Środek masy 125. Na rysunku przedstawiono ułożenie czterech ciał

Środek masy
125. Na rysunku przedstawiono ułożenie czterech ciał o jednakowej masie równej 1kg. Wyznacz
położenie środka masy tego układu.
Rozwiązanie:
126. Dwa klocki poruszają się po płaskim stole wzdłuż tej samej prostej. Klocek A ma masę m A
i porusza się z prędkością vA , a klocek B o masie mB porusza się z prędkościa vB w kierunku
przeciwnym do ruchu klocka A. Z jaką prędkością przemieszcza się środek masy układu składającego
się z obu klocków?
Rozwiązanie:
127. Dwie cienkie jednorodne blachy, jedną w kształcie kwadratu o boku 1m, a drugą w kształcie
prostokąta o długości 2m i szerokości 1m, ułożono na stole tak jak to pokazano na rysunku. Wyznacz
współrzędne środka masy układu blach.
Rozwiązanie:
128. Środek masy układu pięciu kulek miedzianych porusza się ze stałą prędkością o wartości v=3m/s.
Jaką wartość ma suma wektorowa sił zewnętrznych działająca na ten układ, jeżeli masa każdej z kul
jest równa 0.2 kg?
Rozwiązanie:
129. Z jednorodnej blachy o grubości 5 mm
wycięto dwa kawałki w kształcie trójkąta
równobocznego o boku 5 cm. Trójkąty te ułożono
tak jak przedstawiono to na rysunku. Wyznaczyć
położenie środka masy układu.
Rozwiązanie:
130. Dwaj chłopcy o masach m1 = 77 kg i m2 = 63 kg, stojący na łyżwach na lodowisku w odległości
l = 7 m od siebie, trzymają końce napiętej linki równoległej do osi OX. a) Oblicz współrzędną x
środka masy układu chłopców. Przyjmij, że chłopiec o masie m1 znajduje się w początku układu
współrzędnych, a linka jest nieważka. b) W pewnej chwili lżejszy chłopiec zaczyna ciągnąć za koniec
linki. Czy położenie środka masy układu w chwili zderzenia chłopców ulegnie zmianie, gdy
pominiemy tarcie? Oblicz, jaką drogę przejedzie ten chłopiec od startu aż do zderzenia ze swoim
kolegą. c) Oblicz wartości przyspieszeń chłopców podczas ich ruchu w układzie odniesienia
związanym z lodowiskiem, jeśli siła napięcia linki miała stałą wartość równą F = 90 N. d) Oblicz (w
układzie lodowiska) maksymalną szybkość każdego z chłopców tuż przed zderzeniem. e) Ile wyniosą
wartości przyspieszeń chłopców, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego między łyżwami a lodem
wynosi fk= 0,04. f) Czy w przypadku występowania tarcia pęd układu chłopców podczas zbliżania się
będzie ulegał zmianie? Uzasadnij odpowiedź.
Rozwiązanie:
131. Ciało o masie 2 kg znajduje się początkowo na wierzchołku równi o masie 8 kg, wysokości 2 m
i długości poziomej podstawy 6 m mogącej poruszać się po poziomej idealnie gładkiej powierzchni.
Wyznaczyć położenie równi w momencie, gdy ciało osiągnie koniec równi.
Rozwiązanie:
132. Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej żaglówki o masie 450 kg i długości 7 m,
nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna spacer po pokładzie z
prędkością 1 m/s w względem żaglówki przechodząc od jej przodu na rufę. Jak daleko względem
brzegu przemieści się żaglówka, a jak sternik?
Rozwiązanie:
133. Naturalna cząsteczka wody zawiera atom tlenu 16O8 oraz dwa atomy wodoru, co
pokazuje rysunek obok. Odległośd między atomem tlenu
i wodoru wynosi 0,1 nm, a kąt między wiązaniami wodoru z
atomem tlenu jest równy 106o. Wyznaczyd położenie środka
masy cząsteczki wody umieszczając początek układu
odniesienia w środku atomu tlenu i przyjmując za oś OX
kierunek linii przerywanej umieszczonej na rysunku. Masa
atomu wodoru to 16 u (u = 1.67·10-27 kg – jednostka masy
atomowej), a atomu wodoru 2 u.
Rozwiązanie:
Pęd układu
134. Wyznacz pęd klocka o masie 1 kg poruszającego się z prędkością v
5i
4 j [m/s].
Rozwiązanie:
135. Wyznacz zmianę pędu klocka o masie 1 kg poruszającego się z przyspieszeniem a
[m/s], jaką uzyskuje on po 10s ruchu.
