niepuste rozłączne podzbiory,
(b) k niepustych rozłącznych podzbiorów?
Zadanie 8.17. Wyznaczyć liczbę funkcji f : {1, . . . , k} −→ {1, . . . , n}, które są
(a) funkcjami,
(b) injekcjami,
(c) surjekcjami,
(d) bijekcjami,
(e) silnie rosnące,
(f) rosnące,
(g) takie, że f (x) | x,
(h) takie, że x | f (x).
Zadanie 8.18. Na ile sposobów można wybrać k liczb ze zbioru {1, . . . , n} tak, aby nie wybrać dwóch
sąsiednich liczb?
Zadanie 8.19. Wśród 56 studentów 30 uczy się, a 29 ma szczęście. Ci, którzy nie uczą się i nie mają
szczęścia, modlą się. Dziesięcioro uczy się i modli, a co trzeci uczący się i mający szczęście również się
modli. Z całej tej grupy 44 studentów ma szczęście lub się modli. Obliczyć, ilu studentów jedynie sie
modli.
Zadanie 8.20. Siedem robotów ma do wykonania siedem zadań. Pierwszy nie może wykonywać zadań
2 i 3. Drugi nie może wykonywać zadań 1 i 5. Czwarty nie może wykonywać zadania 4. Piąty nie może
wykonywać zadań 2 i 7. Pozostałe roboty mogą wykonywać każde zadanie. Na ile sposobów można
rozdzielić między nie zadania tak, aby każdy otrzymał dokładnie jedno?
Zadanie 8.21. Roztargniony solenizant wysyła imienne zaproszenia na swoje imieniny do n gości. Na ile
sposobów może on wysłać zaproszenia tak, aby nikt z zaproszonych nie otrzymał swojego zaproszenia?
Zadanie 8.22. W karawanie wędruje 9 wielbłądów w określonym porządku. Na ile sposobów można je
ustawić tak, aby żaden wielbłąd nie miał bezpośrednio przed sobą swojego poprzednika?
12
9. Rodziny indeksowane
Zadanie 9.1. Wyznaczyć
[
\
At ,
t∈T
At ,
t∈T
jeśli
(1)
(2)
(3)
(4)
At
At
At
At
:= {x ∈ R : −t 6 x 6 t}, T = N,
:= {x ∈ R : sin x = t}, T = N,
:= {x ∈ R : sin x = t}, T = R,
:= {(x, y) ∈ R2 : x = ty 2 }, T = R.
Zadanie 9.2. Wyznaczyć
[ [
\ \
An,m ,
n∈N m∈N
[ \
An,m ,
n∈N m∈N
An,m ,
n∈N m∈N
\ [
An,m
n∈N m∈N
jeśli
(1) An,m := {x ∈ R : n2 6 x 6 m2 },
(2) An,m := {x ∈ R : n 6 x 6 m},
(3) An,m := {x ∈ R : n2 6 x < m2 + (n + 1)2 }.
Zadanie 9.3. Niech Aq := {x ∈ R : x2 < q}, Bq := {x ∈ R : q < x3 }. Wyznaczyć
[
(Aq ∩ Bq ).
q∈Q
Zadanie 9.4. Zweryfikować inkluzje
[
[
[
(a)
(As ∩ Bs ) ⊂
As ∩
Bs ,
(c)
s∈S
s∈S
\
\
(As ∪ Bs ) ⊂
s∈S
(e)
\
s∈S
s∈S
\
s∈S
Bs ⊂
\
As ∪
s∈S
As ∪
[
(b)
s∈S
Bs ,
\
(d)
s∈S
\ \
(As ∩ Bs ) ⊃
(As ∪ Bs ) ⊃
\
(f)
s∈S t∈S
\
s∈S
\
Bs ⊃
s∈S
Bs ,
s∈S
\
As ∪
s∈S
As ∪
[
As ∩
s∈S
s∈S
(As ∪ Bt ),
[
Bs ,
s∈S
\ \
(As ∪ Bt ).
s∈S t∈S
Zadanie 9.5. Rodzinę zbiorów (An )n∈N nazywamy wstępującą, jeśli An ⊂ An+1 , n ∈ N.
Niech (An )n∈N będzie wstępującą rodziną zbiorów i niech
B1 := A1 ,
Bn+1 := An+1 \ An ,
n ∈ N.
Wykazać, że rodzina (Bn )n∈N jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, że
An = B1 ∪ · · · ∪ Bn ,
n ∈ N,
oraz że
[
An =
n∈N
[
Bn .
n∈N
Zadanie 9.6. Dla dowolnej rodziny zbiorów (An )n∈N niech
Cn+1 := An+1 \ (A1 ∪ · · · ∪ An ),
C1 := A1 ,
n ∈ N.
Wykazać, że rodzina (Cn )n∈N jest rodziną zbiorów parami rozłącznych oraz że
[
[
An =
Cn .
n∈N
n∈N
Zadanie 9.7. Rodzinę zbiorów (An )n∈N nazywamy zstępującą, jeśli An+1 ⊂ An , n ∈ N.
