Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 3

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 3
Jedna z metod dowodzenia praw rachunku kwantykatorów oparta jest o
klasykacj¦ form zdanio-
wych:
φ jest klasy T (od sªowa true),
zmiennej x zdanie φ(x) jest zdaniem prawdziwym.
je±li
dla wszystkich warto±ci z zakresu
φ jest klasy F (od sªowa false),
zmiennej x zdanie φ(x) jest zdaniem faªszywym.
je±li
dla wszystkich warto±ci z zakresu
1. Mówimy, »e forma
2. Mówimy, »e forma
φ jest klasy U (od sªowa undetermined), je±li istniej¡ takie warto±ci
z zakresu zmiennej x, dla których zdanie φ(x) jest zdaniem prawdziwym oraz istniej¡ takie
warto±ci z zakresu zmiennej x, dla których zdanie φ(x) jest zdaniem faªszywym.
3. Mówimy, »e forma
Je±li zakresem zmiennej
x
x2
formy klasy F jest forma
+ 1 > 0, przykªadem
forma x > 0.
jest zbiór liczb rzeczywistych, to przykªadem formy klasy T jest forma
x + 1 = x,
za± przykªadem formy klasy U jest
U»ywaj¡c zapisu kwantykatorowego, powy»sz¡ klasykacje mo»emy zapisa¢ w postaci
φ∈T
⇔
(∀ x φ(x)) = 1,
φ∈F
⇔
(∃ x φ(x)) = 0,
φ∈U
⇔
(∃ x φ(x)) = 1 ∧ (∃ x ∼ φ(x)) = 1.
Znaj¡c klasy form atomowych
φ i ψ mo»emy okre±li¢ (nie zawsze jednoznacznie!) klasy zbudowanych
z nich wyra»e«. Na przykªad
∼φ φ∧ψ φ∨ψ φ⇒ψ
φ⇔ψ
φ
ψ
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
U
F
U
T
U
U
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
U
T
F
U
T
U
U
T
U
U
T
T
U
U
F
U
F
U
U
U
U
U
U
F, U
T, U
T, U
T, F, U
1
Tabelka poni»ej zawiera korzystaj¡cy z metody klasykacji form zadaniowych dowód uogólnionych praw de Morgana
φ
∼φ
∀x φ(x)
∃x φ(x)
∼ ∀x φ(x)
∼ ∃x φ(x)
∀x ∼ φ(x)
∃x ∼ φ(x)
T
F
1
1
0
0
0
0
F
T
0
0
1
1
1
1
U
U
0
1
1
0
0
1
Zdanie w nagªówku kolumny pi¡tej równowa»ne jest zadaniu w nagªówku kolumny ósmej; zdanie w
nagªówku kolumny szóstej równowa»ne jest zadaniu w nagªówku kolumny siódmej.
Niech
x0
b¦dzie warto±ci¡ z zakresu zmiennej
x.
Formuªy
φ(x0 ) ⇒ ∃ x φ(x),
∀ x φ(x) ⇒ φ(x0 )
(∗)
s¡ prawami rachunku kwantykatorów. Po»ytecznym ¢wiczeniem jest próba udowodnienia ich metod¡ klasykacji form, my jednak przyjmiemy te prawa jako fragment denicji kwantykatorów
i
∃
∀.
Wa»n¡ klas¡ praw rachunku kwantykatorów s¡
prawa rozkªadu kwantykatora. Maj¡ one posta¢:
1.
∀x (φ(x) ⇒ ψ(x)) ⇒ (∀x φ(x) ⇒ ∀x ψ(x))
2.
∀x (φ(x) ⇒ ψ(x)) ⇒ (∃x φ(x) ⇒ ∃x ψ(x))
3.
∀x (φ(x) ⇔ ψ(x)) ⇒ (∀x φ(x) ⇔ ∀x ψ(x))
4.
∀x (φ(x) ⇔ ψ(x)) ⇒ (∃x φ(x) ⇔ ∃x ψ(x))
5.
(∀x φ(x) ∨ ∀x ψ(x)) ⇒ ∀x (φ(x) ∨ ψ(x))
6.
∀x (φ(x) ∧ ψ(x)) ⇔ (∀x φ(x) ∧ ∀x ψ(x))
7.
