tutaj - Pazdro

Matematyka
Tomasz Zamek-Gliszczyński
Zadania powtórkowe
przed maturą
Zakres podstawowy
Matematyka
Spis treści
Wstęp
4
1 Liczby
5
2 Algebra
24
3 Funkcje
31
4 Ciągi
61
5 Geometria na płaszczyźnie
69
6 Trygonometria
87
7 Geometria analityczna
99
8 Stereometria
107
9 Statystyka i prawdopodobieństwo
119
Odpowiedzi
132
Wstęp
Każdy rozdział książki zawiera: krótkie przypomnienie teorii (ważnym uzupełnie­
niem jest wkładka – zestaw najważniejszych wzorów), serię zadań zamkniętych, za­
dań otwartych krótkiej odpowiedzi oraz zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi
Niektóre zadania na maturze będą wymagać pomysłu, nowego rozumowania Znaj­
dziesz tu zadania tego rodzaju, żeby móc wyćwiczyć radzenie sobie z takimi proble­
mami Na egzaminie nie będą one groźnymi niespodziankami Zadania szczególnie
trudne oznaczyłem gwiazdką (*)
Sprawdzaj swoje tempo rozwiązywania zadań Im bliżej egzaminu, tym sprawniej
powinno Ci to iść Nie panikuj, jeśli rozwiązywanie zadań zabiera Ci za dużo czasu
Po prostu musisz nabrać wprawy Nie poddawaj się, nie zaglądaj do odpowiedzi za
szybko
Zastanów się nad techniką rozwiązywania zadań zamkniętych Czasem warto naj­
pierw odrzucić niepasujące odpowiedzi, dopiero potem sprawdzić pozostałe
Zwróć uwagę na sposób pisania odpowiedzi do zadań otwartych Czytelne przed­
stawienie rozumowania jest ważne nie tylko dla sprawdzającego, ale też dla Ciebie
– bywa, że dopiero przy formułowaniu rozwiązania przychodzi pomysł na przekonu­
jące i krótkie ujęcie
Jeśli zorientujesz się, że z jakąś częścią materiału masz kłopoty, możesz zajrzeć do
Kompendium* Warto współpracować z koleżankami i kolegami, którzy też ćwiczą
rozwiązywanie takich zadań Od nich możesz się czegoś dowiedzieć A pomagając
innym, Ty też się uczysz Ważne jest wsparcie nauczycieli, którzy na pewno będą
starali się Ci pomóc
Mam przekonanie, że ten zbiór przyczyni się do Twojego sukcesu, czego Ci serdecz­
nie życzę
Autor
_____________
* Aleksandra Gębura, Matematyka. Kompendium maturalne Zakres podstawowy,
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro, Warszawa 2014
5. Geometria na płaszczyźnie
5. Geometria
na płaszczyźnie
Powtórzenie
5.1. Podstawowe definicje i fakty
Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli trójkąt o bokach długości a, b i c jest prostokątny, przy czym bok a jest pro­
stopadły do boku b, to a2 + b2 = c2
Twierdzenie odwrotne
Jeżeli w trójkącie o bokach a, b i c zachodzi równość a2 + b2 = c2, to trójkąt jest
prostokątny, a bokami prostopadłymi są boki a i b
c2
b2
a2
Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na
odcinki, których jest średnią geometryczną
Figury geometryczne wypukłe i wklęsłe
Figura geometryczna jest wypukła, gdy wraz z dowolnymi dwoma jej punktami A
i B należą do niej również wszystkie punkty odcinka AB
Figury wypukłe
Figury niewypukłe
69
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
Kąty wypukłe
Kąty wklęsłe
Kąty wierzchołkowe, przyległe, kąty utworzone przez parę prostych i trzecią
nierównoległą do nich (sieczną) – odpowiadające (np. a1 i a3), jednostronne