Rozwiązanie:
3i
4j
136. Piłka po odbiciu od podłogi wzniosła się na wysokość 1 m. Z jaką siłą zadziałała ona na podłogę,
jeżeli czas zderzenia wynosił 0.1 s. Masa piłki m = 0.4 kg.
Rozwiązanie:
Zderzenia oraz zasada zachowania pędu
137. Człowiek o masie m1
60 kg , biegnący z prędkością v1 8 km h , dogania wózek o masie 90
kg, który jedzie z prędkością v 2 4 km h i wskakuje na ten wózek; a) z jaką prędkością będzie
poruszał się wózek z człowiekiem? b) Jaka będzie prędkość wózka z człowiekiem w przypadku, gdy
człowiek będzie biegł naprzeciw wózka?
Rozwiązanie:
138. Na poziomo poruszający się z prędkością v
cegła o masie m2
10 m s wózek o masie m1
5 kg spadła pionowo
3 kg . Ile wynosiła po tym prędkość wózka i cegły?
Rozwiązanie:
139. Ołowiany pocisk o masie 0,1 kg lecąc poziomo uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej
masie 50 kg i grzęźnie w nim. Po zderzeniu wózek odjeżdża z prędkością 1 m/s. Jaka była prędkość
pocisku przed zderzeniem.
Rozwiązanie:
140. W spoczywający na idealnie gładkim stole klocek o masie M
0,5 kg uderza poruszający się
poziomo z prędkością v
500 m s pocisk o masie m 0,01kg . Przebiwszy klocek pocisk porusza
się dalej ze zmniejszoną prędkością v1 300 m s . Ile wynosi prędkość u klocka po uderzeniu przez
pocisk?
Rozwiązanie:
141. W spoczywający na stole klocek o masie M
prędkością v
0,5 kg uderzył poruszający się poziomo z
500 m s pocisk o masie m 0,01kg i utkwił w nim na skutek czego klocek zaczął
się poruszać. Jaką drogę s przebył klocek do zatrzymania się jeżeli współczynnik tarcia klocka o
podłoże wynosi f 0,2 ?
Rozwiązanie:
142. Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v
10 m s rozerwał się na dwa odłamki. Większy
odłamek, którego masa stanowiła w = 60% masy całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym
kierunku, lecz ze zwiększoną prędkością v1
25 m s . Znaleźć kierunek i wartość prędkości
mniejszego odłamka.
Rozwiązanie:
143. Pocisk o masie m lecący z prędkością v trafia w nieruchomy wagon naładowany piaskiem
i grzęźnie w nim. Obliczyć prędkość u wagonu po tym zdarzeniu. Masa wagonu z piaskiem wynosi M.
Rozwiązanie:
v
144. Ołowiany pocisk o masie m lecąc poziomo z prędkością v
uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie M (patrz rysunek m
obok). Przebiwszy warstwę piasku pocisk porusza się dalej z
prędkością u1. Jaka była prędkość u2 wózka tuż po zderzeniu? Ile
wynosi efektywny współczynnik tarcia f wózka o podłoże jeżeli po
zderzeniu wózek przebył do zatrzymania drogę s?
M
u2
u1
Rozwiązanie:
145. Od dwustopniowej rakiety o masie M 1200 kg , po osiągnięciu szybkości v 200 m s ,
oddzielił się pierwszy stopień o masie m 700 kg . Jaką szybkość osiągnął drugi stopień rakiety, jeśli
szybkość pierwszego stopnia zmalała w wyniku tej operacji do v1
150 m s ?
Rozwiązanie:
146. Masa startowa rakiety (z paliwem) wynosi m1
m2
2 kg . Po wyrzuceniu paliwa o masie
0,4 kg rakieta wznosi się pionowo na wysokość h 1000 m . Oblicz prędkość wyrzuconego
paliwa.
Rozwiązanie:
147. Granat lecący z prędkością 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki o jednakowej masie.
Po rozerwaniu jeden z nich na moment zatrzymał się a następnie spadł pionowo w dół. Znaleźć
prędkość drugiego odłamka tuż po rozerwaniu.
Rozwiązanie:
148. Piłka o masie m = 100g uderza w ścianę z prędkością v = 5 m/s pod kątem i odbija się
od niej doskonale sprężyście. a) Narysuj wektor zmiany pędu piłki p. b) Oblicz wartość
wektora zmiany pędu. c) Na podstawie rysunku wykonanego w punkcie a) zadania podaj
kierunek i zwrot siły, którą ściana działa na piłkę i którą piłka działa na ścianę.
