Topologia ogólna MAP1219 Lista 7

Topologia ogólna MAP1219
Lista 7
Spójność
1. Udowodnić równoważność warunków:
(a) X jest spójna,
(b) jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X są X i ∅,
(c) żadna funkcja ciągłą f : X → {0, 1} (z topologią dyskretną) nie jest surjekcją.
2. Udowodnić, że jeśli A jest rodziną zbiorów spójnych, taką że każde dwa elementy
mają niepusty przekrój, to suma wszystkich elementów A jest spójna.
3. Niech B będzie przeliczalnym podzbiorem przestrzeni Rn , gdzie n > 1. Udowodnić,
że wtedy Rn \ B jest zbiorem spójnym.
Wskazówka: wykorzystać łukową spójność lub fakt, że suma zbiorów spójnych, mających w przekroju wspólny punkt, jest zbiorem spójnym.
4. Wywnioskować z poprzedniego zadania, że przestrzeń R nie może być homeomorficzna
z Rn dla n > 1.
5. Wykorzystując pojęcie spójności udowodnić, że odcinki [0, 1], [0, 1), (0, 1) nie są homeomorficzne.
Zwartość
6. Niech s i s0 będą dwoma ciągami. Udowodnić, że s0 jest podciągiem s wtedy i tylko
wtedy, gdy jest jego podnetem.
7. Niech s będzie ciągiem. Czy można skonstruować podnet s, który nie jest jego podciągiem?
8. Jakie podzbiory są zwarte w przestrzeni dyskretnej?
9. Udowodnić, że w przestrzeni zwartej każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych ma
niepusty przekrój. Dowód przeprowadzić dwoma sposobami: z wykorzystaniem netów
i bez.
10. Udowodnić, że przestrzeń l2 złożona z wszystkich ciągów rzeczywistych (xn ), dla któP
2
rych ∞
n=1 xn < ∞, nie jest przestrzenią zwartą.