wewnętrzne (np. b2 i a3), jednostronne zewnętrzne (np. b1 i a4), naprzemianległe wewnętrzne (np. b2 i b3), naprzemianległe zewnętrzne (np. a1 i a4)
Kąty wierzchołkowe są równe:
a1 = a2, b1 = b2
1
Kąty przyległe sumują się do 180°:
1
k
a1 + b1 = 180°, a1 + b2 = 180°,
2
2
a2 + b2 = 180°, a2 + b1 = 180°
Jeśli proste k i l są równoległe, to
kąty odpowiadające, kąty naprzemianległe wewnętrzne,
4
4
naprzemianległe zewnętrzne, są równe (a1 = a2 = a3 = a4
i b1 = b2 = b3 = b4),
m
a kąty jednostronne wewnętrzne, jednostronne ze­
wnętrzne sumują się do 180° (b2 + a3 = 180°, a2 + b3 = 180°, a1 + b4 = 180°,
b1 + a4 = 180°)
Jest też na odwrót: Jeśli kąty odpowiadające są równe lub kąty naprzemianległe są
równe lub kąty jednostronne wewnętrzne bądź zewnętrzne sumują się do 180°, to
proste k i l są równoległe
3
3
l
Jeśli a1 + b3 = 180°, to proste k i l są równoległe
Jeśli ramiona jednego kąta są prostopadłe do ramion drugiego kąta, to te kąty albo
są równe, albo sumują się do 180°
Kąty w wielokącie
Kąty wewnętrzne
Kąty zewnętrzne
W dowolnym wielokącie wypukłym suma kątów zewnętrznych jest równa 360°
70
5. Geometria na płaszczyźnie




Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°
Kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie nieprzyległych kątów wewnętrznych
Dwa trójkąty są przystające, gdy są identyczne w tym sensie, że jeden można na­
łożyć na drugi (przekształcić przez przesunięcie, symetrię, symetrię i przesunięcie
lub obrót)
Cechy przystawania trójkątów:
• oba trójkąty mają równe boki (cecha bbb)
• oba trójkąty mają taką samą parę boków i taki sam kąt między bokami tej pary
(cecha bkb)
• oba trójkąty mają równy jeden bok i dwa kąty przyległe do niego (cecha kbk)
Dwa trójkąty są podobne, gdy jeden z nich jest powiększeniem drugiego
Cechy podobieństwa trójkątów:
• w obu trójkątach proporcje pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami są te
same
• oba trójkąty mają te same kąty
• oba trójkąty mają parę boków, między którymi jest ta sama proporcja i pomię­
dzy którymi jest ten sam kąt
Szczególne punkty w trójkącie
Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu
opisanego na trójkącie
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu
wpisanego w trójkąt
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie
Fizycznie jest to środek ciężkości trzech wierzchoków trójkąta, również środek cięż­
kości trzech jego boków, jeśli przyjmiemy, że każdy bok ma tę samą wagę, i jedno­
cześnie środek ciężkości wnętrza trójkąta Środkowe dzielą się w stosunku 2 : 1,
licząc od wierzchołka
Wysokości trójkąta lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie zwanym
ortocentrum
71
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
Kąty w okręgu
Niech dany będzie okrąg i dwa różne punkty na nim i niech będzie wybrany jeden
z dwóch łuków okręgu, na które dzielą okrąg te dwa punkty
Kątem środkowym opartym na łuku jest ten kąt o wierzchołku w środku okręgu
i ramionach przechodzących przez końce łuku, który zawiera cały łuk
Kątem wpisanym opartym na łuku jest każdy kąt o wierzchołku na okręgu (poza
