Wzory i twierdzenia matematyczne dla gimnazjum

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH
zakres GIMNAZJUM
LICZBY
Liczby naturalne: 0,1,2,3,4, … Kolejne liczby naturalne zawsze różnią się o 1, zapis n, n+1, n+2, gdzie n to dowolna liczba naturalna
oznacza trzy kolejne liczby naturalne,
Liczby pierwsze: liczby naturalne, które mają dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie np.: 2, 3, 5, 7, …
Liczby całkowite: wszystkie liczby naturalne i liczby do nich przeciwne: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3..
Liczby parzyste: Liczby całkowite podzielne przez 2. Trzy kolejne liczby parzyste zapisujemy w postaci 2n, 2n +2, 2n+4, gdzie n jest
dowolną liczbą całkowitą. Trzy kolejne liczby nieparzyste zapisujemy w postaci 2n+1, 2n +3, 2n+5, gdzie n jest dowolną liczbą
całkowitą
Liczby wymierne: Liczby które da się zapisać w postaci ułamka: , gdzie p i q to liczby całkowite. Liczby wymierne mają rozwinięcia
dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.
Liczby niewymierne: Liczby, które nie są wymierne, (nie da się zapisać ich w postaci ułamka zwykłego) np.: √
CECHY PODZIELNOŚCI
Liczba jest podzielna przez:



procent : 1% 
2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6, 8.
3, jeżeli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3.
4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną
przez 4.
5, gdy ostatnią cyfrą liczby jest 0 lub 5.
9, gdy suma cyfr liczby dzieli się przez 9.
10, gdy liczba zakończona jest cyfrą 0