Niech (An )n∈N oraz (Bn )n∈N będą zstępującymi rodzinami zbiorów. Wykazać, że
\
\
\
(An ∪ Bn ) =
An ∪
Bn .
n∈N
n∈N
n∈N
Zadanie 9.8. Niech (Fn )n∈N będzie taką rodziną zbiorów, że Fn ⊂ F1 , n ∈ N. Udowodnić, że
[
\
F1 =
(Fn \ Fn+1 ) ∪
Fn .
n∈N
n∈N
13
Zadanie 9.9. Niech (Fn )n∈N będzie zstępującą rodziną zbiorów. Wykazać, że
[
\
[
(F2n \ F2n+1 ) ∪
Fn = F1 \
(F2n−1 \ F2n ).
n∈N
n∈N
n∈N
Zadanie 9.10. Niech (As,t )s∈S,t∈T będzie dowolną rodziną. Wykazać, że
[ \
\ [
(9.1)
As,t ⊂
As,t .
s∈S t∈T
t∈T s∈S
Ponadto dowieść, że jeśli
∀s1 ,s2 ∈S,
s1 6=s2
∀t1 ,t2 ∈T,
t1 6=t2
to w (9.1) zachodzi równość.
14
As1 ,t1 ∩ As2 ,t2 = ∅,
10. Relacje równoważności
Zadanie 10.1. Udowodnić, że poniższe relacje są równoważnościami oraz podać ich klasy abstrakcji
(1) R ⊂ (N2 )2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇐⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ,
(2) RZ ⊂ (P(X))2 , Z ⊂ X, ARZ B ⇐⇒ A ∩ Z = B ∩ Z.
Zadanie 10.2. Sprawdzić, czy poniższe relacje są równoważnościami oraz ewentualnie podać ich klasy
abstrakcji
(1) R ⊂ C2 , zRw ⇐⇒ Re z = Re w,
(2) R ⊂ R2 , xRy ⇐⇒ ∃a∈R (x + iy)2 = ia.
Zadanie 10.3. Niech R1 , R2 ⊂ X 2 będą dwoma relacjami równoważności. Udowodnić, że
(1) R1 ⊂ R2 ⇐⇒ ∀x∈X [x]R1 ⊂ [x]R2 .
Zadanie 10.4. Niech R ⊂ P(X) będzie taką rodziną, że
• ∅
S 6∈ R,
• R = X,
• A, B ∈ R, A 6= B ⇒ A ∩ B = ∅.
Udowodnić, że istnieje relacja równoważności R ⊂ X 2 taka, że R = X/R.
Zadanie 10.5. Dla relacji równoważności Rj ⊂ Xj2 , j = 1, 2, określamy relację S ⊂ (X1 × X2 )2 wzorem
(x1 , x2 )S(y1 , y2 ) ⇐⇒ x1 R1 y1 ∧ x2 R2 y2 .
Czy S jest równoważnością? Jeśli tak, wyznaczyć jej klasy abstrakcji.
S
T
Zadanie 10.6. Niech R będzie rodziną relacji równoważności. Czy R i R są relacjami równoważności?
Zadanie 10.7. Dzielimy płaszczyznę R2 na pięć zbiorów odpowiadających czterem otwartym ćwiartkom
oraz sumie mnogościowej obu osi. Znaleźć relację równoważności, której klasami równoważności są te
zbiory.
Zadanie 10.8. Niech Rj ⊂ Xj2 będzie relacją równoważności i niech pj : Xj −→ Xj /Rj będzie projekcją
kanoniczną, j = 1, 2. Niech f : X1 −→ X2 będzie odwzorowaniem takim, że
xR1 y ⇒ f (x)R2 f (y).
Udowodnić, że istnieje odwzorowanie F : X1 /R1 −→ X2 /R2 takie, że p2 ◦ f = F ◦ p1 . Ponadto dowieść,
że jeśli f jest surjekcją, to F także jest surjekcją.
15
11. Relacje porządkujące
Zadanie 11.1. W każdym z poniższych przykładów narysować diagram Hassego danego zbioru częściowo uporządkowanego X. Wskazać elementy minimalne i maksymalne, a także element największy i
najmniejszy, o ile istnieją.
(1) X = {2, 3, 4, 6, 12} z relacją podzielności,
(2) X = {2, 3, 6, 12, 18} z relacją podzielności,
(3) X = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} z relacją inkluzji,
(4) X = P({1, 2, 3}) z relacją inkluzji.
Zadanie 11.2. Niech R ⊂ N2 , xRy ⇔ x | y. Wykazać, że
(1) (N, R) jest zbiorem częściowo uporządkowanym, wskazać elementy najmniejsze, największe oraz
łańcuchy;
(2) zbiór Y łańcuchów w (N, R) z relacją inkluzji jest zbiorem częściowo uporządkowanym oraz
wskazać łańcuchy minimalne i maksymalne w (Y, ⊂).
Zadanie 11.3. Niech X jest zbiorem co najmniej dwuelementowym, U := P(X) \ {∅, X}.