łukiem), którego ramiona przechodzą przez końce łuku i który zawiera cały łuk

2

2
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest od niego dwa razy
większy
Wnioski
Kąt wpisany oparty na półokręgu (inaczej mówiąc: oparty na średnicy) jest prosty
Wszystkie kąty wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku są równe
W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów jest równa 180°
Kąt wpisany oparty na cięciwie jest równy kątowi dopisanemu do tej cięciwy (kąt
dopisany do odcinka koła jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym odcin­
ku) Spójrz na dwa przypadki na rysunku




Okrąg i prosta
Prosta styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wystawionego w punkcie
styczności
Na rysunku poniżej prosta PT1 jest prostopadła do ST1
Jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi tego okręgu
Z jednego punktu P poza okręgiem można przeprowadzić dwie styczne do tego
okręgu Prosta PS jest osią symetrii całego rysunku
W szczególności oznacza to, że odległości od punktu P do każdego z tych dwóch
punktów styczności są równe: |PT1| = |PT2| oraz prosta PS dzieli kąt T1PT2 na
połowy
72
5. Geometria na płaszczyźnie
T1
P
S
T2
Jeśli odległość prostej od środka okręgu jest większa od promienia okręgu, to pro­
sta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, jeśli jest mniejsza, to prosta i okrąg
mają dwa punkty wspólne
Dwa okręgi
Okrąg o środku w punkcie O i promieniu r jest styczny zewnętrznie do okręgu
o środku w punkcie P różnym od O i o promieniu R, gdy |OP| = r + R, a styczny
wewnętrznie, gdy |OP| = R – r (wtedy musi zachodzić nierówność r < R)
O r
R
P
O P
r
R
Zadania
Zadania zamknięte
1. W trójkącie długości boków są a, b i c, przy czym boki spełniają nierówności
a ≤ b ≤ c Wskaż zdanie nieprawdziwe
A Jeśli kąt między bokami a i b jest ostry, to a2 + b2 > c2
B Jeśli a2 + b2 < c2, to kąt między bokami a i b jest rozwarty
C Jeśli trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny, to trójkąt o bokach a + 1, b + 1 i c + 1
też jest prostokątny
D Jeśli a2 + b2 = 2c2, to trójkąt jest równoboczny
2. Wskaż zdanie prawdziwe
A Pole trójkąta jest tym większe, im większy jest jego obwód
B Jeśli pole trójkąta równobocznego i pole kwadratu są równe, to stosunek boku
kwadratu do boku trójkąta jest jak 2 : 3
73
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
C Jeśli pole kwadratu jest 3 razy większe od pola trójkąta równobocznego, to sto­
sunek boku kwadratu do boku trójkąta jest jak 3 : 2
D Jeśli pole kwadratu o boku jeden i pole trójkąta równobocznego o boku jeden są
razem równe polu trójkąta równobocznego o boku a, to a = 1 + 3
3. Bok a i bok b prostokąta podzielono na 4 równe części, a następnie w ten prostokąt
wpisano równoległobok jak na rysunku
b
a
Pole równoległoboku jest równe
3
9
ab
B
A ab
4
16
C
5
ab
8
D
3
ab
4
4. Wskaż zdanie prawdziwe
A Wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w proporcji
2:1
B Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, a jego odległość od
wierzchołków trójkąta jest taka sama
C Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, a ten jest równo od­
legły od boków trójkąta
D Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się wzajemnie w pro­
porcji 2 : 1
5. Wskaż zdanie prawdziwe
A Środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 5, 5, 6 pokrywa się z przecięciem się
środkowych trójkąta
B Środek okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 5, 6, 7 leży na zewnątrz
tego trójkąta
C Trójkąt o bokach długości 5, 6, 7 jest rozwartokątny
D Tylko jedna z wysokości w trójkącie o bokach długości 3, 4, 6 leży wewnątrz tego
trójkąta
6. Trójkąt o bokach 5, 6, 7 jest podobny do trójkąta o bokach
74
A 25, 36, 49
B 2 5, 2 6, 2 7
C
10
2
,
14
2
,6 2
D 6, 7, 8
5. Geometria na płaszczyźnie
7. Wysokość w trójkącie o bokach 3, 4, 5 opuszczona na bok o długości 5 jest równa
A 2,5
B 2,4
C 2,3
D 3
8. Wysokość opuszczona na bok o długości 5 w trójkącie o bokach 3, 4, 5 dzieli ten
bok
A w proporcji 3 : 4
B w proporcji 9 : 16
C na odcinki o długości 2 i 3
D na odcinki o długości
15 20
i
7
7
9. Wskaż zdanie prawdziwe
A Przekątne równoległoboku połowią się pod kątem prostym
B Jeśli przekątne trapezu przecinają się pod kątem prostym, to ten trapez jest rów­
noramienny
C Jeśli dwa czworokąty mają równe przekątne, to ich pola są równe
D Jeśli przekątne czworokąta, przecinając się, dzielą się wzajemnie w tej samej pro­
porcji, to czworokąt jest trapezem
10. Pole równoległoboku o bokach a i b (a ≠ b) jest równe P Do tego równoległobo­
ku dorysowano trapez jak na rysunku poniżej:
b
P
b
a
A
B
C
D
Pole trapezu jest dwa razy większe od pola równoległoboku
Stosunek pola trapezu do pola równoległoboku jest jak 3 : 2
Dłuższa podstawa trapezu ma długość 2b
Trapez jest równoramienny
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
1. Znajdź nieznaną długość x boku trójkąta prostokątnego
a)
x
4 3
b)
11
d)
159
x
x
3 2
c)
4 2
15
e)
50
48
x
15
112
x
f)
12
x
4 5
75
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
2. Jeden bok trójkąta ma długość 14, a wysokość opuszczona na niego ma długość 12
Drugi bok trójkąta ma długość 15 Jaka jest długość trzeciego boku?
3. Trzy wysokości trójkąta są równe 3
a) Jaki to trójkąt?
b) Oblicz pole tego trójkąta
4. Punkt D jest środkiem odcinka AB, a punkt E jest środkiem odcinka AC Odcinki
BE i CD przecinają się w punkcie F Zobacz na rysunku |BF| = 4, |DF| = 3
Oblicz x = |EF| i y = |CF|
A
E
x
D
3
C
y
F
4
B
5. Dwa kwadraty o polu P zachodzą na siebie w taki sposób, że wierzchołek jednego
z nich leży w środku drugiego kwadratu Zobacz na rysunku
Jaką częścią pola P jest część wspólna obu kwadratów (zacieniowana)?
6. Na boku CD kwadratu ABCD zbudowano trójkąt równoboczny DCE, zaś na prze­
kątnej BD kwadratu trójkąt równoboczny BDF w taki sposób, żeby wierzchołek A
kwadratu znalazł się we wnętrzu trójkąta BDF
E
D
C
A
B
F
Udowodnij, że trójkąty BDE i CBF są przystające
76
5. Geometria na płaszczyźnie
7. W sześciokącie foremnym ABCDEF przekątne AC i BF przecinają się w punkcie G
a) Udowodnij, że trójkąty ABC i AGB są podobne
b) Jaka jest skala podobieństwa? Podaj proporcje wymiarów trójkąta ABC do wy­
miarów trójkąta AGB
D
E
C
F
G
A
B
8. Trapez równoramienny ABCD ma podstawy |AB| = 10 i |CD| = 4 oraz ramiona