√
PROCENTY
promil : 1‰ 
1
 0,01
100
1
 0,001
1000
wielkość netto – wielkość bez podatku
wielkość brutto – wielkość netto + podatek
PIERWIASTKI
POTĘGI
Pierwiastek kwadratowy: √
a 1
0
0
, ( )
np.
Zapamiętaj:√
√
√
√
√
√
np. 3 = 1, (-10) = 1,
1
an
a n 
0
( )
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Pierwiastek sześcienny: √
Zapamiętaj:: √
√
√
,
√
√
Działania na potęgach:
Działania na pierwiastkach:
a a  a
m
n
am : an 
m n
np.
(√ )
a
 a m n
an
(a m ) n  a mn
np.
np. (
√
a  b  (ab)
n
n
an  a 
a :b  n  
b
b
n
n
√
√
)
√
n
√
np. √
√
np. √
√
√
m
np.
(
np.
( )
n
)
√
√
√
√
√
√
√
np.
√
√
√
√
UWAGA: Zawsze usuwamy niewymierności (pierwiastki) z
mianowników ułamków. Aby usunąć niewymierność mnożymy
licznik i mianownik ułamka przez niewymierność występującą w
mianowniku.
Np.
√
√
√
√
√
√
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
2
3 4
Jednomian – wyrażenie będące iloczynem liczb i liter np. 2x, 15xy , -5a b
2
Suma algebraiczna to suma jednomianów np. 3x + 2x – 5.
Wyrazy (jednomiany) podobne, to jednomiany, które różnią się tylko współczynnikami liczbowymi (muszą mieć te same litery
2
2
2
i litery te muszą występować w tych samych potęgach) np.: 2a b, -3a b i ba są jednomianami podobnymi. Jeżeli w sumie
algebraicznej występują jednomiany podobne to możemy je do siebie dodać (lub odjąć), czyli przeprowadzić redukcję wyrazów
podobnych. np.: a + 4a + 3b - b - 2a + 3b = 3a + 5b
Reguły działań na wyrażeniach algebraicznych.
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych (opuszczanie nawiasów):
(a + b) + (c + d) = a + b + c + d
(a + b) – (c + d) = a + b – c – d (minus przed nawiasem – zmiana znaków liczb w nawiasie)
Mnożenie wyrażeń algebraicznych
a(b + c) = ab + ac (mnożymy każdy wyraz w nawiasie przez liczbę przed nawiasem)
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (mnożymy każdy wyraz w jednym nawiasie przez każdy wyraz w drugim nawiasie)
Wzory skróconego mnożenia*
(a  b) 2  a 2  2ab  b2
(a  b) 2  a 2  2ab  b2
(a  b)(a  b)  a 2  b2
RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI, UKŁADY RÓWNAŃ
Równanie, które ma rozwiązanie nazywamy oznaczonym np. 2x + 4 = 8 bo po rozwiązaniu x = 2.
Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy sprzecznym np. 2x + 5 = 2x + 6 bo po rozwiązaniu otrzymamy sprzeczność 5=6
Równanie, które spełnia każda liczba nazywamy tożsamościowym np. 2x + 4 = 2x +4 bo po rozwiązaniu otrzymamy 4 = 4
Reguły rozwiązywania równań
Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.
Do obu stron równania możemy dodać tą samą liczbę.
Od obu stron równania możemy odjąć tą samą liczbę.
Obie strony równania możemy pomnożyć przez tą samą liczbę.
Obie strony równania możemy podzielić przez tą samą liczbę różną od zera.
Przenosząc liczbę na drugą stronę równania zmieniamy jej znak.
Reguły rozwiązywania nierówności
Rozwiązując nierówność postępujemy analogicznie jak w przypadku równania, ale trzeba pamiętać, że mnożąc obie strony
nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny. Zbiór rozwiązań nierówności zawsze zaznaczamy na
osi liczbowej np.:
„kółeczka puste w środku” rysujemy przy nierówności ostrej co oznacza, że końcowy punkt nie należy do rozwiązania,
„kółeczka zamalowane” rysujemy przy nierówności nieostrej co oznacza, że końcowy punkt należy do rozwiązania nierówności.
Rodzaje układów równań
Układ który ma jedną parę rozwiązań nazywamy oznaczonym.
Układ, który nie ma rozwiązań nazywamy sprzecznym.
Układ, który ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy nieoznaczonym.
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA
Mediana, to wartość środkowa w uporządkowanym szeregu liczb.
Jeżeli ilość liczb w szeregu jest parzysta, to aby wyznaczyć medianę obliczamy średnią arytmetyczną dwóch elementów
środkowych.
gry prawdopodobieństwo wylosowania liczby oczek podzielnej przez 3 jest równe
nas interesują tylko dwa: 3 oczka lub 6 oczek)
Np. w rzucie kostką do
(bo z sześciu możliwych wyników rzutu kostką
WIELKOŚCI PROPORCJONALNE
Proporcją nazywamy równość dwóch ilorazów postaci:
lub
. W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest
równy iloczynowi wyrazów środkowych czyli
Gdy wraz ze wzrostem jednej wielkości druga wielkość również rośnie tyle samo razy, to mówimy, że wielkości te są wprost