Rozwiązanie:
149. Łyżwiarz o masie M = 80 kg, stojący na zamarzniętym jeziorze rzuca kamień o masie m = 400g
poziomo w kierunku brzegu. W momencie rzutu ręka łyżwiarza znajdowała się na wysokości h = 2 m.
Kamień upada na brzeg w odległości s = 15 m od łyżwiarza. Jaka pracę wykonał łyżwiarz?
Rozwiązanie:
150. Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się. Kula o masie M
zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek ciężkości wznosi się na wysokość h zostaje puszczona
swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta kula po zderzeniu doskonale niesprężystym z drugą
kulą. Masa drugiej kuli wynosi m.
Rozwiązanie:
151. Z działa o masie M następuje wystrzał pocisku o masie m pod kątem α do poziomu. Oblicz
prędkość, z jaką działo zostaje odrzucone wstecz, jeżeli prędkość pocisku względem ziemi wynosi v.
Rozwiązanie:
152. Poziomo lecący strumień wody uderza o ścianę i spływa po niej swobodnie. Prędkość strumienia
wynosi v, a jego pole przekroju poprzecznego S. Wyznaczyć siłę z jaką ten strumień działa na ścianę.
Rozwiązanie:
153. Piłka o masie m uderza pod kątem α o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej doskonale
sprężyście. Znaleźć średnią siłę F z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padającej piłki v, a czas
zderzenia Δt.
Rozwiązanie:
154. Obliczyć ciśnienie wywierane na ścianę przez strumień cząstek poruszających się z prędkością v.
Zderzenie kulek ze ścianą jest doskonale sprężyste. Kąt między strumieniem padającymi prostopadłą
do ściany wynosi
Koncentracja cząstek w strumieniu jest równa n.
Rozwiązanie:
155. Kulka o masie 0,25 kg lecąca poziomo z prędkością v1 = (14, 0, 0), zderza się centralnie idealnie
sprężyście z kulką o masie 0,4 kg lecącej poziomo po tej samej prostej z prędkością v2 = ( 8, 0, 0).
Wyznaczyć prędkości (wartości i kierunki) obu kulek po zderzeniu.
Rozwiązanie:
156. Rozwiązać poprzednie zadanie przy założeniu, że zderzenie jest idealnie niesprężyste. Jaka ilość
i na co jest tracona początkowa wartość energii kinetycznej kulek? Przy jakich warunkach obie kulki
po zderzeniu będą spoczywały?
Rozwiązanie:
157. Spoczywające w początku układu odniesienia jądro atomu nagle rozpada się na 3 części. Znane
są następujące dane dotyczące części rozpadu: m1 = 16,7·10-27 kg, v1 = (6·106, 0, 0) m/s, m2 = 8,35·1027
kg, v2 = (8·105, 0, 0) m/s oraz m2 = 11,7·10-27 kg. Wyznaczyć wektor v3. Ile wynosi energia
kinetyczna uwolniona w tym rozpadzie? Ile potrzeba takich rozpadów w ciągu jednej sekundy, aby
wydzielona moc energii kinetycznej była równa 1 megawatowi?
Rozwiązanie:
158. W czasie testów samochodu bada się jego odporność na zderzenia. Samochód o masie 2300 kg
i prędkości 15 m/s uderza w podporę mostu. Jaką średnią siłą działa podpora na samochód (a
samochód na podporę) w czasie zderzenia trwającego 0,56 s?
Rozwiązanie:
159. (Patrz także zdanie 28) Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej żaglówki
o masie 450 kg i długości 7 m, nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna
spacer po pokładzie z prędkością 1 m/s w względem żaglówki przechodząc od jej przodu na rufę.
Z jaką prędkością względem wody porusza się sternik a z jaką żaglówka?
Rozwiązanie:
160. Jednej kuli bilardowej nadano prędkość V kierując ją na 15 innych nieruchomych. W rezultacie
zderzeń kul miedzy sobą i z brzegiem masywnego stołu, w pewnym momencie wszystkie kule mają te
same prędkości v. Jeśli zaniedbamy ruch obrotowy kul, to ile wynosi stosunek v/V?
Rozwiązanie:
161. Strumień wody z armatki policyjnego samochodu pada na ciało demonstranta. Prędkość wody
wynosi 15 m/s. W ciągu sekundy armatka wylewa 10 litrów wody. Woda praktycznie nie odbija się od
ciała demonstranta, spływa po nim, a jej gęstość 1000 kg/m3. Obliczyć średnią wartość siły działającej
na ciało demonstranta.