|BC| = |DA| = 5
a) Oblicz długości przekątnych tego trapezu
b) Na trapezie ABCD da się opisać okrąg Środek tego okręgu leży na prostej prze­
chodzącej przez środki obu podstaw w odległości x poniżej dolnej podstawy
5
65
Oblicz x i udowodnij, że promień tego okręgu jest równy
8
c) Przedłużenia ramion BC i AD spotykają się w punkcie F, tworząc trójkąt równora­
mienny ABF Udowodnij, że pole tego trójkąta mieści się 3 razy w polu kwadratu
o boku 10
9. Znajdź kąt x
a)
301°
b)
68°
k
k
x
x
l
d)
x
k
x
l
k || l
e)
44°
286°
l
k || l
k || l
c)
f)
320°
x
21°
x
77
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
10. Oba okręgi na rysunku mają ten sam promień równy 4 Punkty A i D to środki
okręgów, punkt B leży na okręgu o środku w A, punkt C leży na obu okręgach
Popatrz na rysunek
A
60°
B
D
C
a) Oblicz kąt BAD
b) Oblicz długość AD
c) Oblicz pole trójkąta ABD
11. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C jest równy 36° Na
boku AC zaznaczony jest taki punkt D, że BA = BD Znajdź miary kątów a i b Zobacz
na rysunku
C
36°
D


A
B
12. Od średnicy okręgu o środku w O wystawiono w punkcie A odcinek prostopadły
o końcu leżącym na okręgu Jego długość to 6, a pozostała część średnicy od punktu
A do okręgu ma długość 2 Zobacz na rysunku
6
2A
Oblicz promień tego okręgu
78
O
5. Geometria na płaszczyźnie
13. W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C połączono
punkt C ze środkiem O boku AB Kąt BAC jest równy a Wyraź kąt OCB za pomocą
kąta a
14. Wszystkie cztery mniejsze okręgi mają środki na jednej średnicy dużego okręgu
i są do siebie styczne zewnętrznie, tak jak na rysunku Udowodnij, że suma obwodów
tych czterech okręgów jest równa obwodowi dużego okręgu
15. Jaki jest obwód narysowanej poniżej figury składającej się z samych półokręgów?
(Bok kwadratu narysowanego przerywaną linią ma długość 2)
16. Każdy z poniższych wielokątów ma wszystkie boki równe i daje się „wpisać”
w okrąg Oblicz miary zaznaczonych kątów
a)
b)
c)
d)
79
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
17. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym o bokach a, b, c, gdzie c jest przeciw­
prostokątną, promień okręgu opisanego R i promień okręgu wpisanego r wyrażają
się wzorami:
a) R =
c
2
c) Udowodnij, że R + r =
b) r =
ab
a+b+c
a+b
2
a+b−c
2
d) Wykaż, że w trójkącie prostokątnym r =
18. Dany jest czworokąt jak na rysunku
y
15
z
x
12
16
a) Oblicz nieznane długości x i y
b) Udowodnij, że czworokąt jest trapezem
c) Oblicz długość przekątnej z
19. Trójkąt równoboczny o boku 2 został powiększony o trzy odcinki koła o promie­
niu 2 Zobacz na rysunku
Powstała różna od koła figura o stałej średnicy, w tym przypadku równej 2 Oblicz
pole tej figury
20. Z punktu P na okręgu o promieniu r narysowany został łuk o takim promieniu
R (R > r), że dwa punkty przecięcia łuku i okręgu z punktu P widać pod kątem 60°
Zobacz na szkicu
60° P
Jaką część koła stanowi zacieniowany obszar?
80
5. Geometria na płaszczyźnie
21. W kwadracie o boku 4 narysowano 4 trójkąty egipskie (3, 4, 5) Zobacz rysunek
3
4
Jakie jest pole niezacieniowanego kwadratu?