proporcjonalne. Jeżeli dwie wielkości x i y są wprost proporcjonalne to ich iloraz jest stały:
Liczbę a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności.
Gdy wraz ze wzrostem jednej wielkości druga wielkość maleje tyle samo razy, to mówimy, że wielkości te są odwrotnie
proporcjonalne. Iloczyn wielkości x i y odwrotnie proporcjonalnych jest stały czyli
FUNKCJE
Jeżeli każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element
zbioru Y, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją na zbiorze X o wartościach w
zbiorze Y.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji a elementy zbioru X nazywamy argumentami
funkcji. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji a elementy ze zbioru Y
przyporządkowane elementom zbioru X nazywamy wartościami funkcji.
Argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero, nazywamy miejscem zerowym
funkcji. Na wykresie miejsce zerowe to punkt przecięcia wykresu z osią X.
Funkcję określoną wzorem y = ax + b, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem
funkcji liniowej jest prosta.
FIGURY GEOMETRYCZNE
Kąty
Kąty przyległe
Kąty wierzchołkowe
Kąty odpowiadające
Suma miar kątów
o
przyległych =180
Kąty wierzchołkowe mają
równe miary.
Kąty odpowiadające mają
równe miary.
Kąty naprzemianległe
Kąty naprzemianległe mają
równe miary
Trójkąty
Kąty w trójkątach
Suma miar kątów trójkąta wynosi 180°
W trójkącie równobocznym każdy
kąt ma 60°.
W trójkącie równoramiennym kąty przy
podstawie są równe.
Odcinki szczególne w trójkącie
Wysokość trójkąta to
odcinek poprowadzony z
wierzchołka trójkąta na
przeciwległy bok lub jego
przedłużenie pod kątem
prostym.
W trójkącie prostokątnym
dwie wysokości są
przyprostokątnymi trójkąta
W trójkącie rozwartokątnym dwie
wysokości leżą poza trójkątem
Środkowa trójkąta - to odcinek
łączący wierzchołek trójkąta ze
środkiem przeciwległego boku.
|AD| = |DB|
W trójkącie równobocznym wysokości dzielą się w stosunku 2:1
Pole trójkąta
w trójkącie równobocznym
√
h
√
Własności trójkątów prostokątnych
o
o
o
Trójkąt o kątach 30 , 60 , 90
Dowolny trójkąt prostokątny.
Trójkąt prostokątny równoramienny
o
o
o
(o kątach 45 , 45 , 90 )
a2+b2 = c2
TW. Pitagorasa - Jeżeli trójkąt jest
prostokątny, to suma kwadratów
długości przyprostokątnych jest równa
kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.
Aby sprawdzić czy dany trójkąt jest prostokątny, należy zastosować twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa: Jeżeli w trójkącie
suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to ten trójkąt jest
prostokątny
Trójkąt i okrąg
Okrąg wpisany w trójkąt jest
styczny do wszystkich boków
trójkąta, środek okręgu
wpisanego jest punktem
przecięcia dwusiecznych kątów
trójkąta
Okrąg opisany na trójkącie
jest styczny do wszystkich
wierzchołków trójkąta,
środek okręgu opisanego
jest punktem przecięcia
symetralnych boków
trójkąta
Jeżeli jednym z boków
trójkąta wpisanego w okrąg
jest średnica okręgu to ten
trójkąt jest prostokątny
W trójkącie równobocznym
Promień okręgu wpisanego
√
Promień okręgu opisanego
√
Wielokąty foremne
Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, w którym wszystkie boki mają równe długości i wszystkie kąty mają równe miary.
W dowolnym wielokącie foremnym o n bokach
Suma wszystkich kątów wewnętrznych: (
Miara kąta wewnętrznego:
Liczba przekątnych:
(
)
(
)
Sześciokąt foremny
)
Koło i okrąg
Koło
Wycinek koła
Długość łuku
Czworokąty
Trapez
Równoległobok
Własności:
 Suma miar kątów leżących przy tym
samym ramieniu trapezu jest równa
180°.
Romb
Własności:
 przekątne dzielą się na połowy,
 suma dwóch sąsiednich kątów
równa jest 180°
α + δ = 180°, β + γ = 180°
Prostokąt
Kwadrat
Własności:
 przekątne są równe i dzielą się na
połowy,
Własności:
 przekątne dzielą się na połowy,
 przekątne są prostopadłe
 przekątne są dwusiecznymi kątów
rombu
 suma dwóch sąsiednich kątów
równa jest 180
Kwadrat i okrąg
Własności:
 przekątne są równe i dzielą się na
połowy,
 przekątne są prostopadłe
 przekątne są dwusiecznymi kątów
rombu
 przekątna kwadratu
√
√
Podobieństwo wielokątów
Wielokąty podobne
Pola figur podobnych
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa.
Dwa wielokąty są
podobne, jeżeli mają
równe kąty a ich boki są
proporcjonalne.
Liczbę k nazywamy skalą
podobieństwa