(1) Czy w (U, ⊂) istnieje element najmniejszy?
(2) Czy w (U, ⊂) istnieje element największy?
(3) Podać postać elementów minimalnych i maksymalnych w (U, ⊂).
(4) Ile jest w (U, ⊂) elementów minimalnych i maksymalnych?
Zadanie 11.4. Czy dla X 6= ∅ można określić relację R ⊂ X 2 tak, aby R była częściowym porządkiem
oraz równoważnością?
Zadanie 11.5. Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego z dokładnie jednym elementem maksymalnym ale bez elementu największego.
Zadanie 11.6. Niech (X, R) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Podzbiór zbioru X nazywamy
antyłańcuchem, jeśli każde dwa jego elementy są nieporównywalne względem relacji R.
Niech (X, R) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Dowieść, że R jest porządkiem liniowym
wtedy i tylko wtedy, gdy każdy antyłańcuch jest jednoelementowy.
Zadanie 11.7. Niech (X, S) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym oraz niech T 6= ∅. Na X T
określamy relację R
f Rg ⇔ ∀t∈T f (t)Sg(t).
Dowieść, że
(1) (X T , R) jest zbiorem częściowo uporządkowanym,
(2) w (X T , R) istnieją elementy maksymalne (odp. minimalne) wtedy i tylko wtedy, gdy w (X, S)
istnieją elementy maksymalne (odp. minimalne),
(3) w (X T , R) istnieją elementy największe (odp. najmniejsze) wtedy i tylko wtedy, gdy w (X, S)
istnieją elementy największe (odp. najmniejsze).
Zadanie 11.8. Niech F := {0, 1}{1,2,3} . Określmy relację R ⊂ F 2
f Rg ⇔ f (j)g(j) = f (j), j ∈ {1, 2, 3}.
Dowieść, że R jest częściowym porządkiem na F . Znaleźć elementy maksymalne i minimalne.
Zadanie 11.9. Określmy relację R ⊂ (RN )2
(an )n∈N R(bn )n∈N ⇔ ∃k∈N ∀n>k an 6 bn .
Czy R jest częściowym porządkiem?
Zadanie 11.10. Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego zawierającego
(1) k + 1 elementów, w tym k maksymalnych i 1 minimalny,
(2) k elementów, jednocześnie maksymalnych i minimalnych,
(3) k elementów maksymalnych i nieskończenie wiele elementów minimalnych,
(4) 1 element minimalny, a pozostałe (nieskończenie wiele) maksymalne.
Zadanie 11.11. Niech R ⊂ P(X 2 ) będzie zbiorem relacji równoważności, zaś CP — zbiorem częściowych
porządków. Czy w (R, ⊂) oraz w (CP, ⊂) istnieją elementy największe i najmniejsze?
Zadanie 11.12. Niech R ⊂ X 2 będzie relacją częściowego porządku. Czy istnieje S ⊂ X 2 relacja
liniowego porządku taka, że R ⊂ S?
16
12. Teoria mocy
Zadanie 12.1. Wykazać, że następujące zbiory są co najwyżej przeliczalne i wskazać te spośród nich,
które są przeliczalne.
(1) {x ∈ N : k | n}, gdzie k jest ustaloną liczbą naturalną większą od 1,
(2) {x ∈ R : ∃ y ∈ N x = ln y},
(3) {x ∈ R : ∃ y ∈ N x = sin y},
(4) {x ∈ R : ∃ y ∈ N y = sin x}.
Zadanie 12.2. Wykazać, że suma mnogościowa oraz iloczyn kartezjański dwóch zbiorów co najwyżej
przeliczalnych są co najwyżej przeliczalne.
Zadanie 12.3. Wykazać, że dowolna rodzina przedziałów parami rozłącznych jest co najwyżej przeliczalna.
Zadanie 12.4. Wykazać, że dowolna rodzina przedziałów o końcach wymiernych jest co najwyżej przeliczalna.
Zadanie 12.5. Wykazać, że zbiór maksimów właściwych funkcji f : R −→ R jest co najwyżej przeliczalny.
Zadanie 12.6. Wykazać, że zbiór punktów nieciągłości funkcji monotonicznej f : R −→ R jest co
najwyżej przeliczalny.
Zadanie 12.7. Skonstruować bijekcje
(a) [0, 1] −→ (0, 1),
(b) (0, 1) −→ R,
Zadanie 12.8. Wykazać, że R ∼ R2 .
Zadanie 12.9. Wykazać, że
(1) jeśli A1 ∼ A2 , B1 ∼ B2 , to (A1 × B1 ) ∼ (A2 × B2 ),
(2) jeśli A ∼ B, to P(A) ∼ P(B),
(3) jeśli A ∩ B = ∅, to X A∪B ∼ (X A × X B ),
(4) jeśli A ∼ B ∼ R, to (A × B) ∼ R.
Zadanie 12.10. Wykazać, że
(1) P(N) ∼ NN ∼ R ∼ RN ,
(2) P(R) ∼ NR ∼ RR .
17
(c) [0, ∞) −→ R.