22. Udowodnij, że jeśli w trapezie obie przekątne są dwusiecznymi kątów przy dolnej
podstawie, to ramiona i górna podstawa tego trapezu są równe
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
1. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokąt­
nej c Wysokość h opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki ca i cb
Wyraź ich długości za pomocą a, b i c
a
ca
b
h
cb
c = ca + cb
2. Na rysunku przedstawiony jest trójkąt ABC
C
D
A
B
E
Punkt D jest przecięciem dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku A i dwu­
siecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B Punkt E jest punktem przecięcia
dwusiecznych dwóch zewnętrznych kątów trójkąta – przy wierzchołku A i przy
wierzchołku B
a) Udowodnij, że punkt E leży na dwusiecznej wewnętrznego kąta trójkąta przy
wierzchołku C
81
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
b) Udowodnij, że kąty między dwusieczną kąta wewnętrznego i dwusieczną kąta ze­
wnętrznego przy jednym wierzchołku są proste, czyli że na rysunku kąty DAE
i EBD są proste
c) Pokaż, że AEB + ADB = 180°
d) Udowodnij, że EAB + ABE = ADB
3. Dany jest trójkąt ABC Niech środkiem odcinka AB będzie punkt D, a środkiem
boku AC – punkt E Bok AB jest średnicą okręgu oD o środku w D i promieniu AD,
a bok AC jest średnicą okręgu oE o środku w E i promieniu AE Zobacz na rysunku
Okręgi oD i oE przecinają się w dwóch punktach Jednym z tych punktów jest A
Udowodnij, że drugi punkt przecięcia tych okręgów leży na prostej BC i jest spodkiem
wysokości trójkąta ABC opuszczonej z punktu A
oE
A
oD
E
D
B
C
F
4. Punkty B i C leżą na okręgu o o środku w punkcie A Prosta l jest styczna do
okręgu o w punkcie B, a prosta m jest styczna do okręgu o w punkcie C Proste l i m
przecinają się w punkcie G Punkt D leży na krótszym łuku BC, a prosta n jest do
niego styczna w punkcie D i przecina prostą l w punkcie E, a prostą m w punkcie F
Odcinek EF widać ze środka okręgu pod kątem b, a z punktu G pod kątem a
n
l
B
E
A

D
m
G
F
C
a) Udowodnij, że kąt, pod jakim widać odcinek EF ze środka okręgu, nie zależy od
1
tego, w którym miejscu łuku BC jest punkt D, a dokładniej że β = CAB
2
b) Udowodnij, że 2b + a = 180°
82
5. Geometria na płaszczyźnie
5. Udowodnij, że z każdych dwóch wysokości trójkąta krótsza jest ta, która pada na
dłuższy bok (prostą wyznaczoną przez dłuższy bok)
6. Udowodnij, że suma odwrotności dowolnych dwóch wysokości w trójkącie musi
być większa niż odwrotność trzeciej wysokości
7. Dwa koła o promieniach R i r (R > r) są styczne do siebie i oba są styczne do jednej
prostej Zobacz na rysunku
a) Jaka jest odległość x punktów styczności z prostą?
R
r
x
b) Trójkąt, który można dorysować na poprzednim rysunku, ma wymiary R + r,
R – r i 2 Rr Zobacz na rysunku
R
R+r
r
R–r
2 Rr
x
Znajdź parę takich przykładów liczb R i r, aby powstał trójkąt, którego boki mają
długości wyrażone w liczbach naturalnych
c) Jakie muszą być liczby R i r, żeby powstał trójkąt pitagorejski o bokach 5, 12, 13?
d)* Jakie warunki musi spełniać para liczb R i r, żeby powstał trójkąt o całkowitych
długościach boków a, b i c, takich, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest
jeden?