Podobieństwo trójkątów prostokątnych
Dwa trójkąty prostokątne są
podobne, jeżeli stosunek długości
a
przyprostokątnych w jednym
trójkącie jest równy stosunkowi
długości odpowiednich
b
przyprostokątnych w drugim
trójkącie:
Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają
po jednym kącie ostrym równym, to te
trójkąty są podobne:
d



c
F2
22
F1
22
2
2
Podobieństwo prostokątów
Dwa prostokąty są podobne,
jeżeli stosunek długości
dwóch prostopadłych boków
a
jednego prostokąta jest
równy stosunkowi długości
b
odpowiednich boków
drugiego prostokąta:
d
c
BRYŁY
Graniastosłupy
Dowolny graniastosłup
Prostopadłościan
Sześcian
V  abc
V  a3
Pc  2ab  2bc  2ac
Pc  6a 2
Podstawy graniastosłupa są zawsze przystającymi
wielokątami a ściany równoległobokami.
Graniastosłup nazywamy prawidłowym jeżeli ma
w podstawie wielokąt foremny.
Pp - pole podstawy
Ppb - pole powierzchni bocznej
V  Pp  h
Pc  2Pp  Ppb
Ostrosłupy
Dowolny ostrosłup
Czworościan foremny
Wszystkie ściany są
przystającymi trójkątami
równobocznymi.
h
Podstawa ostrosłupa jest dowolnym wielokątem a ściany
trójkątami
Ostrosłup nazywamy prawidłowym jeżeli ma w podstawie
wielokąt foremny
Pp - pole podstawy
Ppb - pole powierzchni bocznej
V 
1
Pp  h
3
Pc  Pp  Ppb
Walec
1 a2 3
a2 3
V
H
H
3 4
12
a2 3
P4
 a2 3
4
Bryły obrotowe
Stożek
Kula

Przekrój osiowy walca jest prostokątem
V  r 2 H
P  2Pp  Ppb  2r 2  2rH
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem
równoramiennym
 - kąt rozwarcia stożka
 - kąt nachylenia tworzącej stożka do
podstawy
1
V  r 2 H
3
P  Pp  Ppb  r 2  rl
4
V  r 3
3
P  4r 2
Przykładowy test
.............................................................................................
...........
.............
nr
imię i nazwisko
klasa
Zadanie 1. Oceń prawdziwość zdań (wpisz P jeśli zdanie jest prawdziwe lub F jeśli jest fałszywe):
W prostokącie przekątne są prostopadłe
Przekątne rombu dzielą się na połowy.
Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne to ich iloczyn jest stały
√
Przekątną kwadratu o boku x opisuje wzór
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym
Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kącie ostrym równym, to te trójkąty są podobne
Suma wszystkich kątów wewnętrznych: (
)
środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta
Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli jej ostatnią cyfrą jest 3, 6 lub 9
Zadanie 2.
Zapisz poniżej wzory na pola narysowanych figur:
b
b
b
b
a
x
d

b
b
c
b
Pole = ………………….
Pole = ……………………
Pole = ……………..……………
Zadanie 3. Zapisz wzory pozwalające obliczyć długości zaznaczonych odcinków x:
a
a
x
a
2c
b
a
x
x = ……………….…….
x
x2 = …………………….
x = ……………….…….
Zadanie 4: Dokończ zdania i wzory:
Stosunek pól figur podobnych jest równy ………………………………………………………………………………………..
=
……………………………………
……………………………………….
√
√
(√ )
……………………………………
…………………………………….
Układ, który ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy ………………………………………………………………
Kąty ……………………..……………… mają …………………………………………miary
Liczba całkowita dzieli się przez 4, jeżeli ……………………………………………………………………………………………
Przenosząc liczbę na drugą stronę równania ……………………………………………………………………………………….
Miejscem zerowym funkcji nazywamy ………………………………………………………………………………………………
(a + b) – (c + d) = ………………………………………………
(a - b)2 = ………………………………………………………
Trzy kolejne liczby parzyste, możemy zapisać w postaci ……………………………………………………………………..
Zadanie 5. Nazwij bryły i zapisz wzory na ich objętość wykorzystując podane długości:
Nazwa ………………………………………………
Nazwa ……………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………..
Objętość = ………………………………………
Objętość = ………………………………………
Pole całkowite = ………………………………..
Pole całkowite = ………………………………..
Zadanie 6. Zapisz wzory i nazwij wskazane odcinki i kąty:
l ………………………………..……………
h ……………………………………………
r ………………………………….…………
 …………………………………………..
Pboczna = ………………………..
Pcałkowita = ………………………
V = …………………………………………….