Rozwiązanie:
162. Pocisk lecący poziomo z prędkością v rozpada się na dwie równe części, które dalej lecą
poziomo. Jedna część porusza się w przeciwną stronę z taka samą prędkością, jak prędkość pocisku
przed rozpadem. Jaka jest prędkość pozostałej części?
Rozwiązanie:
163. Stoisz na łyżwach na idealnie gładkiej tafli lodu. Koleżanka/kolega rzuca w Ciebie piłką o masie
0,4 kg, której pozioma prędkość w chwili uderzenia o Twoje ciało o masie 60 kg wynosi 14 m/s. a)
Jeśli złapiesz piłkę, to z jaką prędkością będziesz się poruszał? W jakim kierunku? B) Jeśli piłka
odbije się od Ciebie i następnie poruszać się będzie w kierunku przeciwnym z poziomą prędkością 8
m/s, to jaka będzie Twoja prędkość?
Rozwiązanie:
164. Ciało A o masie 3 kg zderza się idealnie sprężyście i centralnie z innym nieruchomym ciałem.
Ciało A po zderzeniu porusza się w tym samym kierunku ale z prędkością czterokrotnie mniejszą?
Jak była masa nieruchomego ciała?
Rozwiązanie:
165. Dwa klocki o masach 2 kg i 5 kg, spoczywające na idealnie gładkiej poziomej powierzchni, łączy
ściśnięta sprężyna. Po zwolnieniu sprężyny ciało o mniejszej masie uzyskało prędkość 2 m/s.
Jaką prędkość miał drugi klocek?
Rozwiązanie:
166. Neutron zderza się czołowi i idealnie sprężyście ze spoczywającym początkowo jadrem atomu
węgla 12C6. Jaką część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana atomowi węgla?
Wyznaczyć energię kinetyczną jądra węgla i neutronu po zderzeniu, jeśli początkowa energia neutronu
wynosiła 1,6·10-23 J. Przyjąć w obliczeniach, że masa jądra węgla jest 12 razy większa od masy
neutronu.
Rozwiązanie:
167. Podczas legendarnego oblężenia przez Szwedów Jasnej Góry kolubryna o masie własnej 500 kg
wystrzeliwała pociski o masie 10 kg z prędkością poziomą 150 m/s przesuwając się przy tym o 2 m.
Obliczyć prędkość początkową działa oraz średnią siłe działającą na armatę, zakładając, że ruch
armaty jest jednostajnie opóźniony.
Rozwiązanie:
168. Kamizelki kuloodporne są szyte z odpowiednio gęsto utkanych tkanin (dlatego są bardzo
ciężkie). Uderzająca w kamizelkę kula stopniowo ale błyskawicznie grzęźnie w splotach tkanin.
Przypuśćmy, że pocisk o masie 10,2 g wystrzelono w kierunku człowieka ubranego w kamizelkę.
Zależność v(t) prędkości kuli w tkaninach kamizelki zadaje równanie v(t) = a bt, gdzie a = 300 m/s ,
b = 75 m/(mikrosekunda)2 dla 0 ≤ t ≤ 40 s (mikrosekund). Jakie jest opóźnienie pocisku w
kamizelce? Obliczyć: a) zmianę pędu i energii pocisku; b) drogę, na której pocisk zatrzymuje się;
c) wartość siły działającej na kamizelkę ze strony grzęznącej w niej kuli.
Rozwiązanie:
169. Wyobraź sobie, że pocisk z poprzedniego zadania uderza w Terminatora stojącego na idealnie
gładkiej powierzchni, którego masa wraz z kamizelką wynosi 75 kg. Wyznaczyć przyspieszenie
Terminatora w czasie uderzenia trwającego 40 s oraz jego prędkość tora po uderzeniu pocisku.
Rozwiązanie:
170. (Kosmiczna proca) Pojazd kosmiczny Voyager 2 o masie m i prędkości v = 12 km/s względem
nieruchomego Słońca zbliża się do Jowisza o masie M i prędkości orbitalnej V = 13 km/s. Pojazd
okrąża planetę i oddala się od niej w kierunku, z którego nadleciał. Wyznacz prędkość pojazdu
względem Słońca po tym manewrze, który można rozpatrywać jako zderzenie idealnie sprężyste, przy
warunku M
m. Ws-ka: skorzystać ze wzoru na prędkości zderzających się obiektów przed i po
zderzeniu i przyjąć, że prędkość Jowisza praktycznie nie ulega zmianie.
Rozwiązanie:
***