8. Trzy okręgi są styczne do jednej prostej, a jednocześnie są styczne do siebie Patrz
rysunek poniżej
R
r

83
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
Jeśli znamy promienie R i r, to trzeci promień r (grecka litera ro) można wyliczyć ze
1
1
1
=
+
wzoru
ρ
R
r
a) Udowodnij ten wzór
b) Oblicz r, wiedząc, że R = 25, a r = 9
9. Dany jest trójkąt ABC Długość boku BC to a, długość boku AC to b Prosta CD
jest przedłużeniem dwusiecznej kąta ACB Przecina ona bok AB w punkcie D, dzieląc
go na odcinki o długości c1 i c2 Prosta równoległa do dwusiecznej CD przechodząca
przez punkt A przecina prostą CB w punkcie E
Prosta równoległa do AB i przechodząca przez C przecina prostą AE w punkcie F
B
c1 D
a
C
A
b
c2
b
c2
F
E
a) Udowodnij, że trójkąt EFC jest podobny do trójkąta CDB
b) Udowodnij, że |CE| = b
c) Udowodnij, że |CF| = c2
a c1
=
b c2
e) Na jakie długości dzieli bok o długości 4 w trójkącie egipskim (3, 4, 5) dwusieczna
kąta między bokami o długości 3 i 5? Patrz rysunek
d) Korzystając z podobieństwa trójkątów EFC i CDB, pokaż, że
x
5
4
y
3
10. Udowodnij, że jeśli boki trójkąta tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q, to
5 −1
<q<
2
(Liczba ϕ =
84
5 +1
2
5 +1
przedstawia złotą proporcję, a κ =
2
5 −1
– jej odwrotność )
2
5. Geometria na płaszczyźnie
11.* W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C naryso­
wano odcinek CD o długości |AB| prostopadły do AB Zobacz na rysunku Długości
odcinków oznaczono małymi literami: |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |BD| = x, |AD| = y
Wyraź długości x i y za pomocą a i b
D
x
B
c
y
c
A
E
a
C
b
12. W trójkąt prostokątny o bokach a, b i c, gdzie c jest przeciwprostokątną, wpisano
na przeciwprostokątnej kwadrat tak, aby dotykał przyprostokątnych Bok tego kwa­
dratu ma długość x Zobacz na rysunku Wyraź x przez a, b i c
a
b
x
c
13. Dany jest trapez ABCD z podstawami |AB| = a, |CD| = b (a > b) i wysokością h
Przedłużono ramiona BC i AD tak, że się spotkały w punkcie E i utworzyły trójkąt
ABE z wysokością opuszczoną z wierzchołka E na prostą AB o długości H
a) Wyraź wysokość H tylko za pomocą zmiennych a, b i h
b) Pokaż, że stosunek pola trójkąta DCE do pola trapezu ABCD jest jak b2 : (a2 – b2)
14. W trójkąt równoboczny o boku 4 wpisano trzy przystające okręgi jak na rysunku
Oblicz promień wpisanych okręgów
85
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
Do rozwiązania zadania 15 bardzo się przydaje następujące twierdzenie Ptole­
meusza:
W czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów przeciwległych boków jest
równa iloczynowi przekątnych
15.* Na podstawie danych przedstawionych na rysunku znajdź długości x, y i z
60
x
z 65
y
52
16. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 i ramionach długości 5
a)
b)
c)
d)
Oblicz wysokość tego trójkąta padającą na podstawę
Oblicz odległość punktu przecięcia środkowych tego trójkąta od jego podstawy
Oblicz odległość środka okręgu opisanego od podstawy
Oblicz odległość środka okręgu wpisanego od podstawy
17. Na bokach równoległoboku ABCD zbudowano 4 kwadraty, ich środki nazwano
K, L, M, N Zobacz na rysunku
M
N
C
D
A
B
L
K
a) Udowodnij, że czworokąt KLMN jest kwadratem
b) Udowodnij, że pole kwadratu KLMN jest równe polu równoległoboku ABCD
powiększonemu o jedną czwartą sumy pól czterech kwadratów zbudowanych na
bokach równoległoboku (Patrz zadanie 5 na stronie 76 )
86
Odpowiedzi
b) Pierwszą taką liczbą jest 101, a ostatnią 297 Wzór na ciąg tych liczb to
an = 7n + 94, a1 = 101, a29 = 297 Suma to
c) 22,222222, d) 30 + 31 +
+ 37 =
101 + 297
∙ 29 = 199 ∙ 29 = 5771
2
38 − 1
= 3280
3 −1
5. Geometria na płaszczyźnie
Zadania zamknięte
1.
C
2.
C
3.
C
4.
D
5.
D
6.
C
7.
B
8.
B
9.
D
10.
B
Zadania krótkiej odpowiedzi
1.
2.
3.
4.
a) 13, b) 5 2 , c) 113, d) 12, e) 14, f) 8
13
a) równoboczny, b) 3 3
x = 2, y = 6
1
5.