∃x (φ(x) ∨ ψ(x)) ⇔ ∃x φ(x) ∨ ∃x ψ(x)
8.
∃x (φ(x) ∧ ψ(x)) ⇒ ∃x φ(x) ∧ ∃x ψ(x)
Udowodnimy pierwsze z tych praw, ª¡cz¡c metod¦ klasykacji form z metod¡ skróconego sprawdzenia: zaªo»ymy, »e rozwa»ane zdanie nie jest prawem rachunku kwantykatorów (czyli jego warto±ci¡
2
logiczn¡ mo»e by¢ 0) i dojdziemy do sprzeczno±ci.
1)
(
)
∀x (φ(x) ⇒ ψ(x)) ⇒ (∀x φ(x) ⇒ ∀x ψ(x)) = 0
{zaª.}
2) ∀x (φ(x) ⇒ ψ(x)) = 1
{1}
3) (∀x φ(x) ⇒ ∀x ψ(x)) = 0
{1}
4) ∀x φ(x) = 1
{3}
5) ∀x ψ(x) = 0
{3}
6) φ ∈ T
{5}
7) ψ ̸∈ T
{5}
8) φ ⇒ ψ ̸∈ T
{6 i 7}
9) ∀x (φ(x) ⇒ ψ(x)) = 0
{8}
Sprzeczno±¢ mi¦dzy 2) i 9) wykazuje, »e zaªo»enie (wiersz 1) jest niedopuszczalne, co dowodzi prawdziwo±¢ rozwa»anego prawa.
Formy zdaniowe mog¡ zale»e¢ od wi¦cej ni» jednej zmiennej. Przykªadem formy zale»nej od dwóch
zmiennych jest
φ(x, y) : x > y.
Podobnie, kwantykatory s¡ cz¦sto u»ywane w wyra»eniach zawieraj¡cych wi¦cej ni» jedn¡ zmienn¡.
Dla przykªadu: warunek ci¡gªo±ci funkcji
f
w punkcie
x0
mo»emy zapisa¢ w formie
(
)
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε .
x i y ). Zaªó»my, »e dla
pewnej ustalonej (i niezale»nej od warto±ci zmiennej y ) warto±ci zmiennej x, któr¡ to warto±¢ oznaczymy symbolem x0 , forma φ(x0 , y) jest form¡ klasy T ze wzgl¦du na zmienn¡ y, czyli prawdziwe
Niech
φ
b¦dzie form¡ zale»n¡ od dwóch zmienny (oznaczymy je literami
jest zdanie
∀ y φ(x0 , y).
Zaªo»enie, »e speªniony jest warunek
(∗∗)
(∗∗)
mo»emy równowa»nie zapisa¢ jako
∃ x ∀ y φ(x, y).
Korzystaj¡c z prawa
(∗)
(∗ ∗ ∗)
mamy dla dowolnego, ustalonego
y:
φ(x0 , y) ⇒ ∃ x φ(x, y)
a udowodnione powy»ej prawo rozkªadu kwantykatora (numer 1 na li±cie), w którym rol¦ zmiennej
x
peªni teraz zmienna
y,
pozwala wywnioskowa¢, i»
(
)
(
)
∀y φ(x0 , y) ⇒ ∃ x φ(x, y) ⇒ ∀ y φ(x0 , y) ⇒ ∀ y ∃ x φ(x, y) .
Na mocy równowa»no±ci
(∗∗)
i
(∗ ∗ ∗)
dostajemy wi¦c wa»ne prawo zamiany kolejno±ci dziaªania
kwantykatorów
∃ x ∀ y φ(x, y) ⇒ ∀ y ∃ x φ(x, y).
3
Wybieraj¡c jako kontrprzykªad form¦
dzi: dla dowolnej liczby rzeczywistej
y
x>y
widzimy, »e implikacja w przeciwn¡ stron¦ nie zacho-
istnieje wi¦ksza od niej liczba rzeczywista
implikacji powy»ej jest prawdziwy), nie istnieje jednak liczba
wistych
y
x
x
(czyli nast¦pnik
wi¦ksza od wszystkich liczb rzeczy-
(poprzednik implikacji jest faªszywy).
Nie istniej¡ uniwersalne metody dowodzenia prawa rachunku kwantykatorów zawieraj¡cych formy
zdaniowe wi¦cej ni» jednej zmiennej.
4