4
6. Wskazówka: |BD| = |FB| = 2 , |DE| = |BC| = 1, BDE = 45° + 60° = 105°,
FBC = 60° – 45° + 90° = 105°, a więc bkb
7. b) 3 : 1
5
8. a) 5 3 , b) x =
8
9. a) 121°, b) 56°, c) 37°, d) 22°, e) 160°, f) 42°
10. a) 90°, b) 4 3 , c) 8 3
11. a = b = 36°
12. 10
13. 90° – a
15. 8p
360°
7
18. a) x = 20, y = 25, b) Wskazówka: Oba trójkąty są podobne do egipskiego (3, 4, 5)
16. a) 36°, b) 144°, c) 22,5°, d)
c) z = 769
19. 2p – 2 3
1
20.
2
16
21.
25
143
Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy
Zadania rozszerzonej odpowiedzi
ca
1.=
a2
b2
ab
=
, cb
,h =
c
c
c
5. Wskazówka Wykorzystaj wzór na pole trójkąta
7. a) x = 2 Rr b) Na przykład: r = 36, R = 25 i wtedy a = 11, b = 60, c = 61
c) R + r = 13, R – r = 5, skąd R = 9, r = 4
d) Obie muszą być kwadratowe, względnie pierwsze, a jedna z nich musi być
parzysta
8. a) Wskazówka: Zacznij od 2 Rr = 2 r ρ + 2 ρ R (zobacz poprzednie zadanie)
225
b)
64
5
3
9. e) x = , y =
2
2
11. x = a 2 + (a − b)2 , y = b2 + (a − b)2
abc
c + ab
a
⋅h
13. a) H =
a−b
14.
12. x =
2
r 3
2r
r 3
2r + 2r 3 = 4 , skąd r =
4
2+2 3
=
2
1+ 3
⋅
3 −1
8.
A
9.
C
3 −1
= 3 −1
15. x = 25, y = 39, z = 56
4
7
3
16. a) 4, b) , c) , d)
3
8
2
6. Trygonometria
Zadania zamknięte
1.
C
2.
D
3.
C
4.
C
5.
B
6.
C
7.
B
10.
D
Uwaga do 4 Jeśli a, b, γ są równe 60°, to A i B odpadają, jeśli a < 45°, odpada D
144
Książka składa się z 9 skomponowanych tematycznie rozdziałów. Każdy rozdział
zawiera:
→
→
→
→
krótkie przypomnienie teoretyczne
zadania zamknięte
zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi.
Matematyka
Zbiór Zadania powtórkowe... pomoże uczniom w przygotowaniu się do matury
z matematyki w zakresie podstawowym. Zadania dotyczą wszystkich treści nauczania,
których znajomość będzie sprawdzana na egzaminie od roku 2015.
Na końcu są zebrane odpowiedzi i wskazówki do zadań.
Staranne rozwiązanie zadań ze zbioru ułatwi radzenie sobie z mniej typowymi zadaniami w trakcie egzaminu.
Do zbioru załączono zestaw wzorów matematycznych przydatnych na maturze oraz
do rozwiązywania zadań w tym zbiorze.
Tomasz Zamek-Gliszczyński
Tomasz Zamek-Gliszczyński
Zadania powtórkowe
przed maturą
Zadania powtórkowe
przed maturą
Zakres podstawowy
Matematyka
Matematyka
W przygotowaniu Zadania powtórkowe... obejmujące treści nauczania z matematyki
w zakresie rozszerzonym.
Zakres rozszerzony
MatematykaMatematyka
Aleksandra Gębura
Aleksandra Gębura
Kompendium maturalne
Kompendium maturalne
Zakres podstawowy
Matematyka
Matematyka
Polecamy również:
Zakres rozszerzony
MM
MatematykaMatematyka
MTP
Dobry trening dziś,
to mniejszy stres jutro…
M